ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 7 (Աթանասյան և ուրիշներ)
39. B, D և M կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Հայտնի է, որ BD=7սմ, MD=16սմ: Որքա՞ն կարող է լինել BM հեռավորությունը: Լուծումը
42. 20սմ երկարություն ունեցող AB հատվածի վրա նշված է D կետը: Գտեք AD և BD հատվածների երկարությունները, եթե BD հատվածը 4սմ–ով երկար է AD հատվածից: Լուծումը
47. Հատվածը, որի երկարությունը a է, կամայական կետով տրոհված է երկու հատվածի: Գտեք այդ երկու հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը: Լուծումը
48. 28սմ–ի հավասար հատվածը տրոհված է երեք անհավասար հատվածների: Եզրային հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը 16սմ է: Գտեք մեջտեղի հատվածի երկարությունը: Լուծումը
56. OC ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք COB անկյունը, եթե ∠AOB=78o, իսկ AOC անկյունը 18o–ով փոքր է BOC անկյունից: Լուծումը
59. Նկար 41–ում AOD անկյունը ուղիղ է, ∠AOB=∠BOC=∠COD: Գտեք այն անկյունը, որը կազմվում է AOB և COD անկյունների կիսորդներով: Լուծումը
68.Արդյոք ճշմարի՞տ է հետևյալ պնդումը. եթե կից անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղիղ անկյուններ են: Լուծումը
71. O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում BO⊥AO (նկ. 49): AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 20o է: Գտեք BOC և AOC անկյունները: Լուծումը
73.Նկար 51-ում BOD և COD անկյունները հավասար են: Գտեք AOD անկյունը, եթե ∠COB=148o: Լուծումը
75.Գտեք երկու ուղիղների հատումից առաջացած չփռված անկյունները, եթե. ա) դրանցից երկուսի գումարը114o է, բ) երեք անկյունների գումարը 220o է: Լուծումը
78.Նկար 53-ում ∠AOB=50o, ∠FOE=70o: Գտեք AOC, BOD, COE և COD անկյունները: Լուծումը
80. a ուղղի վրա չգտնվող A կետով տարված են երեք ուղիղ, որոնք հատում են a ուղիղը: Ապացուցեք, որ տարված ուղիղներից առնվազն երկուսը ուղղահայաց չեն a ուղղին: Լուծումը
81.Նշեք չորս կետ այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուր երեքը մի ուղղի վրա չգտնվեն: Կետերի յուրաքանչյուր զույգով տարեք ուղիղ: Քանի՞ուղիղէ ստացվում: Լուծումը
82.Տրված են չորս ուղիղ, որոնցից յուրաքանչյուր երկուսը հատվում են: Քանի՞սն են հատման կետերը, եթե յուրաքանչյուր հատման կետով անցնում է միայն երկու ուղիղ: Լուծումը
83. Քանի չփռված անկյուն է առաջանում միևնույն կետով անցնող երեք ուղիղների հատման դեպքում: Լուծումը
84. N կետը գտնվում է MP հատվածի վրա: M և P կետերի հեռավորությունը 24սմ է, իսկ N և M կետերի հեռավորությունը՝ երկու անգամ մեծ, քան N և P կետերի հեռավորությունը: Գտեք. ա) N և P կետերի հեռավորությունը, բ) N և M կետերի հեռավորությունը: Լուծումը
85.AB հատվածի երկարությունը 14սմ է, իսկ D կետը գտնվում է AB ուղղի վրա: Գտեք AD հեռավորությունը, եթե DA=3DB: Լուծումը
86. Երեք կետ՝ K-ն, L-ը, M-ը, գտնվում են մի ուղղի վրա. KL=6սմ, LM=10սմ: Որքա՞ն կարող է լինել KM հեռավորությունը: Կատարեք գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար: Լուծումը
87. a երկարությամբ AB հատվածը P և Q կետերով տրոհված է երեք՝ AP, PQ և QB հատվածների այնպես, որ AP=2PQ=2QB: Գտեք. ա) A կետի և QB հատվածի միջնակետի հեռավորությունը, բ) AP և QB հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը: Լուծումը
88. m երկարությամբ հատվածը բաժանված է. ա) երեք հավասար մասերի, բ) հինգ հավասար մասերի: Գտեք եզրային մասերի միջնակետեր իհեռավորությունը: Լուծումը
89. 36սմ երկարությամբ հատվածը տրոհված է չորս՝ միմյանց անհավասար մասերի: Եզրային մասերի միջնակետերի հեռավորությունը 30սմ է: Գտեք մեջտեղի մասերի միջնակետերի հեռավորությունը: Լուծումը
90.A, B և C կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա, իսկ M, N կետերը AB և AC հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ BC=2MN: Լուծումը
91. Հայտնի է, որ ∠AOB=35o, ∠BOC=50o: Գտեք AOC անկյունը: Հնարավոր յուրաքանչյուր դեպքի համար կատարեք գծագիր՝ օգտվելով քանոնից և անկյունաչափից: Լուծումը
92. hk անկյունը 120o է, իսկ hm անկյունը՝ 150o: Գտեք km անկյունը: Հնարավոր յուրաքանչյուր դեպքի համար կատարեք գծագիր: Լուծումը
93. Գտեք կից անկյունները, եթե. ա) նրանցից մեկը մյուսից մեծ է 45o–ով, բ) նրանց տարբրությունը 35o է, գ) դրանց աստիճանային չափերը հարաբերում են, ինչպես 2:3: Լուծումը
94. Գտեք կից անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը: Լուծումը
95. Ապացուցեք, որ հակադիր անկյունների կիսորդները գտնվում են մի ուղղի վրա: Լուծումը
96. Ապացուցեք, որ եթե ABC և CBD անկյունների կիսորդները փոխուղղահայաց են, ապա A, B և D կետերը գտնվում են միուղղի վրա: Լուծումը
97. Տրված են երկու` a և b, հատվող ուղիղներ և այդ ուղիղների վրա չգտնվող A կետը: A կետով տարված են m և ուղիղներն այնպես, որ m⊥a և n⊥b: Ապացուցեք, որ m և n ուղիղները չեն համընկնում: Լուծումը
104. AE և DC հատվածները հատվում են B կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ ABC և EBD եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք ABC եռանկյան A և C անկյունները, եթե BDE եռանկյան մեջ ∠D=47օ, ∠E=42օ: Լուծումը
105. Նկար 57-ում AB=AC, ∠1=∠2: ա) Ապացուցեք, որ ABD և ACD եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք BD-ն և AB-ն, եթե AC=15սմ, DC=5սմ: Լուծումը
106. Նկար 58-ում BC=AD, ∠1=∠2: ա) Ապացուցեք, որ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=17սմ, DC=14սմ: Լուծումը
107. Նկար 59-ում OA=OD, OB=OC, ∠1=74օ, ∠2=36օ: ա) Ապացուցեք, որ AOB և DOC եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք ∠ACD-ն: Լուծումը
108. AC և BD հատվածները հատվում և հատման կետում կիսվում են: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔCDA: Լուծումը
109. ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1: AB և A1B1 կողմերի վրա P և P1 կետերը նշված են այնպես, որ AP=A1P1: Ապացուցեք, որ ΔBPC=ΔB1P1C1: Լուծումը
110. CAD անկյան կողմերի վրա նշված են B և E կետերն այնպես, որ B կետն ընկած է AC հատվածի վրա, իսկ E կետը` AD հատվածի վրա, ընդ որում`AC=AD և AB=AE: Ապացուցեք, որ ∠CBD=∠DEC: Լուծումը
111.Նկար 60-ում AO=OC, ∠1=∠2: Ապացուցեք, որ AB=BC: Լուծումը
117. A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են: ա) Ապացուցեք, որ ΔABD=ΔCDB, բ) գտեք ∠ABC-ն, եթե ∠ADB=44o: Լուծումը
118. ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD–ին, իսկ E կետը միացված է C կետին: ա) Ապացուցեք, որ ΔABD=ΔECD, բ) գտեք ∠ACE-ն, եթե ∠ACD=56o, ∠ABD=40o: Լուծումը
122. BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AM միջնագիծը: Գտեք այդ միջնագիծը, եթե ABC եռանկյան պարագիծը 32սմ է, իսկ ABM եռանկյան պարագիծը` 24սմ: Լուծումը
123. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան միջնագիծը համընկնում է նրա բարձրությանը, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
124. Նկար 71-ում CD=BD, ∠1=∠2: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
126. M և P կետերը գտնվում են b ուղղի միևնույն կողմում: b ուղղին տարված MN և PQ ուղղահայացները հավասար են. O կետը NQ հատվածի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ ∠OMP=∠OPM, բ) գտեք ∠MON-ը, եթե ∠MOP=105o: Լուծումը
127. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների մեջ հավասար կողմերին տարված միջնագծերը հավասար են: Լուծումը
128. ABC եռանկյան AM միջնագիծը հավասար է BM հատվածին: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյան անկյուններից մեկը հավասար է մյուս երկու անկյունների գումարին: Լուծումը
129.Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները հավասար են: Լուծումը
130. Նկար 73-ում AB=BC, CD=DE: Ապացուցեք, որ ∠BAC=∠CED: Լուծումը
131. ABC հավասարասրուն եռանկյան BC հիմքի վրա M և N կետերը նշված են այնպես, որ BM=CN: Ապացուցեք, որ` ա) ΔBAM=ΔCAN, բ) AMN եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
133. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BD միջնագիծը: AB և CB կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար E և F կետերն այնպես, որ AE=CF: Ապացուցեք, որ`ա) ΔBDE=ΔBDF, բ) ΔADE=ΔCDF: Լուծումը
134. AB և CD հատվածները հատվում են AB հատվածի O միջնակետում, ∠OAD=∠OBC: ա) Ապացուցեք, որ ΔCBO=ΔDAO, բ) գտեք BC-ն և CO-ն, եթե CD=26սմ, AD=15սմ: Լուծումը
135. Նկար 58-ում ∠1=∠2, ∠3=∠4: ա) Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔCDA, բ)գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=19սմ, CD=11սմ: Լուծումը
136. A անկյան կիսորդի վրա D կետը, իսկ կողմերի վրա B և C կետերը նշված են այնպես, որ ∠ADB=∠ADC: Ապացուցեք, որ BD=CD: Լուծումը
137. Ըստ նկար 79-ի տվյալների` ապացուցեք, որ OP=OT, ∠P=∠T: Լուծումը
138. Նկար 80-ում ∠DBC=∠DAC, BO=AO: Ապացուցեք, որ ∠C=∠D և AC=BD: Լուծումը
140. ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ AB=A1B1, BC=B1C1, ∠B=∠B1: AB և A1B1 կողմերի վրա D և D1 կետերը նշված են այնպես, որ ∠ACD=∠A1C1D1: Ապացուցեք, որ ΔBCD=ΔB1C1D1: Լուծումը
141. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների մեջ համապատասխանաբար հավասար կողմերին տարած կիսորդները հավասար են: Լուծումը
142. AC և BD հատվածները հատվում են AC հատվածի O միջնակետում, ∠BCO=∠DAO: Ապացուցեք, որ ΔBOA=ΔDOC: Լուծումը
143. ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ CO և C1O1 հատվածները միջնագծեր են, BC=B1C1, ∠B=∠B1 և ∠C=∠C1: Ապացուցեք, որ` ա) ΔACO=ΔA1C1O1, բ) ΔBCO=ΔB1C1O1: Լուծումը
144. DEF և MNP եռանկյունների մեջ EF=NP, DF=MP և ÐF=ÐP: E և D անկյունների կիսոր դները հատվում են O կետում, իսկ M և N անկյունների կիսորդները` K կետում: Ապացուցեք, որ ΔDOE=ΔMKN: Լուծումը
145. Ուղիղը, որն ուղղահայաց է A անկյան կիսորդին, անկյան կողմերը հատում է M և N կետերում: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
146.Ապացուցեք, որ եթե եռանկյանկիսորդը համընկնում է բարձրությանը, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
147. Ապացուցեք, որ եթե հավասարասրուն եռանկյուններից մեկի հիմքն ու նրան առընթեր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի հիմքին ու նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են: Լուծումը
148. Ապացուցեք, որ եթե հավասարակողմ եռանկյուններից մեկի կողմը հավասար է մյուսի կողմին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են: Լուծումը
149. AC հատվածի վրա, իբրև հիմքի, նրա տարբեր կողմերում կառուցված են երկու հավասարասրուն եռանկյուններ` ABC և ADC: Ապացուցեք, որ BD⊥AC: Լուծումը
151. Նկար 58-ում BC=AD, AB=CD: Ապացուցեք, որ ∠B=∠D: Լուծումը
152. Նկար 81-ում AB=CD և BD=AC: Ապացուցեք` ա) ∠CAD=∠ADB, բ) ∠BAC=∠CDB: Լուծումը
153. Նկար 82-ում AB=CD, AD=BC, BE-ն ABC անկյան կիսորդն է, իսկ DF-ը` ADC անկյան կիսորդը: Ապացուցեք` ա) ∠ABE=∠ADF, բ) ΔABE=ΔCDF: Լուծումը
154. ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ BM և B1M1 միջնագծերը հավասար են. AB=A1B1, AC=A1C1: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA1B1C1: Լուծումը
155. ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ AD և A1D1 հատվածները կիսորդներ են, AB=A1B1, BD=B1D1 և AD=A1D1: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA1B1C1: Լուծումը
156. ADC և CBD հավասարասրուն եռանկյուններն ունեն ընդհանուր հիմք` DC-ն: AB ուղիղը O կետում հատում է CD հատվածը: Ապացուցեք, որ` ա) ∠ADB=∠ACB, բ) DO=OC: Լուծումը
158. AB և CD հատվածները շրջանագծի տրամագիծ են: Ապացուցեք, որ` ա) BD և AC լարերը հավասար են, բ) AD և BC լարերը հավասար են, գ) ∠BAD=∠BCD: Լուծումը
160. O կենտրոնով շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ∠AOB-ն ուղիղ անկյուն է: BC հատվածը շրջանագծի տրամագիծ է: Ապացուցեք, որ AB և AC լարերը հավասար են: Լուծումը
162. Նկար 93-ում AB և CD լարերը հավասար են: Ապացուցեք, որ ∠AOB=∠COD: Լուծումը
163. Նկար 94-ում AB=CD, E և F կետերը AB և CD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ OE=OF: Լուծումը
183. ABC եռանկյան պարագիծը 15սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2սմ-ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է 1սմ-ով: Գտեք եռանկյան կողմերը: Լուծումը
184. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 2սմ-ով մեծ է սրունքից և 3սմ-ով փոքր է սրունքների գումարից: Գտեք եռանկյան կողմերը: Լուծումը
185. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 8սմ է: Սրունքին տարված միջնագիծը եռանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների այնպես, որ այդ եռանկյուններից մեկի պարագիծը մյուսի պարագծից մեծ է 2սմ-ով: Գտեք տրված եռանկյան սրունքը: Լուծումը
186. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BO միջնագիծը, իսկ BOC եռանկյան մեջ OK կիսորդը: Գտեք AOK անկյունը: Լուծումը
187. Նկար 102-ում AB=BC, OM-ը AOB եռանկյան կիսորդն է, ∠MOC=135o: Ապացուցեք, որ ∠ABO=∠OBC: Լուծումը
188.Ապացուցեք, որ եթե երկու հավասարասրուն եռանկյուններից մեկի սրունքը և հիմքի հանդիպակաց անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի սրունքին և հիմքի հանդիպակաց անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են: Լուծումը
189. A ուղիղն անցնում է AB հատվածի միջնակետով և ուղղահայաց է նրան: Ապացուցեք, որ ա) a ուղղի յուրաքանչյուր կետ հավասարահեռ է A և B կետերից, բ) A և B կետերից հավասարահեռ յուրաքանչյուր կետ գտնվում է a ուղղի վրա: Լուծումը
190. ABC և A1B1C1 եռանկյունների AM և A1M1 միջնագծերը հավասար են, BC=B1C1 և ∠AMB=∠A1M1B1: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA1B1C1: Լուծումը
191.Նկար 103-ում ADE եռանկյունը հավասարասրուն է, DE-ն նրա հիմքը: Ապացուցեք, որ ա) եթե BD=CE, ապա ∠CAD=∠BAE և AB=AC, բ) եթե ∠CAD=∠BAE, ապա BD=CE և AB=AC: Լուծումը
192.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան կողմերի միջնակետերը մեկ այլ հավասարասրուն եռանկյան գագաթներ են: Լուծումը
193.ABC հավասարակողմ եռանկյա նկողմերի վրա առանձնացված են հավասար AD, BE և CF հատվածները, ինչպես ցույց է տրված նկար104-ում: D, E, F կետերը հատվածներով միացված են: Ապացուցեք, որ DEF եռանկյունը հավասարակողմ է: Լուծումը
194.AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր O միջնակետում: AC և BD հատվածների վրա K և K1 կետերը նշված են այնպես, որ AK=BK1: Ապացուցեք, որ ա) OK=OK1, բ) O կետը գտնվում է KK1 ուղղի վրա: Լուծումը
195.AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր O միջնակետում: M և N կետերը AC և BD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ O կետը MN հատվածի միջնակետն է: Լուծումը
196.ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմերը շարունակված են AD, CE, BF հավասար հատվածներով, ինչպես ցույց է տրված նկար 105-ում: Ապացուցեք, որ DEF եռանկյունը հավասարակողմ է: Լուծումը
197.ABC եռանկյան մեջ ∠A=38o, ∠B=110o, ∠C=32o: AC կողմի վրա D և E կետերը նշված են այնպես, որ D կետը գտնվում է AE հատվածի վրա, BD=DA, BE=EC: Գտեք ∠DBE-ն: Լուծումը
198. Նկար 106–ում OC=OD, OB=OE: Ապացուցեք, որ AB=EF: Այս խնդրի լուծման հիման վրա պարզաբանեք, թե ինչ եղանակով կարելի է չափել լճի լայնությունը (նկար 106–ում այն AB հատվածն է): Լուծումը
199.Ապացուցեք ABC և A1B1C1 եռանկյունների հավասարությունը, եթե AB=A1B1, ∠A=∠A1, AD=A1D1, որտեղ AD-ն և A1D1-ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են: Լուծումը
200. ABC և ADC եռանկյունների մեջ BC և AD կողմերը հավասար են և հատվում են O կետում, ÐOAC=ÐOCA: Ապացուցեք, որ ABO և CDO եռանկյունները հավասար են: Լուծումը
201. Նկար 107-ում AC=AD, AB⊥CD: Ապացուցեք, որ BC=BD և ∠ACB=∠ADB: Լուծումը
202*.Ապացուցեք, որ եռանկյան անկյանը կից անկյունը ավելի մեծ է, քան եռանկյան մյուս անկյուններից յուրաքանչյուրը: Լուծումը
203*.Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA1B1C1, եթե ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, BC=B1C1: Լուծումը
204. XOY անկյան կողմերի վրա A, B, C և D կետերը նշված են այնպես, որ OA=OB, AC=BD (նկ. 108): AD և BC ուղիղները հատվում են E կետում: Ապացուցեք, որ OE ճառագայթը XOY անկյան կիսորդն է: Լուծումը
205*.Ապացուցեք, որ ABC և A1B1C1 եռանկյունները հավասար են, եթե AB=A1B1, AC=A1C1, AM=A1M1, որտեղ AM-ը և A1M1-ը եռանկյունների միջնագծերնեն: Լուծումը
206*. Տրված են մի ուղղի վրա գտնվող երեք կետ A-ն, B-ն, C-ն, իսկ D կետը չի գտնվում այդ ուղղի վրա: Ապացուցեք, որ երեք AD, BD և CD հատվածներից առնվազն երկուսը միմյանց հավասար չեն: Լուծումը
207*.ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և AC սրունքների վրա P և Q կետերը նշված են այնպես, որ ∠PXB=∠QXC, որտեղ X-ը BC հիմքի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ BQ=CP: Լուծումը
208*.Տրված են երկու եռանկյուն ABC և A1B1C1: Հայտնի է, որ AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1: ABC եռանկյան AC և BC կողմերի վրա վերցված են, համապատասխանաբար, K և L կետերը, իսկ A1B1C1 եռանկյան A1C1 և B1C1 կողմերի վրա K1 և L1 կետերն այնպես, որ AK=A1K1, LC=L1C1: Ապացուցեք, որ ա) KL=K1L1, բ) AL=A1L1: Լուծումը
209.Նկար 109-ում AB=CD: Ապացուցեք, որ AC=BD: Լուծումը
210.Ապացուցեք, որ լարի միջնակետով անցնող տրամագիծը ուղղահայաց է այդ լարին: Լուծումը
211.Կառուցեք տրված կետով անցնող և տրված շառավիղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է տրված ուղղի վրա: Լուծումը
212.Կառուցեք տրված շառավիղով շրջանագիծ, որն անցնի տրված երկու կետերով: Լուծումը
215.ABC եռանկյան BC կողմի վրա կառուցեք այնպիսի կետ, որը հավասարահեռ լինի A և C գագաթներից: Լուծումը
217.Նկար 118-ում a և b ուղիղները հատած են c ուղղով: Ապացուցեք, որ a||b, եթե. ա) ∠1=37o, ∠7=143o, բ) ∠1=∠6, գ) ∠1=45o, իսկ անկյուն 7-ը երեք անգամ մեծ է անկյուն 3-ից: Լուծումը
218.Ըստ նկար 119-ի տվյալների ապացուցեք, որ AB||DE: Լուծումը
219.AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր միջնակետում: Ապացուցեք, որ AC և BD ուղիղները զուգահեռ են: Լուծումը
220.Օգտվելով նկար 120-ի տվյալներից ապացուցեք, որ CB||AD: Լուծումը
221.Նկար 121-ում AB=BC, AD=DE, ∠C=70o, ∠EAC=35o: Ապացուցեք, որ DE||AC: Լուծումը
224.Նկար 122-ում ΔABC=ΔCDE, BC=DE (A, C, E կետերը գտնվում են մի ուղղիվրա): Ապացուցեք, որ AB||CD: Լուծումը
225.BK հատվածը ABC եռանկյան կիսորդ է: K կետով տարված է ուղիղ, որը BC կողմը հատում է M կետում այնպես, որ BM=MK: Ապացուցեք, որ KM||AB: Լուծումը
226.ABC եռանկյան մեջ A անկյունը 40o է, իսկ ACB անկյանը կից BCE անկյունը 80o: Ապացուցեք, որ BCE անկյան կիսորդը զուգահեռ է AB ուղղին: Լուծումը
227.ABC եռանկյան մեջ ∠A=40o, ∠B=70o: B գագաթով տարված է BD ուղիղն այնպես, որ BC ճառագայթը ABD անկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ A||BD: Լուծումը
233.p ուղիղը զուգահեռ է ABC եռանկյան AB կողմին: Ապացուցեք, որ BC և AC ուղիղները հատում են p ուղիղը: Լուծումը
234.Նկար 128-ում AD||p և PQ||BC: Ապացուցեք, որ p ուղիղը հատում է AB, AE, AC, BC և PQ ուղիղները: Լուծումը
238.AB հատվածի ծայրակետերը գտնվում են a և b զուգահեռ ուղիղների վրա:Այդ հատվածի O միջնակետով անցնող ուղիղը հատում է a և b ուղիղները C և D կետերում: Ապացուցեք, որ CO=OD: Լուծումը
245.Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատած են հատողով: Ապացուցեք, որ`ա) խաչադիր անկյունների կիսորդները զուգահեռ են, բ) համապատասխան անկյունների կիսորդները զուգահեռ են, գ) միակողմանի անկյունների կիսորդները փոխուղղահայացեն: Լուծումը
246.Նկար 133-ում AB=BC, ∠A=60o, CD-ն BCE անկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ AB||CD: Լուծումը
247.Նկար 134-ում AB=CD և BC=AD: Ապացուցեք, որ BC||AD: Լուծումը
248.Նկար 133-ում ∠BCA=∠BCD=60o, AB=BC: Ապացուցեք, որ AB||CD: Լուծումը
250.Նկար 136-ում CE=ED, BE=EF և KE||AD: Ապացուցեք, որ KE||BC: Լուծումը
251.ABC եռանկյան AD կիսորդի միջնակետով անցնող և AD-ին ուղղահայաց ուղիղը հատում է AC կողմը M կետում: Ապացուցեք, որ MD||AB: Լուծումը
252.Ըստ նկար 137-ի տվյալների գտեք անկյուն 1-ը: Լուծումը
253.Նկար 138-ում DE-ն ADF անկյան կիսորդն է: Ըստ նկարի տվյալների գտեք ADE եռանկյան անկյունները: Լուծումը
254.a և b ուղիղները զուգահեռ են c ուղղին: Ապացուցեք, որ a ուղիղը հատող յուրաքանչյուր ուղիղ հատում է նաև b ուղիղը: Լուծումը
255. a և b ուղիղները հատվում են: Կարելի՞ է, արդյոք, տանել այնպիսի ուղիղ, որը հատի a ուղիղը և զուգահեռ լինի b ուղղին: Պատասխանը հիմնավորեք: Լուծումը
256. Նկար 139-ում AB=BD=BC, BE||DC: Ապացուցեք, որ DC⊥AC: Լուծումը
257. Նկար 140-ում AB||CD, AB=AC, ∠BCD=40o: Գտեք ∠BAC-ն: Լուծումը
258.Տրված են երկու ուղիղ՝ a և b: Ապացուցեք, որ եթե a ուղիղը հատող ցանկացած ուղիղը հատում է նաև b ուղիղը, ապա a և b ուղիղները զուգահեռ են։ Լուծումը
259.Ապացուցեք, որ եթե երկու a և b ուղիղները հատողով հատելիս խաչադիր անկյունները հավասար չեն, ապա a և b ուղիղները հատվում են: Լուծումը
260.Տրված են ABC եռանկյունը և այնպիսի M և N կետեր, որ BM հատվածի միջնակետը համընկնում է AC կողմի միջնակետին, իսկ CN հատվածի միջնակետը AB կողմի միջնակետին: Ապացուցեք, որ M, N և A կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Լուծումը
264.Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան անկյուններից յուրաքանչյուրը 60o է։ Լուծումը
265.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները սուր են: Լուծումը
270.ABC եռանկյան AM միջնագիծը հավասար է BC կողմի կեսին: Ապացուցեք, որ ΔABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է։ Լուծումը
271.Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը կրկնակի մեծ է նրա այդ անկյանը ոչ կից որևէ անկյունից, ապա այդ եռանկյունը հավասարասրուն է: Արդյոք ճշմարի՞տ է հակադարձ պնդումը: Լուծումը
272.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի հանդիպակաց գագաթին հարակից արտաքին անկյան կիսորդը զուգահեռ է հիմքին: Լուծումը
275.ABC եռանկյան C անկյունը 15o է: AC կողմի վրա նշված է D կետն այնպես, որ ∠ABD=12o, ∠ADB=80o: Ապացուցեք, որ ΔABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն չէ: Լուծումը
276*.45o-ի հավասար A անկյան կողմերի վրա նշված են B և C կետերը, իսկ անկյան ներքին տիրույթում D կետն այնպես, որ ∠ABD=90o, ∠ACD=90o: Գտեք BDC անկյունը: Լուծումը
279.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան սրունքը մեծ է այն հատվածից, որը հիմքի վրա գտնվող և գագաթներից տարբեր ցանկացած կետը միացնում է հանդիպակաց գագաթին: Լուծումը
280.Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագիծը փոքր չէ այդ նույն գագաթից տարված բարձրությունից: Լուծումը
281.AC հիմքով ABC hավասարասրուն եռանկյան A և C անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ AOC եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
282.ABC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին զուգահեռ ուղիղը M և N կետերում հատում է AB և AC սրունքները: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
283.Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան արտաքին անկյան կիսորդը զուգահեռ է եռանկյան կողմին, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
284.ABC եռանկյան C գագաթով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AA1 կիսորդին և AB ուղիղը հատում է D կետում: Ապացուցեք, որ AC=AD: Լուծումը
285.AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է: D կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AC-ին և AB կողմը հատում է E կետում: Ապացուցեք, որ AD E եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
286.ABC եռանկյան BB1 և CC1 կիսորդների հատման կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է BC ուղղին և AB ու AC կողմերը հատում է, համապատասխանաբար, M և N կետերում: Ապացուցեք, որ MN=BM+CN: Լուծումը
287.Նկար 146-ում BO և CO ճառագայթները ABC եռանկյան B և C անկյունների կիսորդներն են, OE||AB, OD||AC: Ապացուցեք, որ EDO եռանկյան պարագիծը հավասար է BC հատվածի երկարությանը: Լուծումը
288.Նկար 147-ում AB=AC, AP=AQ: Ապացուցեք, որ ա) BOC եռանկյունը հավասարասրուն է, բ) OA ուղիղը ուղղահայաց է BC հիմքին և անցնում է նրա միջնակետով: Լուծումը
290.Հավասարասրուն եռանկյան կողմերից մեկը 25սմ է, իսկ մյուսը՝ 10սմ: Դրանցից ո՞րն է հիմքը: Լուծումը
293.Եռանկյան տարբեր գագաթներին հարակից երկու արտաքին անկյունները հավասար են: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
295.Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 25սմ է, երկու կողմերի տարբերությունը՝ 4սմ, իսկ նրա արտաքին անկյուններից մեկը սուր է: Գտեք եռանկյան կողմերը: Լուծումը
299.ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց DM-ը: Գտեք AM-ը, եթե AB=12սմ: Լուծումը
303.ABC և A1B1C1 եռանկյունների մեջ A և A1 անկյուններն ուղիղ են, իսկ BD-ն և B1D1-ը կիսորդներ են: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA1B1C1, եթե ∠B=∠B1 և BD=B1D1: Լուծումը
304.ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140o: Լուծումը
308.Ապացուցեք, որ եթե մի սուրանկյուն եռանկյան կողմը և նրա ծայրակետերից տարված բարձրությունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս սուրանկյուն եռանկյան կողմին ու նրա ծայրակետերից տարված բարձրություններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են: Լուծումը
309.Ձևակերպեք և ապացուցեք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշ ըստ էջի և նրա հանդիպակաց անկյան: Լուծումը
310.Ապացուցեք, որ ∠ABC=∠A1B1C1, եթե ∠A=∠A1, ∠B=∠B1 և BH=B1H1, որտեղ BH-ը և B1H1-ը ABC և A1B1C1 եռանկյունների բարձրություններ են: Լուծումը
311.Քանոնի և կարկինի օգնությամբ կառուցեք անկյուն, որը հավասար լինի ա) 30o, բ) 15o, գ) 75o, դ) 120o, ե) 165o: Լուծումը
316.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի միջնակետը հավասարահեռ է սրունքներից: Լուծումը
317.ABC հավասարասրուն եռանկյան AB հիմքի վրա վերցված է M կետ, որը հավասարահեռ է սրունքներից: Ապացուցեք, որ CM-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է: Լուծումը
318.Ուղիղն անցնում է հատվածի միջնակետով: Ապացուցեք, որ հատվածի ծայրակետերը հավասարահեռ են այդ ուղղից: Լուծումը
342.ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ B և C հավասար անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ BOC անկյունը հավասար է եռանկյան B գագաթին հարակից արտաքին անկյանը: Լուծումը
343.ADC եռանկյան AD կողմի վրա B կետը նշված է այնպես, որ BC=BD: Ապացուցեք, որ DC ուղիղը զուգահեռ է ABC անկյան կիսորդին: Լուծումը
344.Նկար 166-ում AD||BE, AC=AD և BC=BE։ Ապացուցեք, որ ∠DCE-ն ուղիղ անկյուն է: Լուծումը
345.Նկար 167-ում AP=PQ=QR=RB=BC, AB=AC: Գտեք A անկյունը: Լուծումը
346.Ապացուցեք, որ բութանկյուն եռանկյան մեջ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրության հիմքը ընկած է եռանկյան կողմի վրա, իսկ սուր անկյունների գագաթներից տարված բարձրությունների հիմքերն ընկած են կողմերի շարունակությունների վրա: Լուծումը
347.A կետից a ուղղին տարված են AH ուղղահայացը և AM1, AM2 թեքերը: Ապացուցեք, որ ա) եթե HM1=HM2, ապա AM1=AM2, բ) եթե HM1<HM2, ապա AM1<AM2: Լուծումը
348.A կետից a ուղղին տարված են AH ուղղահայացը և AM1, AM2 թեքերը: Ապացուցեք, որ ա) եթե AM1=AM2, ապա HM1=HM2, բ) եթե AM1<AM2, ապա HM1<HM2: Լուծումը
349*.A և B բնակավայրերը գտնվում են ուղղագիծ ճանապարհի մի կողմում: Այդ ճանապարհի վրա որտե՞ղ տեղադրել C կանգառը, որպեսզի հեռավորությունների AC+CB գումարը լինի փոքրագույնը:
350*.Ապացուցեք, որ եթե M կետը գտնվում է ABC եռանկյան ներսում, ապա MB+MC<AB+AC: Լուծումը
351.Ապացուցեք, որ եռանկյան ներսում գտնվող յուրաքանչյուր կետից մինչև գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը փոքր է եռանկյան պարագծից: Լուծումը
352.Ապացուցեք, որ եթե AB=AC+CB, ապա A, B և C կետերն ընկած են մի ուղղի վրա: Լուծումը
353.Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է բարձրություն: Ապացուցեք, որ տրված եռանկյունը և առաջացած երկու եռանկյուններն ունեն համապատասխանաբար հավասար անկյուններ: Լուծումը
354.ABC հավասարասրուն եռանկյան AC հիմքը 37սմ է, իսկ B գագաթին հարակից արտաքին անկյունը՝ 60o: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը AB ուղղից: Լուծումը
355.AB և AC անհավասար կողմերով եռանկյան մեջ տարված են AH բարձրությունը և AD կիսորդը: Ապացուցեք, որ HAD անկյունը հավասար է B և C անկյունների կիսատարբերությանը: Լուծումը
356.Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների հավասար կողմերին տարված բարձրությունները հավասար են: Լուծումը
357. Հատվածը եռանկյան գագաթը միացնում է հանդիպակաց կողմի որևէ կետին: Ապացուցեք, որ այդ հատվածը փոքր է, քան մյուս երկու կողմերից մեծը: Լուծումը
359*. Կառուցեք եռանկյուն ըստ երկու կողմի և երրորդ կողմին տարված միջնագծի: Լուծումը
361. Կառուցեք եռանկյուն ըստ կողմի, նրան տարված բարձրության և մյուս կողմերից մեկին տարված միջնագծի: Լուծումը
367. Լուծումը
371. Լուծումը
374. Լուծումը
375. Լուծումը
378. Լուծումը
381. Լուծումը
383. Լուծումը
386. Լուծումը
388. Լուծումը
390. Լուծումը
391. Լուծումը
392. Լուծումը
393. Լուծումը
395. Լուծումը
