Երկրաչափություն 8. լուծումներ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 8 (Աթանասյան և ուրիշներ)

2.Գտեք անկյունների գումարը. ա) ուռուցիկ հնգանկյան, բ)ուռուցիկ վեցանկյան, գ) ուռուցիկ տասնանկյան: Լուծումը

3.Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք իրար հավասար են: Լուծումը

5.Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, եթե նրա անկյունների գումարը 540^o է: Լուծումը

6.Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյուն ըդրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 40^o-ով։ Լուծումը

7.Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանցից մեկը մյուսներից մեծ է համապատասխանաբար 10^o-ով, 20^o-ով և 30^o-ով: Լուծումը

  9.Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատականեն 2, 3, 4, 5, 6 թվերին։ Լուծումը

10.Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, որի յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է. ա) 90^o, բ) 60^o, գ) 120^o, դ) 108^o: Լուծումը

11.Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 8սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 3մմ-ով, 4մմ-ով և 5մմ-ով: Լուծումը

13. Գտեք ABCD ուռուցիկ քառանկյան A, B և C անկյունները, եթե ∠A=∠B =∠C և ∠D=135^o:   Լուծումը

14.ABCDE ուռուցիկ հնգանկյան B գագաթով տարված անկյունագծերը հավասար են: Հայտնի է, որ ∠ABE=∠CBD և ∠BEA=∠BDC: Ապացուցեք, որ ABDE և BEDC քառանկյուններ պարագծերը հաասար են: Լուծումը

15.Ապացուցեք, որ ABCD ուռուցիկ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե. ա) ∠BAC=∠ACD և ∠BCA=∠DAC, բ) AB||CD, ∠A=∠C: Լուծումը

16. Զուգահեռագծի պարագիծը 48սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե. ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3սմ-ով, բ) երկու կողմի տարբերությունը 7սմ է, գ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից: Լուծումը

17.ABCD զուգահեռագծի պարագիծը 50սմ է, ∠C=30^o, իսկ CD ուղղին տարված BH ուղղահայացը 6,5սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը:   Լուծումը

18.Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 40^o է: Գտեք մնացած անկյունները: Լուծումը

19. ABCD քառանկյան մեջ AB||CD, BC||AD, O-ն անկյունագծերի հատման կետն է: AOD եռանկյան պարագիծը 25սմ է, AC=16սմ, BD=14սմ: Գտեք BC կողմը: Լուծումը

20.ABCD քառանկյան մեջ AB=CD և AB||CD, ∠CBD=15^o: Գտեք ∠BDA-ն: Լուծումը

21.ABCD ուռուցիկ քառանկյան մեջ AB=CD, ∠B=70^o, ∠BCA=60^o, ∠ACD=50^o: Ապացուցեք, որ BC=AD: Լուծումը

22.Զուգահեռագծի անկյունագիծը երկու կից կողմերի հետ կազմում է համապատասխանաբար 25^o-ի և35^o-ի անկյուններ: Գտեք զուգահեռագծի անկյունները: Լուծումը

23.Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100^o է: Լուծումը

24․ABCD զուգահեռագծի A անկյան կիսորդը K կետում հատում է BC կողմը: Գտեք այդ զուգահեռագծի պարագիծը, եթե BK=15սմ, KC=9սմ: Լուծումը

26.Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե. ա) ∠A=84^o, բ) ∠A-∠B=55^o, գ) ∠A+∠C=142^o, դ) ∠A=2∠B, ե) ∠CAD=16^o, ∠ACD=37^o: Լուծումը

27.MNPQ զուգահեռագծի մեջ տարված է MQ ուղղին ուղղահայաց՝ NH-ը, ընդ որում՝ H կետը գտնվում է MQ կողմի վրա:Գտեք զուգահեռագծի կողմերը և անկյունները, եթե հայտնի է, որ MH=3սմ, HQ=5սմ, ∠MNH=30^o: Լուծումը

29.ABCD զուգահեռագծի մեջ AB≠BC և ∠A-ն սուր է: Այդ զուգահեռագծի B և D գագաթներից տարված են AC ուղղին ուղղահայացներ` BK-ն և DM-ը: Ապացուցեք, որ BMDK քառանկյունը զուգահեռագիծ է: Լուծումը

30.ABCD քառանկյան AB, BC, CD և DA կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար M, N, P և Q կետերն այնպես, որ AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA: Ապացուցեք, որ ABCD-ն և MNPQ-ն զուգահեռագիծ են: Լուծումը

31.ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ A1B1C1D1 քառանկյունը, որի գագաթները OA, OB, OC և OD հատվածների միջնակետերն են, զուգահեռագիծ է: Լուծումը

32.ABCD զուգահեռագծի BD անկյունագծի վրա P և Q կետերը նշված են այնպես, որ PB=QD: Ապացուցեք, որ APCQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Լուծումը

33. Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծերն են:   Լուծումը

34. Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթները հավասարահեռ են նրա որևէ միջին գիծն ընդգրկող ուղղից:   Լուծումը

35. Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են:   Լուծումը 

36. Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են 12մ և 16մ: Գտեք այն քառանկյան կողմերը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:   Լուծումը 

37. Քառանկյան անկյունագծերը հավասար են m-ի և n-ի: Գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են:   Լուծումը

38. Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե ∠A=36^o, ∠C=117^o:    Լուծումը

39. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:   Լուծումը 

40. Հավասարասրուն սեղանիմեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60^o: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը:   Լուծումը

41. Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40^o է:   Լուծումը

42. Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, իսկ միջին գիծը 10սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:   Լուծումը

43.  M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղիմի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 22սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից:   Լուծումը

44. Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացն այդ հիմքը տրոհում է 6սմ և 30սմ երկարությամբ հատվածների: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և միջին գիծը:   Լուծումը 

45.  Սեղանի սրունքներից մեկը բաժանված է երեք հավասար հատվածների: Այդ բաժանման կետերից տարված ենմյուս սրունքին միացնող հատվածներ, որոնք զուգահեռ են սեղանի հիմքերին: Գտեք այդ հատվածների երկարությունները, եթե սեղանի հիմքերը հավասար են 2սմ և 5սմ:   Լուծումը

46.  Տրված ուղղի տարբեր կողմերում տրված են M և N կետերը, որոնց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 6սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը տրված ուղղից:   Լուծումը

47.  Ապացուցեք, որ սեղանը հավասարասրուն է, եթե. ա) հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են, բ) անկյունագծերը հավասար են:   Լուծումը

49. Ուղղանկյուն սեղանի մեջ սուր անկյունը 45^o է: Փոքր սրունքը և փոքր հիմքը 10-ական սմ են: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը:   Լուծումը

51.  Ապացուցեք, որ այն զուգահեռագիծը, որի անկյուններից մեկը ուղիղ է, ուղղանկյուն է:   Լուծումը

52. Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան բոլոր անկյունները ուղիղ են, ապա քառանկյունը ուղղանկյուն է:   Լուծումը

53. Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծի բոլոր անկյունները հավասար են, ապա այն ուղղանկյուն է:   Լուծումը

56. ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ AOD և AOB եռանկյունները հավասարասրուն են:   Լուծումը

58. Ապացուցեք, որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնա-ձիգին տարված միջնագիծը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:   Լուծումը

66. Ապացուցեք, որ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է, եթե` ա) նրա անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, բ) զուգահեռագծի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդ են:   Լուծումը

76.Ապացուցեք, որ ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող ուղիղը նրա համաչափության առանցքն է:   Լուծումը

77. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդն ընդգրկող ուղիղը նրա համաչափության առանցքն է:   Լուծումը

104.Ապացուցեք, որ եթե ուռուցիկ քառանկյան ոչ բոլոր անկյուններն են իրար հավասար, ապա դրանցից գոնե մեկը բութ է:   Լուծումը

105.ABCD զուգահեռագծի պարագիծը 46սմ է, իսկ AB=14սմ: Զուգահեռագծի ո՞ր կողմն է հատում A անկյան կիսորդը: Գտեք այն հատվածները, որոնք առաջանում են այդ հատման դեպքում:   Լուծումը

106. Զուգահեռագծի կողմերը հավասար են 10սմ և 3սմ: Մեծ կողմին առընթեր անկյունների կիսորդները հանդիպակաց կողմը տրոհում են երեք հատվածի: Գտեք այդ հատվածները: Լուծումը

107. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքի կամայական կետով տարված են եռանկյան սրունքներին զուգահեռ ուղիղներ: Ապացուցեք, որ ստացված քառանկյան պարագիծը հավասար է տրված եռանկյան սրունքների գումարին:   Լուծումը 

108. Անհավասար կից կողմեր ունեցող զուգահեռագծի մեջ տարված են անկյունների կիսորդները: Ապացուցեք, որ նրանց հատումից առաջանում է ուղղանկյուն:   Լուծումը

109. Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե նրա երկու կից կողմերից յուրաքանչյուրին առընթեր անկյունների գումարը 180^o է:   Լուծումը

110. Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյունը զուգահեագիծ է, եթե նրա հանդիպակաց անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են:   Լուծումը

111. K կետը ABC եռանկյան AM միջնագծի միջնակետն է: BK ուղիղը D կետում հատում է AC կողմը: Ապացուցեք, որ AD=AC/3:   Լուծումը

112. M և N կետերը ABCD զուգահեռագծի AD և BC կողմերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ AN և MC ուղիղները BD անկյունագիծը բաժանում են երեք հավասար մասի:   Լուծումը

113. ABCD շեղանկյան B գագաթից տարված են AD և DC ուղիղներին ուղղահայացներ՝ BK-ն և BM-ը: Ապացուցեք, որ BD ճառագայթը KBM անկյան կիսորդն է:   Լուծումը 

114.Ապացուցեք, որ շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետը հավասարահեռ է նրա կողմերից:   Լուծումը

115. Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի կամայական կետին միացնող հատվածի միջնակետը գտնվում է այն հատվածի վրա, որի ծայրակետերը մյուս երկու կողմերի միջնակետերն են:   Լուծումը

116. ABCD քառակուսու AC անկյունագիծը 18,4սմ է: A կետով անցնող և AC ուղղին ուղղահայաց ուղիղը հատում է BC և CD ուղիղները համապատասխանաբար M և N կետերում: Գտեք MN-ը:   Լուծումը

117. ABCD քառակուսու AC անկյունագծի վրա M կետը վերցված է այնպես, որ AM=AB: M կետով տարված է AC ուղղին ուղղահայաց ուղիղ, որը BC-ն հատում է H կետում: Ապացուցեք, որ BH=HM=MC:   Լուծումը 

118. AD մեծ հիմքով ABCD սեղանի AC անկյունագիծը ուղղահայաց է CD սրունքին: ∠BAC=∠CAD: Գտեք AD-ն, եթե սեղանի պարագիծը 20սմ է, իսկ ∠D=60^o:   Լուծումը

119. Սեղանի հիմքերից մեկին առընթեր անկյունների գումարը 90^o է: Ապացուցեք, որ սեղանի հիմքերի տարբերությունը կրկնակի մեծ է դրանց միջնակետերը միացնող հատվածից:   Լուծումը

120. Ապացուցեք, որ զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը նրա համաչափության կենտրոնն է:   Լուծումը

121. Համաչափության քանի՞ կենտրոն ունի զուգահեռ ուղիղների զույգը:   Լուծումը

122*. Ապացուցեք, որ եթե պատկերն ունի համաչափության երկու փոխուղղահայաց առանցքներ, ապա դրանց հատման կետը այդ պատկերի համաչափության կենտրոնն է:   Լուծումը

126. Ապացուցեք, որ հատվածի ծայրակետերով անցնող շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է այդ հատվածի համաչափության առանցքի վրա:   Լուծումը

127. Ապացուցեք, որ շրջանագծի կենտրոնից ելնող ճառագայթը շրջանագիծը հատում է մեկ կետում:   Լուծումը

130.  Տրված է մի շրջանագծի վրա գտնվող երեք կետ: Ապացուցեք, որ այդ կետերը չեն գտնվում մի ուղղի վրա:   Լուծումը 

133. AB հատվածի A ծայրակետը գտնվում է O կենտրոնով շրջանագծի վրա: Հայտնի է, որ OAB անկյունը փոքր է OBA անկյունից: Ապացուցեք, որ B կետը չի գտնվում այդ շրջանագծի վրա:   Լուծումը

136.A, B և C կետերով անցնող շրջանագծի կենտրոնը AB հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ ACB անկյունը ուղիղ է:   Լուծումը

138. Ապացուցեք, որ մի ուղղի վրա գտնվող երեք կամ ավելի կետերով շրջանագիծ չի անցնում:   Լուծումը

140. A կետի և շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավիղից: Ապացուցեք, որ A կետով անցնող յուրաքանչյուր ուղիղ այդ շրջանագծի հատող է:   Լուծումը

144. O կենտրոնով շրջանագծի OM շառավիղն անցնում է AB լարի միջնակետով: Ապացուցեք, որ շրջանագծի M կետով տարված շոշափողը զուգահեռ է AB լարին:   Լուծումը

147. AB տրամագծի և AC լարի կազմած անկյունը 30^օ է: C կետով տարված է շրջանագծի շոշափող, որը AB ուղիղը հատում է D կետում: Ապացուցեք, որ ACD եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը

151. MA և MB ուղիղները A և B կետերում շոշափում են O կենտրոնով շրջանագիծը: C կետը O կետի համաչափն է B կետի նկատմամբ: Ապացուցեք, որ ∠AMC=3∠BMC:   Լուծումը

152. Տրված շրջանագծի AB տրամագծի ծայրակետերից տարված են AA₁ և BB₁ ուղղահայացներ շրջանագծի այն շոշափողին, որն ուղղահայաց չէ այդ AB տրամագծին: Ապացուցեք, որ շոշափման կետը A₁B₁ հատվածի միջնակետն է:   Լուծումը

154. ABC եռանկյան B անկյունն ուղիղ է: Ապացուցեք, որ. ա) BC ուղիղը A կենտրոնով և AB շառավիղով շրջանագծի շոշափող է, բ) AB ուղիղը C կենտրոնով և CB շառավիղով շրջանագծի շոշափող է, գ) AC ուղիղը B կենտրոնով և BA, BC շառավիղներով շրջանագծերի շոշափող չէ:   Լուծումը

164. Շրջանագիծը A և B կետերով տրոհվում է երկու աղեղի, որոնց աստիճանային չափերը հարաբերում են, ինչպես 6:4: Գտեք այդ աղեղների աստիճանային չափերը:   Լուծումը

167. A, B և C կետերը գտնվում են O կենտրոնով շրջանագծի վրա: Գտեք  ABC անկյունը, եթե  ∠AOC=164^օ, իսկ B և O կետերը գտնվում են AC ուղղի տարբեր կողմերում:   Լուծումը 

172.  Շրջանագծի AB և CD լարերը հատվում են E կետում:  Գտեք  BEC  անկյունը,  եթե  ∪AD=54^օ, ∪BC=70^օ:   Լուծումը

175.Ապացուցեք, որ շրջանագծի՝ զուգահեռ լարերի միջև առնված աղեղների աստիճանային չափերը հավասար են:   Լուծումը

177. Գտեք շրջանից դուրս վերցված կետից այդ շրջանագծին տարված երկու հատողներով կազմված սուր անկյունը, եթե շրջանագծի՝ հատողների միջև առնված աղեղները հավասար են 140^օ և 52^օ:   Լուծումը

178. AC  հատվածը  շրջանագծի  տրամագիծ  է, AB-ն՝ լար, MA-ն՝ շոշափող, և MAB անկյունը սուր է: Ապացուցեք, որ ∠MAB=∠ACB:    Լուծումը

179. AM ուղիղը շրջանագծի շոշափող է, իսկ AB-ն՝ այդ շրջանագծի լար: Ապացուցեք, որ MAB անկյունը չափվում է MAB անկյան ներսում առնված AB աղեղի կեսով:   Լուծումը

180. ABC եռանկյան գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա: Ապացուցեք, որ եթե AB–ն շրջանագծի տրամագիծ է, ապա ∠C >∠A և ∠C>∠B:   Լուծումը

183.Չփռված O անկյան կիսորդի M կետից տարված են այդ անկյան կողմերին ուղղահայացներ՝ MA-ն և MB-ն: Ապացուցեք, որ AB⊥OM: Լուծումը

184. O անկյան կողմերը շոշափում են երկու այն շրջանագծերից յուրաքանչյուրին, որոնք A կետում ունեն ընդհանուր շոշափող: Ապացուցեք, որ այդ շրջանագծերի կենտրոնները գտնվում են OA ուղղի վրա:   Լուծումը

186. ABC եռանկյան B և C գագաթներին հարակից արտաքին անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ O կետը կենտրոն է մի շրջանագծի, որին շոշափում են AB, BC և AC ուղիղները:   Լուծումը

189. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի միջնուղղահայացները հատում են BC կողմը D կետում: Ապացուցեք, որ` ա) D-ն BC կողմի միջնակետն է, բ) ∠A=∠B+∠C:    Լուծումը

191. ABC և ABD հավասարասրուն եռանկյուններն ունեն ընդհանուր հիմք՝ AB-ն: Ապացուցեք, որ CD ուղիղն անցնում է AB հատվածի միջնակետով:   Լուծումը

192. Ապացուցեք, որ եթե ABC եռանկյան AB և AC կողմերը հավասար չեն, ապա եռանկյան AM միջնագիծը բարձրություն չէ:   Լուծումը

193. ABC հավասարասրուն եռանկյան AB հիմքին առընթեր անկյունների կիսորդները հատվում են M կետում: Ապացուցեք, որ CM և AB ուղիղները փոխուղղահայաց են:   Լուծումը

194. ABC հավասարասրուն եռանկյան սրունքներին տարված AA₁ և BB₁ բարձրությունները հատվում են M կետում: Ապացուցեք, որ MC ուղիղը AB հատվածի միջնուղղահայացն է:   Լուծումը

199.Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են:   Լուծումը

200. Հավասարակողմ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r է: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը 2r է:   Լուծումը

206. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտեք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:   Լուծումը

209.Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 2սմ և 8սմ: Գտեք սեղանի պարագիծը:   Լուծումը

211. Գտեք շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի կողմերը, եթե նրա պարագիծը 40սմ է, իսկ հիմքերից մեկը 4 անգամ փոքր է մյուսից:   Լուծումը

214.Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ապա այդ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է:   Լուծումը

215. Ապացուցեք, որ ցանկացած շեղանկյանը կարելի է ներգծել շրջանագիծ:   Լուծումը

219.Ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ: Ապացուցեք, որ նրա կենտրոնը ներքնաձիգի միջնակետն է:   Լուծումը

221. Ապացուցեք, որ կարելի է շրջանագիծ արտագծել` ա) ցանկացած ուղղանկյանը, բ) ցանկացած հավասարասրուն սեղանին:   Լուծումը

222. Ապացուցեք, որ եթե սեղանին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ապա սեղանը հավասարասրուն է:   Լուծումը

238. Ապացուցեք, որ յուրաքանչյուր կանոնավոր քառանկյուն քառակուսի է:   Լուծումը

241. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է. ա) 60^օ, բ) 90^օ, գ) 135^օ, դ) 150^օ:   Լուծումը

244.Կանոնավոր բազմանկյանն արտագծած է շրջանագիծ, որի շառավիղը հավասար է R-ի: Բազմանկյան կենտրոնը նրա կողմերից հեռացված է R/2-ի չափով: Ինչի՞ է հավասար այդ բազմանկյան կողմերի թիվը: Լուծումը

265. Ապացուցեք, որ շրջանագծի՝ տրամագիծ չհանդիսացող լարի ծայրակետերով տարված շոշափողները հատվում են:   Լուծումը

266. AB և AC ուղիղները B և C կետերում շոշափում են O կենտրոնով շրջանագիծը: BC աղեղի կամայական X կետով տարված է այդ շրջանագծին շոշափող, որը M և N կետերում հատում է AB և AC հատվածները: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյան պարագիծը և MON անկյան մեծությունը կախված չեն BC աղեղի վրա X կետի ընտրությունից:   Լուծումը

267*. Երկու շրջանագծեր ունեն ընդհանուր կետ` M-ը, և այդ կետում ընդհանուր շոշափող: AB ուղիղը շոշափում է շրջանագծերից մեկը A կետում, իսկ մյուսը՝ B կետում: Ապացուցեք, որ M կետը գտնվում է AB տրամագծով շրջանագծի վրա:   Լուծումը

268. Շրջանագծի AA₁ տրամագիծը ուղղահայաց է BB₁ լարին: Ապացուցեք, որ կիսաշրջանագծից փոքր AB և AB₁ աղեղների աստիճանային չափերը հավասար են:   Լուծումը

269. A, B, C և D կետերը գտնվում են շրջանագծի վրա: Ապացուցեք, որ եթե ∪AB=∪CD, ապա AB = CD:   Լուծումը

270. AB հատվածը շրջանագծի տրամագիծ է, իսկ BC և AD լարերը զուգահեռ են: Ապացուցեք, որ CD լարը տրամագիծ է:   Լուծումը

272. Շրջանից դուրս վերցրած կետով տարված են այդ շրջանագծի երկու հատող: Ապացուցեք, որ դրանց կազմած անկյունը չափվում է այն աղեղների աստիճանային չափերի կիսատարբերությամբ, որոնք առնված են հատողների միջև:   Լուծումը

273.Կարո՞ղ է արդյոք տարակողմ եռանկյան գագաթը գտնվել եռանկյան կողմերից մեկի միջնուղղահայացի վրա: Պատասխանը հիմնավորեք:   Լուծումը

274. Ապացուցեք, որ եթե ուղղանկյանը կարելի է շրջանագիծ ներգծել, ապա այն քառակուսի է:   Լուծումը

275. Ապացուցեք, որ եթե սեղանի հիմքերն ընդգրկող ուղիղները շոշափում են շրջանագիծը, և շոշափման կետերը գտնվում են հիմքերի վրա, ապա սեղանի միջին գիծն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով:   Լուծումը

277. Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է միջնագծի վրա: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյունը հավասարասրուն է կամ ուղղանկյուն:   Լուծումը

278. Հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած է O₁ կենտրոնով շրջանագիծ, և արտագծած է O₂ կենտրոնով շրջանագիծ: Ապացուցեք, որ O₁ և O₂ կենտրոնները գտնվում են եռանկյան հիմքի միջնուղղահայացի վրա:   Լուծումը

279. Ապացուցեք, որ եթե շեղանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ապա այդ շեղանկյունը քառակուսի է:   Լուծումը

281. A և B կետերից տարված են AOB անկյան կողմերին ուղղահայաց ուղիղներ, որոնք հատվում են անկյան ներսում գտնվող C կետում: Ապացուցեք, որ ACBO քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ:   Լուծումը

282. Ապացուցեք, որ սեղանի անկյունների կիսորդների հատումից ստացված ուռուցիկ քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ:   Լուծումը

283. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AC կողմի M կետից տարված է AB ներքնաձիգին ուղղահայաց՝ MH-ը: Ապացուցեք, որ MHC և MBC անկյունները հավասար են:   Լուծումը

284. Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծին կարելի է և ներգծել, և արտագծել  շրջանագիծ, ապա այդ զուգահեռագիծը քառակուսի է:   Լուծումը

285. Տրված են a ուղիղը, նրա վրա A կետը և նրա վրա չգտնվող B կետը: Կառուցեք շրջանագիծ, որն անցնի B կետով և a ուղիղը շոշափի A կետում:   Լուծումը

286.  Տրված են երկու զուգահեռ ուղիղներ և մի կետ, որը չի գտնվում դրանցից ոչ մեկի վրա: Կառուցեք այդ կետով անցնող շրջանագիծ, որին այդ ուղիղները լինեն շոշափող:   Լուծումը

289. Քանի՞ կողմ ունի այն կանոնավոր բազմանկյունը, որի արտաքին անկյուններից մեկը հավասար է` ա) 18^օ, բ) 40^օ, գ) 72^օ, դ) 60^օ:   Լուծումը

290. Գտեք A₁A₂A₃A₄A₅A₆ կանոնավոր վեցանկյան պարագիծը, եթե A₁A₄=2,24մ:    Լուծումը

296. Գծագրեք ABCD զուգահեռագիծ և նշեք այնպիսի M կետ, որը համաչափ է D կետին C կետի նկատմամբ: Ապացուցեք, որ S_ABCD=S_AMD:   Լուծումը

297. ABCD ուղղանկյան AD կողմի վրա կառուցված է ADE եռանկյուն այնպես, որ նրա AE և DE կողմերը BC հատվածը հատում են M և N կետերում, ընդ որում՝ M կետը AE հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ S_ABCD=S_ADE:   Լուծումը

308. Տրված է ABCD քառակուսին: AD ճառագայթի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ ∠AMB=30^o, և BM=20սմ: Գտեք այդ քառակուսու մակերեսը:   Լուծումը

310. ABCD ուղղանկյան A և D անկյունների կիսորդները BC կողմի հետ հատվում են միևնույն M կետում: Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը, եթե հայտնի է, որ նրա պարագիծը 42սմ է:   Լուծումը

320. Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^o է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2սմ և 3սմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:   Լուծումը

325. Որոշեք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե նրա կից կողմերի տարբերությունը 10սմ է, իսկ բարձրությունները հարաբերում են, ինչպես 3:5:   Լուծումը

331. Եռանկյան երկու կողմերն են 7,5սմ և 3,2սմ: Դրանցից մեծին տարված բարձրությունը 2,4սմ է: Գտեք տրված կողմերից փոքրին տարված բարձրությունը:   Լուծումը

338.Համեմատեք այն երկու եռանկյունների մակերեսները, որոնց տրոհվում է տրված եռանկյունն իր միջնագծով:   Լուծումը

340. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի վրա վերցված են համապատասխանաբար M և N կետերն այնպես, որ AB=2AM, AC=3AN: Գտեք ABC և AMN եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը:   Լուծումը

341. Գծեք ABC եռանկյուն: A գագաթով տարեք երեք այնպիսի ուղիղներ, որ դրանք եռանկյունը տրոհեն չորս միմյանց հավասար մակերեսով եռանկյունների:   Լուծումը

342.Ապացուցեք, որ շեղանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին: Հաշվեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա անկյունագծերը հավասար են. ա) 3,2դմ և 14սմ, բ) 4,6դմ և 2դմ:   Լուծումը

344. Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Ապացուցեք, որ այդ քառանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին:   Լուծումը

348.Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝  44սմ²: Գտեք սեղանի բարձրությունը:   Լուծումը

373.Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվվում է S=√3a²/4 բանաձևով, որտեղ a-ն եռանկյան կողմն է: Գտեք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է. ա) 4սմ, բ) 1,2սմ, գ) 2√2 սմ:   Լուծումը

376. Գտեք 10սմ, 10սմ, 12սմ կողմերով եռանկյան բարձրությունները:   Լուծումը

380. Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 9սմ և 18սմ են, իսկ մեծ սրունքը՝ 15սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը:   Լուծումը

 385. Եռանկյան երկու կողմերն են 30սմ և 25սմ, իսկ երրորդ կողմին տարված բարձրությունը՝ 24սմ: Գտեք երրորդ կողմը:   Լուծումը

405.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան էջի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը կրկնակի մեծ է, քան ներքնաձիգին տարված բարձրության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը:   Լուծումը

407. Զուգահեռագծի բարձրություններն են 5սմ և 4սմ, իսկ պարագիծը՝ 42սմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:   Լուծումը

408. Գտեք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե նրա մակերեսը 24սմ² է, իսկ անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը կողմերից հավասար է 2սմ և 3սմ:   Լուծումը 

409. Զուգահեռագծի փոքր կողմը 29սմ է: Անկյունագծերի հատման կետից մեծ կողմին տարված ուղղահայացը այդ կողմը տրոհում է 33սմ և 12սմ հատվածների: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:   Լուծումը

410. Ապացուցեք, որ a և b կողմեր ունեցող բոլոր եռանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի այն եռանկյունը, որի այդ կողմերը ուղղահայաց են:   Լուծումը

411. Քառակուսու գագաթով ինչպե՞ս տանել երկու ուղիղ, որ քառակուսին բաժանվի հավասար մակերես ունեցող երեք պատկերների:   Լուծումը 

412*. Մի եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը մեծ է մյուս եռանկյան ցանկացած կողմից: Արդյոք դրանից հետևու՞մ է, որ առաջին եռանկյան մակերեսը մեծ է երկրորդի մակերեսից:   Լուծումը

413*. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի վրա գտնվող կետի՝ սրունքից ունեցած հեռավորությունների գումարը կախված չէ այդ կետի դիրքից:   Լուծումը 

 414.  Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան ներսում գտնվող կետի՝ կողմերից ունեցած հեռավորությունների գումարը կախված չէ այդ կետիդիրքից:   Լուծումը 

415*. ABC եռանկյան BC կողմի վրա վերցրած D կետից տարված են մյուս երկու կողմերին զուգահեռ ուղիղներ, որոնք այդ AB և AC կողմերը հատում են, համապատասխանաբար, E և F կետերում: Ապացուցեք, որ CDE և BDF եռանկյուններն ունեն հավասար մակերես:   Լուծումը 

416. AB և CD սրունքներով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: ա) Համեմատեք ABD և ACD եռանկյունների մակերեսները: բ) Համեմատեք ABO և CDO եռանկյունների մակերեսները: գ) Ապացուցեք, որ OA⋅OB=OC⋅OD:   Լուծումը 

417. Շեղանկյան անկյունագծերը հավասար են 18մ և 24մ: Գտեք շեղանկյան պարագիծը և զուգահեռ կողմերի միջև հեռավորությունը:   Լուծումը

418. Շեղանկյան մակերեսը 540սմ² է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 4,5դմ: Գտեք անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը շեղանկյան կողմերից:   Լուծումը

419. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը, եթե. ա) նրա սրունքը 20սմ է, իսկ հիմքին առընթեր անկյունը՝ 30^o, բ) սրունքին տարված բարձրությունը 6սմ է և հիմքի հետ կազմում է 45^o անկյուն:   Լուծումը 

420. ABC եռանկյան BC կողմը 34սմ է: Այդ կողմի միջնակետից AC ուղղին տարված MN ուղղահայացը AC կողմը տրոհում է երկու՝ AN=25 սմ և NC=15սմ հատվածների: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը:   Լուծումը

 421. Գտեք ABCD քառանկյան մակերեսը, եթե AB=5սմ, BC=13սմ, CD=9սմ, DA=15սմ, AC=12սմ:   Լուծումը

422. Գտեք հավասարասրուն սեղանի մակերեսը, եթե. ա) նրա փոքր հիմքը 18սմ է, բարձրությունը՝ 9սմ, իսկ սուր անկյունը՝ 45^o, բ) նրա հիմքերը 16սմ և 30սմ են, իսկ անկյունագծերը փոխուղղահայաց են:   Լուծումը

423. Գտեք հավասարասրուն սեղանի մակերեսը, եթե նրա բարձրությունը h է, իսկ անկյունագծերը փոխուղղահայաց են:   Լուծումը 

424. Հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, իսկ նրա հիմքերի գումարը 2a է: Գտեք սեղանի մակերեսը:   Լուծումը

425. Ապացուցեք, որ եթե ABCD քառանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա AD²+BC²=AB²+CD²:   Լուծումը 

426. AD=17սմ, BC=5սմ հիմքերով և AB=10 սմ սրունքով ABCD հավասարասրուն սեղանի B գագաթով տարված է մի ուղիղ, որը կիսում է AC անկյունագիծը, իսկ AD հիմքը հատում է M կետում: Գտեք BDM եռանկյան մակերեսը:   Լուծումը

427.  a կողմով երկու քառակուսի ունեն մի ընդհանուր գագաթ, ընդ որում՝ նրանցից մեկի կողմը գտնվում է մյուսի անկյունագծի վրա: Գտեք այդ քառակուսիների ընդհանուր մասի մակերեսը:   Լուծումը

428.Խորանարդի մի նիստի անկյունագիծը a է: Գտեք այդ խորանարդի մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը 

429.  Ուղղանկյունանիստի հիմքը a կողմով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերից յուրաքանչյուրի անկյունագիծը հիմքի կողի հետ կազմում է 60^o անկյուն: Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

430.Գտեք այն ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, որի նույն գագաթով անցնող կողերն ունեն a, 2a և 3a երկարություններ:   Լուծումը

441.Տրված է A₁A₂A₃A₄A₅A₆ վեցանկյունը, որի բոլոր անկյունները հավասար են: Ապացուցեք, որ A₁A₂-A₄A₅=A₅A₆-A₂A₃=A₃A₄-A₆A₁: Լուծումը

442.a₁, a₂, a₃ ,a₄, a₅ և a₆ դրական թվերը բավարարում են a₁-a₄=a₅-a₂=a₃-a₆ պայմաններին: Ապացուցեք, որ գոյություն ունի A₁A₂A₃A₄A₅A₆ ուռուցիկ վեցանկյուն, որի բոլոր անկյունները հավասար են, ընդ որում` A₁A₂=a₁, A₂A₃=a₂, A₃A₄=a₃, A₄A₅=a₄, A₅A₆=a5, A₆A₁=a₆: Լուծումը

443.Ապացուցեք, որ կամայական ուռուցիկ քառանկյանձև ունեցող միատեսակ սալիկներով կարելի է այնպես երեսպատել սալահատակը, որ ամբողջությամբ ծածկի տակ ներառվի հարթության մաս հանդիսացողց անկացած հարթակ: Լուծումը

446.AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: D կետով անցնում է AD-ին ուղղահայաց ուղիղ, որը E կետում հատում է AC ուղիղը: B և D կետերից AC ուղղին տարված ուղղահայացների հիմքերն են M-ը և K-ն: Գտեք MK-ն, եթե AE=a: Լուծումը

447.Ապացուցեք, որ եռանկյան երեք միջնագծերի գումարը փոքր է պարագծից, բայց մեծ է կիսապարագծից: Լուծումը

449.Գտեք այն հատվածների միջնակետերի բազմությունը, որոնք տրված կետը միացնում են այդ կետով չանցնող` տրված ուղղի բոլոր կետերին: Լուծումը

450.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի հիմքերի միջնակետով անցնող ուղիղն ուղղահայաց է հիմքերին: Ձևակերպեք և ապացուցեք հակադարձ պնդումը: Լուծումը

453. ABCD քառակուսու CD կողմի վրա նշված է M կետը: BAM անկյան կիսորդը K կետում հատում է BC կողմը: Ապացուցեք, որ AM=BK+DM:   Լուծումը

454. Նկար 100-ում պատկերված են երեք քառակուսի: Գտեք ∠BAE+∠CAE+∠DAE գումարը: Լուծումը

455.ABCD քառակուսու ներսում վերցված է M կետն այնպես, որ ∠MAB=60^o, ∠MCD=15^o: Գտեք ∠MBC-ն: Լուծումը

459. Ապացուցեք, որ եթե ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ չեն, ապա նրանց կիսագումարը մեծ է մյուս երկու հանդիպակաց կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածից:   Լուծումը 

461. Ապացուցեք, որ եթե ուռուցիկ քառանկյան երկու հանդիպակաց կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը հավասար է մյուս երկու կողմերի կիսագումարին, ապա այդ քառանկյունը սեղան է կամ զուգահեռագիծ:   Լուծումը

465. AB հատվածը O կենտրոնով շրջանագծի տրամագիծ է: Շրջանագծի յուրաքանչյուր OM շառավիղի վրա O կետից տեղադրված է հատված, որի երկարությունը հավասար է M ծայրակետի և AB ուղղի միջև եղած հեռավորությանը: Գտեք այդ ձևով կառուցված հատվածների ծայրակետերի բազմությունը:   Լուծումը

467.ABC եռանկյան B գագաթից տարված են BH բարձրությունը և B անկյան կիսորդը: Այդ կիսորդը E կետում հատում է եռանկյան արտագծյալ շրջանագիծը, որի կենտրոնը O-ն է: Ապացուցեք, որ BE ճառագայթը OBH անկյան կիսորդն է: Լուծումը

473. Ապացուցեք, որ սեղանի մակերեսը հավասար է սրունքներից մեկի և այն ուղղահայացի արտադրյալին, որը մյուս սրունքի միջնակետից տարված է առաջին սրունքն ընդգրկող ուղղին:   Լուծումը

474. Սեղանի փոքր հիմքի ծայրակետերով տարված են երկու զուգահեռ ուղիղներ, որոնք հատում են մեծ հիմքը: Սեղանի անկյունագծերը և այդ ուղիղները տրոհում են սեղանը յոթ եռանկյան և մեկ հնգանկյան: Ապացուցեք, որ հնգանկյան մակերեսը հավասար է այն երեք եռանկյունների մակերեսների գումարին, որոնք հարակից են սրունքներին և փոքր հիմքին:  Լուծումը

475. ABCD զուգահեռագծի AB կողմը B կետից շարունակված է BE հատվածով, իսկ AD կողմը D կետիցª DK հատվածով: ED և KB հատվածները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ ABOD և CEOK քառանկյունների մակերեսները հավասար են:   Լուծումը 

477. A կետն ընկած է 60^o-ի անկյան ներսում: a-ն և b-ն A կետի հեռավորություններն են անկյան կողմերից: Գտեք A կետի հեռավորությունը անկյան գագաթից:   Լուծումը

479.ABCD ուղղանկյան ներսում վերցված է M կետը: Հայտնի է, որ MB=a, MC=b և MD=c: Գտեք MA-ն:   Լուծումը

481. C ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան ներսում վերցված է O կետն այնպես, որ S_OAB=S_OAC=S_OBC: Ապացուցեք, որ OA²+OB²=5⋅OC²:    Լուծումը

482. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը այնպիսի քառակուսու կողմ է, որը չի ծածկում այդ եռանկյունը: Գտեք այդ քառակուսու անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից, եթե նրա էջերի գումարը a է:   Լուծումը 

484. Ապացուցեք, որ եթե ներգծյալ քառանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է արտագծված շրջանագծի տրամագծի քառակուսուն:   Լուծումը