Հարգելի աշակերտներ ձեզ հավանաբար հայտնի է հետևյալ պարզ կառուցման խնդիրը.
Խնդիր 1. Օգտվելով միայն կարկինից և քանոնից տրված հատվածը բաժանել երկու հավասար մասերի:
Այս խնդրի լուծումը բերված է համարյա բոլոր երկրաչափության դասագրքերում և իրականացվում է հետևյալ կառուցմամբ(տես նկար 1. կիսվող հատվածը AB-ն է, G1-ը և G2-ը համապատասխանաբար A և B կենտրոններով, |AB| շառավղով շրջանագծեր են, նշված կառուցմամբ ստացվում է AB հատվածի M միջնակետի երկրաչափական տեղը!)
.
.
.
Եկեք մի փոքր ընդհանրացնենք այս խնդիրը:
Խնդիր 2. Օգտվելով միայն կարկինից և քանոնից տրված PQ հատվածը բաժանել երեք հավասար մասերի:
Այս խնդիրը կարելի է լուծել մի քանի եղանակներով:Ստորև ներկայացնում եմ եղանակներից երկուսը (երկուսի իդեան էլ նույնն է) և առաջարկում եմ բոլորին բերել լուծման այլ տարբերակներ:
Ապացույցի ընթացքում օգտագործելու եմ հետևյալ հայտնի փաստը.
Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում և հատման կետով տրոհվում 2:1 հարաբերությամբ` հաշված գագաթից:
1 եղանակ
.
.
.
.
Q կետով տանենք PQ-ի հետ չհամընկնող որևէ ուղիղ և այդ ողղի վրա կարկինի օգնությամբ տեղադրենք Q-ից հավասարահեռ M և N կետերը: Քանի որ մենք արդեն քանոնի և կարկինի օգնությամբ կարողանում ենք հատվածներ կիսել(տես Խնդիր1.), հետևաբար PM-ի L միջնակետը կառուցելը բարդ չի լինի: Ակնհայտ է, որ NL-ը և PQ-ն PMN եռանկյան միջնագծեր են , հետևաբար, "միջնագծերի մասին թեորեմից" ունենք`
.
|PO|=2|OQ|
.
Կառուցենք նաև PO-ի T միջնակետը: Դժվար չէ համոզվել, որ մեր PQ հատվածը բաժանվեց երեք հավասար մասերի`
.
|PT|=|TO|=|PO|/2=|OQ|, որտեղից |PT|=|TO|=|OQ|
.
2-րդ եղանակ
Կառուցման 2-րդ եղանակը անմիջապես կհետևի հետևյալ խնդրի լուծումից( սա հայտնի դասագրքային խնդիր է).
Միջանկյալ խնդիր. ABCD զուգահեռագծի մեջ տարված են AM և AN հատվածները , այնպես, որ` |DM|=|MC| և |BN|=|NC| :
.
.
Ապացուցել, որ |DL|=|LT|=|TB|, այսինքն BD անկյունագիծը AM և AN հատվածներով տրոհվում է երեք հավասար մասերի:
Հարգելի մասնակիցներ անհամբեր սպասում եմ ձեր առաջարկներին (նաև վերջի խնդրի հետ կապված)