contact 1 min093 33 73 94                                                    
email min  info@mathnet.am                                                
gre sat
1. Եթե գլանային մակերևույթի որևէ F կետ պատկանում է գլանի առանցքով անցնող կամ առանցքին զուգահեռ α հարթությանը, ապա α հարթությանն է պատկանում F կետով անցնող ծնորդը:

Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը` այդ ծնորդը չի պատկանում α հարթությանը: Այդ դեպքում այն կհատեր α հարթությունը: Քանի որ գլանի առանցքը և ծնորդը զուգահեռ են, ապա գլանի առանցքը ևս կհատեր α հարթությունը: Բայց դա հնարավոր չէ, քանի որ, ըստ պայմանի, գլանի առանցքը կամ ընկած է α հարթության  մեջ, կամ զուգահեռ  է  α  հարթությանը: 

Հետևանք: Եթե գլանը հատված է նրա առանցքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա գլանային մակերևույթը հատվում է ծնորդներով, և հատույթը ուղղանկյուն է:

Ապացույց: Ըստ 1 կետի գլանային մակերևույթը կհատվի միայն ծնորդներով: Եվ քանի որ գլանի ծնորդները զուգահեռ և հավասար են, ապա հատույթը զուգահեռագիծ է: Բացի այդ, ծնորդները ուղղահայաց են հիմքերին, ուրեմն հատույթը ուղղանկյուն է:

2. Եթե գնդային մակերևույթը հատված է նրա O կենտրոնով չանցնող հարթությամբ, ապա OO1-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը,  որտեղ O1-ը   շրջանագծի  կենտրոնն  է:

hav 1 min

Ապացույց: Դիտարկենք հատույթի երկու տրամագծեր` MN-ը և PK-ն: Քանի որ M, N, P և K կետերը ընկած են գնդային մակերևույթի վրա, ապա OM=ON=OP=OK=R: Հետևաբար MON և PON եռանկյունները հավասարասրուն եռանկյուններ են և նրանց OO1 միջնագիծը նաև բարձրություն է: Այսինքն OO1⊥MN, OO1⊥PK: Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության ուղղահայացության հայտանիշի, OO1-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը:

3. Եթե գլանին ներգծված է պրիզմա, ապա պրիզմայի կողմնային կողերը գլանի ծնորդներն են (հետևաբար պրիզման ուղիղ պրիզմա է և  նրա  բարձրությունը  հավասար  է  գլանի  բարձրությանը):

hav 2 min

Ապացույց: Ենթադրենք ABCA1B1C1 պրիզման ներգծված է գլանին: Քանի որ AA1=BB1=CC1 և AA1|| BB1|| CC1, ապա \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում A-ն արտապատկերվում է A1-ի, B-ն` B1-ի և C-ն` C1-ի վրա: \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում ստորին հիմքի O կենտրոնը արտապատկերվելու է ինչ-որ O1 կետի: Բայց քանի որ զուգահեռ տեղափոխության դեպքում կետերի հեռավորությունները չեն փոխվում, ապա OA=O1A1, OB=O1B1, և OC=O1C1: Մյուս կողմից OA=OB=OC: Ուրեմն O1A1=O1B1=O1C1: Այսպիսով, O1-ը գլանի վերին հիմքի կենտրոնն է: Ուրեմն AA1=OO1: Վերջինից էլ հետևում է, որ AA1-ն ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Բայց A1 կետով տարված ծնորդը նույնպես ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Տրված կետից տրված հարթությանն ուղղահայացի միակությունից էլ հետևում է, որ AA1-ը ծնորդ է:

4. Երկնիստ անկյան ներքին տիրույթում գտնվող և երկնիստ անկյան կողմերից հավասարահեռ կետերը ընկած են այդ անկյան կիսորդի (Երկնիստ անկյան կիսորդ կանվանենք նրա կողը սահման ունեցող այն կիսահարթությունը, որը երկնիստ անկյունը բաժանում է երկու հավասար անկյունների:) վրա:

hav 3 min

Ապացույց: Ենթադրենք K-ն հավասարահեռ է HABQ երկնիստ անկյան կողմերից: K կետից տանենք KL⊥AB,  KN⊥ABQ  և  KM⊥ABH:  KML և KNL ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար կլինեն ըստ էջի և ներքնաձիգի: Հետևաբար ∠KLM=∠KLN:  Բացի այդ, ըստ երեք ուղղահայացների թեորեմի hակադարձի` LN⊥AB և LM⊥AB: Հետևաբար  MLK և NKL անկյունները HABK և KABQ երկնիստ անկյունների գծային անկյուններն  են: Ուրեմն այդ երկնիստ անկյունները հավասար են:

5. Ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է ներգծել գունդ:

hav 4 min

Ենթադրենք ունենք SABC կանոնավոր բուրգը: Նրա հիմքի կենտրոնը թող լինի O-ն, իսկ BC կողմի միջնակետը` M-ը: Ցույց տանք, որ SO բարձրության և OMS անկյան կիսորդի հատման O1 կետը հավասարահեռ է SBC կողմնային նիստից և ABC հիմքից:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, իսկ M-ը BC-ի միջնակետն է, ապա OM⊥BC  և  SM⊥BC  (հարթագիծ է): Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության  ուղղահայացության  հայտանիշի`  BC⊥OMS:

Տանենք O1K⊥SM: Քանի որ BC⊥OMS, ապա BC⊥O1K: Այսպիսով, O1K⊥SM և O1K⊥BC: Ուրեմն O1K-ն O1-ի հեռավորությունն է SBC նիստից: Պարզ է, որ O1-ի հեռավորությունը ABC  հիմքից  O1O-ն  է:

Քանի որ O1-ը պատկանում է OMS անկյան կիսորդին, ապա այն հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից` O1K=O1O: Այսպիսով, O1-ը  հավասարահեռ  է  SBC  նիստից  և  հիմքից:

Ցույց տանք, որ O1 կետի հեռավորությունը մյուս, օրինակ, ASC, նիստից  նույնպես  հավասար  է  OO1-ին:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, ապա SOM և SOD եռանկյունները, որտեղ D-ն AC-ի միջնակետն է, հավասար են ըստ երեք կողմերի: Հետևաբար ∠MSO=∠DSO: Տանենք O1P⊥SD: Ինչպես O1K-ի դեպքում, այստեղ նույնպես կարելի է ցույց տալ, որ O1P-ն O1-ի հեռավորությունն է ASC նիստից: Դիտարկենք SO1K և SO1P ուղղանկյուն եռանկյունները: Դրանք հավասար են ըստ ներքնաձիգի և նրան առընթեր սուր անկյան (∠MSO=∠DSO): Հետևաբար O1P=O1K=OO1:

Այսպիսով, O1-ը հավասարահեռ է կանոնավոր բուրգի  բոլոր նիստերից: Դա նշանակում  է, որ  կանոնավոր  բուրգին  կարելի  է ներգծել գունդ:

6. Ցանկացած բուրգի, մասնավորապես կանոնավոր բուրգի, որի հիմքը արտագծելի բազմանկյուն է, կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույցը համանման է  273 ա) խնդրի ապացույցին:

7. Ցանկացած կանոնավոր պրիզմայի կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

hav 5 min

Ապացույց: Ենթադրենք ունենք ABCA1B1C1 կանոնավոր պրիզման, որի A1B1C1 հիմքի կենտրոնը O1-ն է: Տանենք O1O2⊥ABC: Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, ապա O1O2-ն զուգահեռ է CC1-ին: Բացի այդ, որպես զուգահեռ ուղիղների զուգահեռ հարթությունների միջև ընկած հատվածներ` O1O2=CC1: Այսպիսով, O2O1C1C-ն զուգահեռագիծ է: Հետևաբար O2C=O1C1=R, որտեղ R-ը պրիզմայի հիմքին արտագծած շրջանագծի շառավիղն է: O1O2 հատվածի միջնակետը թող լինի O-ն: ՕՕ1A1, ՕՕ1B1, ՕՕ1C1, ՕՕ2A, ՕՕ2B և ՕՕ2C ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար ՕA1=ՕB1=ՕC1=OA=OB=OC, այսինքն O-ն հավասարահեռ է պրիզմայի գագաթներից: Ուրեմն պրիզմային կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

8. Ցանկացած կոնի կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:

hav 6 min

Ապացույց: Թող կոնի առանցքային հատույթը լինի ABC եռանկյունը, իսկ հիմքի կենտրոնը` O կետը: Կոնի BO բարձրության և OCB անկյան կիսորդի հատման կետը թող լինի O1-ը: Տանենք O1K⊥BC: Քանի որ BO-ն կոնի բարձրությունն է, ապա OO1-ն ուղղահայաց է հիմքին և մասնավորապես OC-ին: Քանի որ  O1C-ն կիսորդ է, ապա OO1=O1K: Այսպիսով, O1-ը հավասարահեռ է BC ծնորդից և կոնի հիմքից: Ցույց տանք, որ O1-ը հավասարահեռ է բոլոր ծնորդներից: Դիտարկենք որևէ BD ծնորդ: Տանենք O1M^BD: BOC և BOD ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար \(\angle COB = \angle DBO\): Այսպիսով, BMO1 և BKO1 ուղղանկյուն եռանկյուններում BO1 ներքնաձիգն ընդհանուր է, իսկ MBO1 և KBO1 սուր անկյունները հավասար են: Ուրեմն այդ եռանկյունները հավասար են: Վերջինից էլ կհետևի, որ O1K=O1M: Այսպիսով, O1-ը հավասարահեռ է կոնի ծնորդներից և հիմքից: Հետևաբար կոնին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:

                  

1. Հաշվեք \(\frac{{{P_{20}}}}{{{P_5} \cdot {P_{16}}}}\):     Լուծումը

2. Հաշվեք \(\frac{{A_{10}^7 \cdot {P_4}}}{{C_8^4 \cdot A_{16}^2}}\):   Լուծումը

3. Հաշվեք  \(\frac{{A_{20}^6 + A_{20}^5}}{{A_{20}^4}}\):   Լուծումը

4. Լուծեք \(A_x^2 \cdot C_x^{x - 1} = 48\) հավասարումը։   Լուծումը

5. Լուծեք \(C_{x + 1}^{x - 2} + 2C_{x - 1}^3 = 7(x - 1)\) հավասարումը։    Լուծումը

6. Լուծեք \(A_x^{x - 3} = x{P_{x - 2}}\) հավասարումը։    Լուծումը

7. Լուծեք \(\frac{{A_x^3 + 3A_x^2}}{{{P_{x\, + \,\,1}}}} = \frac{1}{2}\) հավասարումը։   Լուծումը

8. Բնական թիվը կանվանենք «համակրելի», եթե այն գրվում է միայն կենտ թվանշաններով: Քանի՞ «համակրելի» քառանիշ թիվ գոյություն ունի:   Լուծումը

9. Գտեք Ա, Բ, Գ, Դ, Ե տառերով կազմված այն «բառերի» քանակը, որոնք բաղկացած են 5 տառերից, որոնցից երկրորդը կամ Ա է, կամ Բ:   Լուծումը

10. Գտեք Ա, Բ, Գ, Դ, Ե տառերով կազմված այն «բառերի» քանակը, որոնք բաղկացած են 5 տառերից և չեն պարունակում ԲԱԴ բառը:   Լուծումը

11. Գտեք  {Ա, Բ, Գ, Դ, Ե, Զ, Է, Ը} «այբուբենով» գրվող 5 տառանոց «բառերի» քանակը, որոնց երկրորդ տառը Ա է, իսկ չորրորդը` Ե:   Լուծումը

12. Գտեք  {Ա, Բ, Գ, Դ, Ե, Զ, Է, Ը} «այբուբենով» գրվող 5 տառանոց  «բառերի» քանակը, որոնց չորրորդ տառը Բ է, կամ Գ:   Լուծումը

13. Q-ն կոորդինատային հարթության \(1 \le x \le 50\), \(1 \le y \le 30\) պայմաններով որոշվող ուղղանկյունն է: Գտեք այդ ուղղանկյան այն կետերի քանակը, որոնց կոորդինատներից մեկը զույգ է, մյուսը` կենտ:   Լուծումը

14. Q-ն կոորդինատային հարթության \(1 \le x \le 50\), \(1 \le y \le 30\) պայմաններով որոշվող ուղղանկյունն է: Գտեք այդ ուղղանկյան այն կետերի քանակը, որոնց աբսցիսը բաժանվում է 3-ի, իսկ օրդինատը` 5-ի:   Լուծումը

15. Գտեք 5-ի վրա բաժանվող այն վեցանիշ թվերի քանակը, որոնք չեն պարունակում 1, 2, 3 թվանշանները:   Լուծումը

16. Հայտնի է, որ մարդու մազերի քանակը չի կարող գերազանցել մեկ միլիոնը: Ապացուցել, որ կարելի է գտեք երկու մարդ, որոնք ունեն նույն սեռը, ապրում են նույն աշխարհամասում, ծնվել են նույն թվականին և ունեն նույն քանակի մազեր:   Լուծումը

17. Քանի՞ եղանակով կարելի է շախմատի տախտակի վրա տեղադրել տարբեր գույնի երկու նավակ այնպես, որ ոչ մեկը մյուսին չհարվածի: (Նավակները կարող են իրար հարվածել, եթե գտնվում են շախմատի տախտակի նույն հորիզոնականի կամ նույն ուղղաձիգի վրա):   Լուծումը

18. Տարբեր գույնի երկու նավակ շախմատի տախտակի վրա տեղադրված են այնպես, որ հարվածում են միմյանց: Քանի՞ այդպիսի դիրք գոյություն ունի:   Լուծումը

19. Հինգի բաժանվող քանի՞ վեցանիշ թիվ գույություն ունի:   Լուծումը

20. Ինչ-որ մի ցեղախմբի լեզվում կար 6 ձայնավոր և 8 բաղաձայն, ընդ որում բառ կազմելիս ձայնավորներն ու բաղաձայներն անպայման հերթագայում էին: Քանի՞ 9 տառանոց բառ կարող էր գոյություն ունենալ այդ լեզվում:   Լուծումը

21. Գտեք այն հնգանիշ թվերի քանակը, որոնց գրառման մեջ գոնե մեկ անգամ մասնակցում է ութ թվանշանը:   Լուծումը

22. Քանի՞ իրարից տարբեր յոթանիշ հեռախոսահամար գոյություն ունի (համարվում է, որ հեռախոսահամարը չի կարող սկսվել 0-ով և 9-ով):   Լուծումը

23. Քանի՞ հնգանիշ թիվ կա, որ աջից ձախ և ձախից աջ կարդացվում է նույն ձևով:   Լուծումը

24. Հրաշքների երկրում կա երեք քաղաք` A, B  և  C: A  քաղաքից B քաղաք տանող 6 ճանապարհ կա, իսկ  B քաղաքից  C քաղաք`  4 ճանապարհ: Քանի՞ եղանակով կարելի է   A քաղաքից գնալ  C քաղաք:   Լուծումը

25. Ուղևորատար գնացքն ունի 17 վագոն: 17 ուղեկցողների քանի՞ եղանակով կարելի է բաշխել  ըստ վագոնների, եթե յուրաքանչյուր վագոնի նշանակվում է մեկ ուղեկցող:   Լուծումը

26. Քանի՞ եղանակով կարող են շարք  կանգնել 10 զինվորներ:   Լուծումը

27. Չկրկնվող թվանշաներով քանի՞ քառանիշ թիվ կարելի է կազմել 2, 4, 6, 8 թվանշաններով:   Լուծումը

28. Չկրկնվող թվանշաներով քանի՞ քառանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 3, 4, 7 թվանշաններով:   Լուծումը

29. Երգչախումբը բաղկացած է 17 աղջիկներից: Իրարից տարբեր քանի՞ եղանակով նրանք կարող են շրջան կազմել, պայմանով, որ երկու եղանակներ համարվում են նույնը, եթե նրանցից մեկը ստացվում է մյուսից շրջանի կենտրոնի նկատմամբ որևէ պտույտով:   Լուծումը

30. 28 աշակերտներ քանի՞ եղանակով կարող են հերթ կանգնել ճաշարանում:   Լուծումը

31. 28 աշակերտ քանի՞ եղանակով կարող են հերթ կանգնել ճաշարանում, եթե նրանցից Աբրահամյան Արամին ու Սիմոնյան Կարենին արգելվի կանգնել իրար հետևից:   Լուծումը

32. Քանի՞ եղանակով է հնարավոր բառարանի 6 հատորները դասավորել գրադարակում այնպես, որ 1-ին և 2-րդ հատորները լինեն կողք-կողքի:   Լուծումը

33. Մարդակերի նկուղում կա 25 գերի: Քանի՞ եղանակով մարդակերը կարող է ընտրել դրանցից երեքին  ազատ արձակելու համար:   Լուծումը

34. Մարդակերի նկուղում կա 25 գերի: Քանի՞ եղանակով մարդակերը կարող է ընտրել դրանցից երեքին իր նախաճաշի, ճաշի և ընթրիքի համար:   Լուծումը

35. Քանի՞ եղանակով կարելի է դասարանի աշակերտներից ընտրել երկուսին, մաթեմատիկայի օլիմպիադային մասնակցեկու համար, եթե դասարանում սովորողների թիվը 30 է:   Լուծումը

36. Քանի՞ եղանակով կարելի է դասարանի աշակերտներից ընտրել 3 հոգանոց թիմ, եթե դասարանում սովորողների թիվը 30 է:   Լուծումը  

37. Եղած 7 տարբեր գույնի ներկերից քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 4 ներկ:   Լուծումը

38. Հարթության վրա նշված է 10 կետ, այնպես որ նրանցից ոչ մի երեքը չեն գտնվում միևնույն ուղղի վրա: Այդ կետերում գագաթ ունեցող քանի՞ եռանկյուն գույությու ունի:   Լուծումը

39. Քանի՞ եղանակով կարելի է 52 խաղաթղթերից հանել 6 խաղաթուղթ, որոնց մեջ լինեն  երեք և միայն երեք թագավոր:   Լուծումը

40. Քանի՞ տարբեր ակորդ կարելի է վերցնել դաշնամուրի 10 ստեղների վրա, եթե յուրաքանչյուր ակորդ կարող է պարունակել 3-ից մինչև 10 հնչյուն:   Լուծումը

41. Ծաղկամանից, որում կա 10 կարմիր և 4 վարդագույն մեխակ, պետք է ընտրել 1 կարմիր և 2 վարդագույն մեխակ: Քանի՞ եղանակով դա կարելի է անել:   Լուծումը  

42. Ծաղկամանում կա 10 կարմիր և 4 վարդագույն մեխակ: Քանի՞ եղանակով կարելի է  3  ծաղիկ ընտրել այդ ծաղկամանից:   Լուծումը

43. 2 մաթեմատիկոսներից և 10 տնտեսագետներից պետք է կազմել 8 հոգուց բաղկացած հանձնաժողով: Քանի՞ եղանակով կարելի է հանձնաժողով կազմել, եթե նրանում պետք է լինի գոնե մեկ մաթեմատիկոս:   Լուծումը

44. Ուռուցիկ 15-անկյուն բազմանկյան անկյունագծերից ոչ մի երեքը չեն անցնում միևնույն կետով: Որոշեք անկյունագծերի բոլոր հատման կետերի քանակը:   Լուծումը

45. Ծաղկաթմբում կան 8 տեսակի կարմիր և 6 տեսակի սպիտակ ծաղիկներ: Քանի՞ եղանակով է հնարավոր պոկել 3 ծաղիկ, որոնք բոլորը լինեն նույն գույնի:   Լուծումը

46. Ծաղկաթմբում կան 8 տեսակի կարմիր և 6 տեսակի սպիտակ ծաղիկներ: Քանի՞ եղանակով է հնարավոր պոկել 3 ծաղիկ, այնպես որ ոչ բոլորը լինեն նույն գույնի:   Լուծումը

47. Մեկ օրվա դասացուցակը պարունակում է 5 դաս: Որոշեք այդպիսի դասացուցակների քանակը, եթե դրանք պետք է կազմվեն 11 առարկաներից:   Լուծումը

48. Քանի՞ եղանակով կարելի է ընտրել 4 մարդ 4 տարբեր պաշտոնների համար, եթե այդ պաշտոնների համար կա 9 թեկնածու:   Լուծումը

49. Գտեք 7 տառանոց «այբուբենի» 4 տարբեր տառերից բաղկացած «բառերի» քանակը:   Լուծումը

50. Քանի՞ բառարան է անհրաժեշտ, որպեսզի հնարավոր լինի տրված 6 լեզուներից յուրաքանչյուրից կատարել ուղիղ թարգմանություն մնացած լեզուներից ցանկացածին:   Լուծումը

51. Գտեք  {Ա, Բ, Գ, Դ, Ե, Զ, Է, Ը} «այբուբենով» գրվող 5 տառանոց «բառերի» քանակը, որոնցում կան կրկնվող տառեր:   Լուծումը

52. Քանի՞ տարր ունի բազմությունը, եթե նրա ենթաբազմությունների քանակը 64 է:   Լուծումը

53. Կետը ուղղանկյուն ցանցի վրայով կարող է շարժվել կամ աջ, կամ վեր: Գտեք այն ճանապարհների թիվը, որոնցով կետը կարող է A կետից հասնել B:    Լուծումը

canc miac

Ապացուցեք հետևյալ հաջորդականությունների զուգամիտությունը

1. \({{x}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}}{{{10}^{n}}}\)   Լուծումը

2. \({{x_{n}=\frac{2^{n}}{n!}}}\)    Լուծումը

3. \(x^{n}=\frac{n!}{n^{n}}\)    Լուծումը

4. \({{x}_{n}}=\frac{1}{3+1}+\frac{1}{{{3}^{2}}+1}+...+\frac{1}{{{3}^{n}}+1}\)    Լուծումը

5. \({{x}_{n}}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n}{(n+1)!}\)    Լուծումը

6. \({{x}_{n}}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\)    Լուծումը

7. \({{x}_{n}}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\)    Լուծումը

8. \({{x}_{n}}=\frac{10}{1}\cdot \frac{11}{3}\cdot ...\cdot \frac{n+9}{2n-1}\)    Լուծումը

9. \({{x}_{n}}=\left( 1+\frac{1}{2} \right)\cdot \left( 1+\frac{1}{4} \right)\cdot ...\cdot \left( 1+\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)\)   Լուծումը

Օգտվելով Կոշու հայտանիշից՝ ապացուցեք հետևյալ հաջորդականությունների զուգամիտությունը

1. \({{x}_{n}}=\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n+1}}}{n\left( n+1 \right)}\)   Լուծումը

2. \({{x}_{n}}=1+\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+...+\frac{1}{\left( 4n-3 \right)\left( 4n+1 \right)}\)   Լուծումը

3. \({{x}_{n}}=\frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}\)   Լուծումը

4. \({{x}_{n}}=\frac{\sin 1}{4}+\frac{\sin 2}{{{4}^{2}}}+...+\frac{\sin n}{{{4}^{n}}}\)   Լուծումը

5. \({{x}_{n}}=\frac{\cos 1}{1!}+\frac{\cos 2}{2!}+...+\frac{\cos n}{n!}\)  Լուծումը

Օգտվելով Կոշու հայտանիշից՝ ապացուցեք հետևյալ հաջորդականությունների տարամիտությունը

6. \({{x}_{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\)   Լուծումը

7. \({{x}_{n}}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)   Լուծումը

8. \({{x}_{n}}=\frac{n\cos n\pi -1}{2n}\)   Լուծումը

1. Ապացուցեք, որ \(1+2+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}, n\in N\)։
Լուծումը

2. Ապացուցեք, որ  \({{1}^{3}}+{{2}^{3}}+...+{{n}^{3}}={{\left( 1+2+..+n \right)}^{2}},  n\in N\):
 Լուծումը

3. Ապացուցեք, որ

\(\left( 1+{{x}_{1}} \right)\cdot \left( 1+{{x}_{2}} \right)\cdot ...\cdot \left( 1+{{x}_{n}} \right)\ge 1+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}\),

որտեղ \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}},\,...,\,{{x}_{n}}\)-ը նույն նշանի և -1-ից մեծ թվեր են և \(n\in N:\)
Լուծումը

4. Ապացուցեք, Նյուտոնի բինոմի բանաձևը.
 \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}, n\in N\), որտեղ \(C_{n}^{m}\)-ը n-ից m-ական զուգորդությունների թիվն է։
Լուծումը

5. Ապացուցեք, որ   \(n!<{{\left( \frac{n+1}{2} \right)}^{n}},\,n\in N,\,n>1\):
Լուծումը

6. Ապացուցեք, որ  \(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}, n\in N\)։
Լուծումը

7. Ապացուցեք, որ  \(\left| \sin \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}} \right) \right|\le \sum\limits_{k=1}^{n}{\sin {{x}_{k}},\,\,0\le {{x}_{k}}\le \pi ,\,\,}n\in N:\)
Լուծումը

8. Ապացուցեք, որ  \({{n}^{n+1}}>{{\left( n+1 \right)}^{n}}, n\in N,\,\,n\ge 3\):
Լուծումը

9. Ապացուցեք, որ  \(\left( 2n \right)!<{{2}^{2n}}{{\left( n! \right)}^{2}}, n\in N\)։ 
Լուծումը

10. Ապացուցեք, որ  \(\frac{n}{2}<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}-1}<n,\,\,\, n\in N,\,\,\,n>1:\)
Լուծումը

11. Ապացուցեք, որ \({{6}^{2n-2}}+{{3}^{n+1}}+{{3}^{n-1}}\)-ը բազմապատիկ է 11-ին, եթե \(n\in N\)։ 
Լուծումը

12. Ապացուցեք, որ \({\frac{1}{2!}}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!},\,\,n\in N\)։
Լուծումը

 

you

ԳրանցումՄուտք

Նրանքսիրում են mathnet.am-ը

Հեղինակիվիդեոները

youtube

top