Երկրաչափություն 7. լուծումներ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 7 (Աթանասյան և ուրիշներ)

39. B, D և M կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Հայտնի է, որ BD=7սմ, MD=16սմ: Որքա՞ն կարող է լինել BM հեռավորությունը: Լուծումը  

42. 20սմ երկարություն ունեցող AB հատվածի վրա նշված է D կետը: Գտեք AD և BD հատվածների երկարությունները, եթե BD հատվածը 4սմ–ով երկար է AD հատվածից:   Լուծումը   

47. Հատվածը, որի երկարությունը a է, կամայական կետով տրոհված է երկու հատվածի: Գտեք այդ երկու հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը   

48. 28սմ–ի հավասար հատվածը տրոհված է երեք անհավասար հատվածների: Եզրային հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը 16սմ է: Գտեք մեջտեղի հատվածի երկարությունը:   Լուծումը    

56. OC ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք COB անկյունը, եթե ∠AOB=78^o, իսկ AOC անկյունը 18^o–ով փոքր է BOC անկյունից:   Լուծումը    

59. Նկար 41–ում AOD անկյունը ուղիղ է, ∠AOB=∠BOC=∠COD: Գտեք այն անկյունը, որը կազմվում է AOB և COD անկյունների կիսորդներով:   Լուծումը    

68. Արդյոք ճշմարի՞տ է հետևյալ պնդումը. եթե կից անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղիղ անկյուններ են:   Լուծումը    

71. O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում BO^AO (նկ. 49): AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 20^o է: Գտեք BOC և AOC անկյունները:   Լուծումը    

73. Նկար 51–ում BOD և COD անկյունները հավասար են: Գտեք AOD անկյունը, եթե ÐCOB=148^o:   Լուծումը   

75. Գտեք երկու ուղիղների հատումից առաջացած չփռված անկյունները, եթե. ա) դրանցից երկուսի գումարը 114^o է, բ) երեք անկյունների գումարը 220^o է:   Լուծումը    

78. Նկար 53–ում ÐAOB=50^o, ÐFOE=70^o: Գտեք AOC, BOD, COE և COD անկյունները:   Լուծումը    

80. a ուղղի վրա չգտնվող A կետով տարված են երեք ուղիղ, որոնք հատում են a ուղիղը: Ապացուցեք, որ տարված ուղիղներից առնվազն երկուսը ուղղահայաց չեն a ուղղին:   Լուծումը    

81. Նշեք չորս կետ այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուր երեքը մի ուղղի վրա չգտնվեն: Կետերի յուրաքանչյուր զույգով տարեք ուղիղ: Քանի՞ ուղիղ է ստացվում:   Լուծումը    

82. Տրված են չորս ուղիղ, որոնցից յուրաքանչյուր երկուսը հատվում են: Քանի՞սն են հատման կետերը, եթե յուրաքանչյուր հատման կետով անցնում է միայն երկու ուղիղ:   Լուծումը     

83. Քանի՞ չփռված անկյուն է առաջանում միևնույն կետով անցնող երեք ուղիղների հատման դեպքում:   Լուծումը     

84. N կետը գտնվում է MP հատվածի վրա: M և P կետերի հեռավորությունը 24սմ է, իսկ N և M կետերի հեռավորությունը՝ երկու անգամ մեծ, քան N և P կետերի հեռավորությունը: Գտեք. ա) N և P կետերի հեռավորությունը, բ) N և M կետերի հեռավորությունը:   Լուծումը     

85. AB հատվածի երկարությունը 14սմ է, իսկ D կետը գտնվում է AB ուղղի վրա: Գտեք AD հեռավորությունը, եթե DA=3DB:   Լուծումը     

86. Երեք կետ՝ K-ն, L-ը, M-ը, գտնվում են մի ուղղի վրա. KL=6սմ, LM=10սմ: Որքա՞ն կարող է լինել KM հեռավորությունը: Կատարեք գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար:   Լուծումը     

87. a երկարությամբ  AB հատվածը P և Q կետերով տրոհված է երեք՝ AP, PQ և QB հատվածների այնպես, որ AP=2PQ=2QB: Գտեք. ա) A կետի և QB հատվածի միջնակետի հեռավորությունը, բ) AP և QB հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը     

88. m երկարությամμ հատվածը բաժանված է. ա) երեք հավասար մասերի, բ) հինգ հավասար մասերի: Գտեք եզրային մասերի միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը     

89. 36սմ երկարությամբ  հատվածը տրոհված է չորս՝ միմյանց անհավասար մասերի: Եզրային մասերի միջնակետերի հեռավորությունը 30սմ է: Գտեք մեջտեղի մասերի միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը     

90. A, B և C կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա, իսկ M, N կետերը AB և AC հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ BC=2MN:   Լուծումը     

91. Հայտնի է, որ ∠AOB=35^o, ∠BOC=50^o: Գտեք AOC անկյունը: Հնարավոր յուրաքանչյուր դեպքի համար կատարեք գծագիր՝ օգտվելով քանոնից և անկյունաչափից:   Լուծումը     

92. hk անկյունը 120^o է, իսկ hm անկյունը՝ 150^o: Գտեք km անկյունը: Հնարավոր յուրաքանչյուր դեպքի համար կատարեք գծագիր:   Լուծումը     

93. Գտեք կից անկյունները, եթե. ա) նրանցից մեկը մյուսից մեծ է 45^o–ով, բ) նրանց տարբ երությունը 35^o է, գ) դրանց աստիճանային չափերը հարաբերում են, ինչպես 2:3:   Լուծումը     

94. Գտեք կից անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը:   Լուծումը     

95. Ապացուցեք, որ հակադիր անկյունների կիսորդները գտնվում են մի ուղղի վրա:   Լուծումը     

96. Ապացուցեք, որ եթե ABC և CBD անկյունների կիսորդները փոխուղղահայաց են, ապա A, B և D կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա:   Լուծումը     

 97. Տրված են երկու՝ a և b, հատվող ուղիղներ և այդ ուղիղների վրա չգտնվող A կետը: A կետով տարված են m և n ուղիղներն այնպես, որ m⊥a և n⊥b: Ապացուցեք, որ m և n ուղիղները չեն համընկնում:   Լուծումը     

104. AE և DC հատվածները հատվում են B կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ ABC և EBD եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք ABC եռանկյան A և C անկյունները, եթե BDE եռանկյան մեջ ÐD=47^o, ÐE=42^o:   Լուծումը    

105. Նկար 57-ում AB=AC, Ð1=Ð2: ա) Ապացուցեք, որ ABD և ACD եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք BD-ն և AB-ն, եթե AC=15սմ, DC=5սմ:   Լուծումը   

106. Նկար 58-ում BC=AD, Ð1 =Ð2: ա) Ապացուցեք, որ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=17սմ, DC=14սմ:   Լուծումը   

 107. Նկար 59-ում OA=OD, OB=OC, Ð1=74^o, Ð2=36^o: ա) Ապացուցեք, որ AOB և DOC եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք ÐACD-ն:   Լուծումը   

108. AC և BD հատվածները հատվում և հատման կետում կիսվում են: Ապացուցեք, որ DABC=DCDA:   Լուծումը   

109. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, ÐA=ÐA₁: AB և A₁B₁ կողմերի վրա P և P₁ կետերը նշված են այնպես, որ AP=A₁P₁:   Լուծումը   

110. Ապացուցեք, որ DBPC=DB₁P₁C₁: CAD անկյան կողմերի վրա նշված են B և E կետերն այնպես, որ B կետն ընկած է AC հատվածի վրա, իսկ E կետը` AD հատվածի վրա, ընդ որում`AC=AD և AB=AE: Ապացուցեք, որ ÐCBD=ÐDEC:   Լուծումը    

111. Նկար 60-ում AO=OC, Ð1=Ð2: Ապացուցեք, որ AB=BC:   Լուծումը    

117. A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են: ա) Ապացուցեք, որ DABD=DCDB, բ) գտեք ÐABC-ն, եթե ÐADB=44^o:   Լուծումը    

118. ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD–ին, իսկ E կետը միացված է C կետին: ա) Ապացուցեք, որ DABD=DECD, բ) գտեք ÐACE-ն, եթե ÐACD=56^o, ÐABD=40^o:   Լուծումը    

122. BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AM միջնագիծը: Գտեք այդ միջնագիծը, եթե ABC եռանկյան պարագիծը 32սմ է, իսկ ABM եռանկյան պարագիծը` 24սմ:   Լուծումը    

123. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան միջնագիծը համընկնում է նրա բարձրությանը, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը    

124. Նկար 71-ում CD=BD, Ð1=Ð2: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը    

126. M և P կետերը գտնվում են b ուղղի միևնույն կողմում: b ուղղին տարված MN և PQ ուղղահայացները հավասար են. O կետը NQ հատվածի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ ÐOMP=ÐOPM, բ) գտեք ÐMON-ը, եթե ÐMOP=105^o:   Լուծումը    

127. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների մեջ հավասար կողմերին տարված միջնագծերը հավասար են:   Լուծումը    

128. ABC եռանկյան AM միջնագիծը հավասար է BM հատվածին: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյան անկյուններից մեկը հավասար է մյուս երկու անկյունների գումարին:   Լուծումը    

129. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները հավասար են:   Լուծումը    

 

130. Նկար 73-ում AB=BC, CD=DE: Ապացուցեք, որ ÐBAC=ÐCED:   Լուծումը    

131. ABC հավասարասրուն եռանկյան BC հիմքի վրա M և N կետերը նշված են այնպես, որ BM=CN: Ապացուցեք, որ` ա) DBAM=DCAN, բ) AMN եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը    

133. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BD միջնագիծը: AB և CB կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար E և F կետերն այնպես, որ AE=CF: Ապացուցեք, որ`ա) DBDE=DBDF, բ) DADE=DCDF:   Լուծումը    

134. AB և CD հատվածները հատվում են AB հատվածի O միջնակետում, ÐOAD=ÐOBC: ա) Ապացուցեք, որ DCBO=DDAO, բ) գտեք BC-ն և CO-ն, եթե CD=26սմ, AD=15սմ:   Լուծումը    

135. Նկար 58-ում Ð1=Ð2, Ð3=Ð4: ա)Ապացուցեք, որ DABC=DCDA, բ)գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=19սմ, CD=11սմ:   Լուծումը    

136. A անկյան կիսորդի վրա D կետը, իսկ կողմերի վրա B և C կետերը նշված են այնպես, որ ÐADB=ÐADC: Ապացուցեք, որ BD=CD:   Լուծումը    

137. Ըստ նկար 79-ի տվյալների` ապացուցեք, որ OP=OT, ÐP=ÐT:   Լուծումը    

 

138. Նկար 80-ում ÐDBC=ÐDAC, BO=AO: Ապացուցեք, որ ÐC=ÐD և AC=BD:   Լուծումը    

 

140. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ AB=A₁B₁, BC=B₁C₁, ÐB=ÐB₁: AB և A₁B₁ կողմերի վրա D և D₁ կետերը նշված են այնպես, որ ÐACD=ÐA₁C₁D₁: Ապացուցեք, որ DBCD=DB₁C₁D₁:   Լուծումը    

141. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների մեջ համապատասխանաբար հավասար կողմերին տարած կիսորդները հավասար են:   Լուծումը    

142. AC և BD հատվածները հատվում են AC հատվածի O միջնակետում, ÐBCO=ÐDAO: Ապացուցեք, որ DBOA=DDOC:   Լուծումը    

143. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ CO և C₁O₁ հատվածները միջնագծեր են, BC=B₁C₁, ÐB=ÐB₁ և ÐC=ÐC₁: Ապացուցեք, որ` ա) DACO=DA₁C₁O₁, բ) DBCO=DB₁C₁O₁:   Լուծումը    

144. DEF և MNP եռանկյունների մեջ EF=NP, DF=MP և ÐF=ÐP: E և D անկյունների կիսոր դները հատվում են O կետում, իսկ M և N անկյունների կիսորդները` K կետում: Ապացուցեք, որ DDOE=DMKN:   Լուծումը    

145. Ուղիղը, որն ուղղահայաց է A անկյան կիսորդին, անկյան կողմերը հատում է M և N կետերում: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը    

146. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան կիսորդը համընկնում է բարձրությանը, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը    

147. Ապացուցեք, որ եթե հավասարասրուն եռանկյուններից մեկի հիմքն ու նրան առընթեր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի հիմքին ու նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը    

148. Ապացուցեք, որ եթե հավասարակողմ եռանկյուններից մեկի կողմը հավասար է մյուսի կողմին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը    

149. AC հատվածի վրա, իբրև հիմքի, նրա տարբեր կողմերում կառուցված են երկու հավասարասրուն եռանկյուններ` ABC և ADC: Ապացուցեք, որ BD^AC:   Լուծումը    

151. Նկար 58-ում BC=AD, AB=CD: Ապացուցեք, որ ÐB=ÐD:   Լուծումը    

152. Նկար 81-ում AB=CD և BD=AC: Ապացուցեք` ա) ÐCAD=ÐADB, բ) ÐBAC=ÐCDB:   Լուծումը    

153. Նկար 82-ում AB=CD, AD=BC, BE-ն ABC անկյան կիսորդն է, իսկ DF-ը` ADC անկյան կիսորդը: Ապացուցեք` ա) ÐABE=ÐADF, բ) DABE=DCDF:   Լուծումը    

154. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ BM և B₁M₁ միջնագծերը հավասար են. AB=A₁B₁, AC=A₁C₁: Ապացուցեք, որ DABC=DA₁B₁C₁:   Լուծումը    

155. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ AD և A₁D₁ հատվածները կիսորդներ են, AB=A₁B₁, BD=B₁D₁ և AD=A₁D₁: Ապացուցեք, որ DABC=DA₁B₁C₁:   Լուծումը    

156. ADC և CBD հավասարասրուն եռանկյուններն ունեն ընդհանուր հիմք` DC-ն: AB ուղիղը O կետում հատում է CD հատվածը: Ապացուցեք, որ` ա) ÐADB=ÐACB, բ) DO=OC:   Լուծումը    

158. AB և CD հատվածները շրջանագծի տրամագիծ են: Ապացուցեք, որ` ա) BD և AC լարերը հավասար են, բ) AD և BC լարերը հավասար են, գ) ÐBAD=ÐBCD:   Լուծումը    

160. O կենտրոնով շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ÐAOB-ն ուղիղ անկյուն է: BC հատվածը շրջանագծի տրամագիծ է: Ապացուցեք, որ AB և AC լարերը հավասար են:   Լուծումը    

162. Նկար 93-ում AB և CD լարերը հավասար են: Ապացուցեք, որ ÐAOB=ÐCOD:   Լուծումը    

163. Նկար 94-ում AB=CD, E և F կետերը AB և CD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ OE=OF:   Լուծումը    

 

183. ABC եռանկյան պարագիծը 15սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2սմ–ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է 1սմ–ով: Գտեք եռանկյան կողմերը:   Լուծումը    

184. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 2սմ–ով մեծ է սրունքից և 3սմ–ով փոքր է սրունքների գումարից: Գտեք եռանկյան կողմերը:   Լուծումը    

185. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 8սմ է: Սրունքին տարված միջնագիծը եռանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների այնպես, որ այդ եռանկյուններից մեկի պարագիծը մյուսի պարագծից մեծ է 2սմ–ով: Գտեք տրված եռանկյան սրունքը:   Լուծումը    

186. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BO միջնագիծը, իսկ BOC եռանկյան մեջ OK կիսորդը: Գտեք AOK անկյունը:   Լուծումը    

187. Նկար 102–ում AB=BC, OM–ը AOB եռանկյան կիսորդն է, ÐMOC=135^o: Ապացուցեք, որ ÐABO=ÐOBC:   Լուծումը    

188. Ապացուցեք, որ եթե երկու հավասարասրուն եռանկյուններից մեկի սրունքը և հիմքի հանդիպակաց անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի սրունքին և հիմքի հանդիպակաց անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը    

189. a ուղիղն անցնում է AB հատվածի միջնակետով և ուղղահայաց է նրան: Ապացուցեք, որ ա) a ուղղի յուրաքանչյուր կետ հավասարահեռ է A և B կետերից, բ) A և B կետերից հավասարահեռ յուրաքանչյուր կետ գտնվում է a ուղղի վրա:   Լուծումը    

190. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների AM և A₁M₁ միջնագծերը հավասար են, BC=B₁C₁ և ÐAMB=ÐA₁M₁B₁: Ապացուցեք, որ DABC=DA₁B₁C₁:   Լուծումը    

191. Նկար 103–ում ADE եռանկյունը հավասարասրուն է, DE–ն նրա հիմքը: Ապացուցեք, որ ա) եթե BD=CE, ապա ÐCAD=ÐBAE և AB=AC, բ) եթե ÐCAD=ÐBAE, ապա BD=CE և AB=AC:   Լուծումը    

192. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան կողմերի միջնակետերը մեկ այլ հավասարասրուն եռանկյան գագաթներ են:   Լուծումը    

 

193. ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմերի վրա առանձնացված են հավասար AD, BE և CF հատվածները, ինչպես ցույց է տրված նկար 104–ում: D, E, F կետերը հատվածներով միացված են: Ապացուցեք, որ DEF եռանկյունը հավասարակողմ է:   Լուծումը    

194. AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր O միջնակետում: AC և BD հատվածների վրա K և K₁ կետերը նշված են այնպես, որ AK=BK₁: Ապացուցեք, որ ա) OK=OK₁, բ) O կետը գտնվում է KK₁ ուղղի վրա:   Լուծումը    

195. AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր O միջնակետում: M և N կետերը AC և BD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ O կետը MN հատվածի միջնակետն է:   Լուծումը    

196. ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմերը շարունակված են AD, CE, BF հավասար հատվածն երով, ինչպես ցույց է տրված նկար 105–ում: Ապացուցեք, որ DEF եռանկյունը հավասարակողմ է:   Լուծումը    

197. ABC եռանկյան մեջ ÐA=38^o, ÐB=110^o, ÐC=32^o: AC կողմի վրա D և E կետերը նշված են այնպես, որ D կետը գտնվում է AE հատվածի վրա, BD=DA, BE=EC: Գտեք ÐDBE–ն:   Լուծումը    

198. Նկար 106–ում OC=OD, OB=OE: Ապացուցեք, որ AB=EF: Այս խնդրի լուծման հիման վրա պարզաբանեք, թե ինչ եղանակով կարելի է չափել լճի լայնությունը (նկար 106–ում այն AB հատվածն է):   Լուծումը    

199. Ապացուցեք ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների հավասարությունը, եթե AB=A₁B₁, ÐA=ÐA₁, AD=A₁D₁, որտեղ AD–ն և A₁D₁–ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են:   Լուծումը    

200. ABC և ADC եռանկյունների մեջ BC և AD կողմերը հավասար են և հատվում են O կետում, ÐOAC=ÐOCA: Ապացուցեք, որ ABO և CDO  եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը    

201. Նկար 107–ում AC=AD, AB^CD: Ապացուցեք, որ BC=BD և ÐACB=ÐADB:   Լուծումը      

202*. Ապացուցեք, որ եռանկյան անկյանը կից անկյունը ավելի մեծ է, քան եռանկյան մյուս անկյունն երից յուրաքանչյուրը:   Լուծումը      

203*. Ապացուցեք, որ DABC=DA₁B₁C₁, եթե ÐA=ÐA₁, ÐB=ÐB₁, BC=B₁C₁:   Լուծումը      

204. XOY անկյան կողմերի վրա A, B, C և D կետերը նշված են այնպես, որ OA=OB, AC=BD (նկ. 108): AD և BC ուղիղները հատվում են E կետում: Ապացուցեք, որ OE ճառագայթը XOY անկյան կիսորդն է:   Լուծումը      

205*. Ապացուցեք, որ ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները հավասար են, եթե  AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, AM=A₁M₁, որտեղ AM–ը և A₁M₁–ը եռանկյունների միջնագծերն են:   Լուծումը      

206*. Տրված են մի ուղղի վրա գտնվող երեք կետ A–ն, B–ն, C–ն, իսկ D կետը չի գտնվում այդ ուղղի վրա: Ապացուցեք, որ երեք AD, BD և CD հատվածներից առնվազն երկուսը միմյանց հավասար չեն:   Լուծումը      

207*. ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և AC սրունքների վրա P և Q կետերը նշված են այնպես, որ ÐPXB=ÐQXC, որտեղ X–ը BC հիմքի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ BQ=CP:   Լուծումը      

208*. Տրված են երկու եռանկյուն ABC և A₁B₁C₁: Հայտնի է, որ AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, ÐA=ÐA₁: ABC եռանկյան AC և BC կողմերի վրա վերցված են, համապատասխանաբար, K և L կետերը, իսկ A₁B₁C₁ եռանկյան A₁C₁ և B₁C₁ կողմերի վրա K₁ և L₁ կետերն այնպես, որ AK=A₁K₁, LC=L₁C₁: Ապացուցեք, որ ա) KL=K₁L₁, բ) AL=A₁L₁:   Լուծումը      

209. Նկար 109–ում AB=CD: Ապացուցեք, որ AC=BD:   Լուծումը      

210. Ապացուցեք, որ լարի միջնակետով անցնող տրամագիծը ուղղահայաց է այդ լարին:   Լուծումը      

211. Կառուցեք տրված կետով անցնող և տրված շառավիղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է տրված ուղղի վրա:   Լուծումը      

212. Կառուցեք տրված շառավիղով շրջանագիծ, որն անցնի տրված երկու կետերով:   Լուծումը      

215. ABC եռանկյան BC կողմի վրա կառուցեք այնպիսի կետ, որը հավասարահեռ լինի A և C գագաթներից:   Լուծումը      

217. Նկար 118–ում a և b ուղիղները հատած են c ուղղով: Ապացուցեք, որ  a || b, եթե. ա) Ð1=37^o, Ð7=143^o, բ) Ð1=Ð6, գ) Ð1=45^o, իսկ անկյուն 7–ը երեք անգամ մեծ է անկյուն 3–ից:   Լուծումը      

 

218. Ըստ նկար 119–ի տվյալների ապացուցեք, որ AB || DE:   Լուծումը       

 

219. AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր միջնակետում: Ապացուցեք, որ AC և BD ուղիղները զուգահեռ են:   Լուծումը      

220. Օգտվելով նկար 120–ի տվյալներից ապացուցեք, որ CB || AD:   Լուծումը      

 

221. Նկար 121–ում AB=BC, AD=DE, ÐC=70^o, ÐEAC=35^o: Ապացուցեք, որ DE || AC:   Լուծումը      

 

224. Նկար 122–ում DABC=DCDE, BC=DE (A, C, E կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա): Ապացուցեք, որ AB||CD:   Լուծումը      

 

225. BK հատվածը ABC եռանկյան կիսորդ է: K կետով տարված է ուղիղ, որը BC կողմը հատում է M կետում այնպես, որ BM=MK: Ապացուցեք, որ KM|| AB:   Լուծումը       

226. ABC եռանկյան մեջ A անկյունը 40^o է, իսկ ACB անկյանը կից BCE անկյունը 80^o: Ապացուցեք, որ BCE անկյան կիսորդը զուգահեռ է AB ուղղին:   Լուծումը       

227. ABC եռանկյան մեջ ÐA=40^o, ÐB=70^o: B գագաթով տարված է BD ուղիղն այնպես, որ BC ճառագայթը ABD անկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ A||BD:   Լուծումը       

233. p ուղիղը զուգահեռ է ABC եռանկյան AB կողմին: Ապացուցեք, որ BC և AC ուղիղները հատում են p ուղիղը:   Լուծումը       

234. Նկար 128–ում AD || p և PQ || BC: Ապացուցեք, որ p ուղիղը հատում է AB, AE, AC, BC և PQ ուղիղները:   Լուծումը      

 

238. AB հատվածի ծայրակետերը գտնվում են a և b զուգահեռ ուղիղների վրա: Այդ հատվածի O միջն ակետով անցնող ուղիղը հատում է a և b ուղիղն երը C և D կետերում: Ապացուցեք, որ CO=OD:   Լուծումը     

245. Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատած են հատողով: Ապացուցեք, որ` ա) խաչադիր անկյունների կիսորդները զուգահեռ են, բ) համապատասխան անկյունների կիսորդները զուգահեռ են, գ) միակողմանի անկյունների կիսորդները փոխուղղահայաց են:   Լուծումը       

246. Նկար 133–ում AB=BC, ÐA=60^o, CD–ն BCE անկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ AB||CD:   Լուծումը      

 

247. Նկար 134–ում AB=CD և BC=AD: Ապացուցեք, որ BC||AD:   Լուծումը      

 

248. Նկար 133–ում ÐBCA=ÐBCD=60^o, AB=BC: Ապացուցեք, որ AB||CD:   Լուծումը      

 

250. Նկար 136–ում CE=ED, BE=EF և KE || AD: Ապացուցեք, որ KE || BC:   Լուծումը      

251. ABC եռանկյան AD կիսորդի միջնակետով անցնող և AD–ին ուղղահայաց ուղիղը հատում է AC կողմը M կետում: Ապացուցեք, որ MD || AB:   Լուծումը      

     252. Ըստ նկար 137–ի տվյալների գտեք անկյուն 1–ը:   Լուծումը      

253. Նկար 138–ում DE–ն ADF անկյան կիսորդն է: Ըստ նկարի տվյալների գտեք ADE եռանկյան անկյունները:   Լուծումը      

254. a և b ուղիղները զուգահեռ են c ուղղին: Ապացուցեք, որ a ուղիղը հատող յուրաքանչյուր ուղիղհատում է նաև b ուղիղը:   Լուծումը      

255. a և b ուղիղները հատվում են: Կարելի՞ է, արդյոք, տանել այնպիսի ուղիղ, որը հատի a ուղիղը և զուգահեռ լինի b ուղղին: Պատասխանը հիմնավորեք:   Լուծումը      

256. Նկար 139–ում AB=BD=BC, BE||DC: Ապացուցեք, որ DC^AC:   Լուծումը      

257. Նկար 140–ում AB||CD, AB=AC, ÐBCD=40^o: Գտեք ÐBAC–ն:   Լուծումը      

258. Տրված են երկու ուղիղ a և b: Ապացուցեք, որ եթե a ուղիղը հատող ցանկացած ուղիղը հատում է նաև b ուղիղը, ապա a և b ուղիղները զուգահեռ են:   Լուծումը      

259. Ապացուցեք, որ եթե երկու a և b ուղիղները հատողով հատելիս խաչադիր անկյունները հավասար չեն, ապա a և b ուղիղները հատվում են:   Լուծումը      

260. Տրված են ABC եռանկյունը և այնպիսի M և N կետեր, որ BM հատվածի միջնակետը համընկնում է AC կողմի միջնակետին, իսկ CN հատվածի միջնակետը AB կողմի միջնակետին: Ապացուցեք, որ M, N և A կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա:   Լուծումը      

264. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան անկյուններից յուրաքանչյուրը 60^o է:   Լուծումը      

265. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները սուր են:   Լուծումը      

270. ABC եռանկյան AM միջնագիծը հավասար է BC կողմի կեսին: Ապացուցեք, որ DABC–ն ուղղանկյուն եռանկյուն է:   Լուծումը      

271. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան արտաքին անկյունն երից մեկը կրկնակի մեծ է նրա այդ անկյանը ոչ կից որևէ անկյունից, ապա այդ եռանկյունը հավասարասրուն է: Արդյոք ճշմարի՞տ է հակադարձ պնդումը:   Լուծումը      

272. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի հանդիպակաց գագաթին հարակից արտաքին անկյան կիսորդը զուգահեռ է հիմքին:   Լուծումը      

275. ABC եռանկյան C անկյունը 15^o է: AC կողմի վրա նշված է D կետն այնպես, որ ÐABD=12^o, ÐADB=80^o: Ապացուցեք, որ DABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն չէ:   Լուծումը      

276*. 45^o-ի հավասար A անկյան կողմերի վրա նշված են B և C կետերը, իսկ անկյան ներքին տիրույթում  D կետն այնպես, որ ÐABD=90^o, ÐACD=90^o: Գտեք BDC անկյունը:   Լուծումը      

279. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան սրունքը մեծ է այն հատվածից, որը հիմքի վրա գտնվող և գագաթներից տարբեր ցանկացած կետը միացնում է հանդիպակաց գագաթին:   Լուծումը      

280. Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագիծը փոքր չէ այդ նույն գագաթից տարված բարձրությունից:   Լուծումը      

281. AC հիմքով ABC hավասարասրուն եռանկյան A և C անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ AOC եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը      

282. ABC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին զուգահեռ ուղիղը M և N կետերում հատում է AB և AC սրունքները: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը      

283. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան արտաքին անկյան կիսորդը զուգահեռ է եռանկյան կողմին, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը      

284. ABC եռանկյան C գագաթով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AA₁ կիսորդին և AB ուղիղը հատում է D կետում: Ապացուցեք, որ AC=AD:   Լուծումը      

285. AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է: D կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AC-ին և AB կողմը հատում է E կետում: Ապացուցեք, որ ADE եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը      

286. ABC եռանկյան BB₁ և CC₁ կիսորդների հատման կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է BC ուղղին և AB ու AC կողմերը հատում է, համապատասխանաբար, M և N կետերում: Ապացուցեք, որ MN=BM+CN:   Լուծումը      

287. Նկար 146–ում BO և CO ճառագայթները ABC եռանկյան B և C անկյունների կիսորդներն են, OE||AB, OD||AC: Ապացուցեք, որ EDO եռանկյան պարագիծը հավասար է BC հատվածի երկարությանը:   Լուծումը      

 

288. Նկար 147-ում AB=AC, AP=AQ: Ապացուցեք, որ ա) BOC եռանկյունը հավասարասրուն է, բ) OA ուղիղը ուղղահայաց է BC հիմքին և անցնում է նրա միջնակետով:   Լուծումը      

290. Հավասարասրուն եռանկյան կողմերից մեկը 25սմ է, իսկ մյուսը 10սմ: Դրանցից ո՞րն է հիմքը:   Լուծումը      

293. Եռանկյան տարբեր գագաթներին հարակից երկու արտաքին անկյունները հավասար են: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը      

295. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 25սմ է, երկու կողմերի տարբերությունը 4սմ, իսկ նրա արտաքին անկյուններից մեկը սուր է: Գտեք եռանկյան կողմերը:   Լուծումը      

299. ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց DM-ը: Գտեք AM-ը, եթե AB=12սմ:   Լուծումը      

303. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ A և A₁ անկյուններն ուղիղ են, իսկ BD-ն և B₁D_1-ը կիսորդներ են: Ապացուցեք, որ DABC=D A₁B₁C₁, եթե ∠B=∠B₁ և BD=B₁D₁:   Լուծումը      

304. ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140^o:   Լուծումը       

308. Ապացուցեք, որ եթե մի սուրանկյուն եռանկյան կողմը և նրա ծայրակետերից տարված բարձրությունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս սուրանկյուն եռանկյան կողմին ու նրա ծայրակետերից տարված բարձրություններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը       

309. Ձևակերպեք և ապացուցեք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշ ըստ էջի և նրա հանդիպակաց անկյան:   Լուծումը       

310. Ապացուցեք, որ ÐABC=ÐA₁B₁C₁, եթե ÐA=ÐA1, ÐB=ÐB₁ և BH=B₁H₁, որտեղ BH–ը և B₁H₁–ը ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների բարձրությունն եր են:   Լուծումը       

311. Քանոնի և կարկինի օգնությամբ կառուցեք անկյուն, որը հավասար լինի ա) 30^o, բ) 15^o, գ) 75^o, դ) 120^o, ե) 165^o:   Լուծումը       

316. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի միջնակետը հավասարահեռ է սրունքներից:   Լուծումը       

317. ABC հավասարասրուն եռանկյան AB հիմքի վրա վերցված է M կետ, որը հավասարահեռ է սրունքներից: Ապացուցեք, որ CM–ը ABC եռանկյան բարձրությունն է:   Լուծումը       

318. Ուղիղն անցնում է հատվածի միջնակետով: Ապացուցեք, որ հատվածի ծայրակետերը հավասարահեռ են այդ ուղղից:   Լուծումը        

342. ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ B և C հավասար անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ BOC անկյունը հավասար է եռանկյան B գագաթին հարակից արտաքին անկյանը:   Լուծումը       

343. ADC եռանկյան AD կողմի վրա B կետը նշված է այնպես, որ BC=BD: Ապացուցեք, որ DC ուղիղը զուգահեռ է ABC անկյան կիսորդին:   Լուծումը      

 

344. Նկար 166–ում AD || BE , AC=AD և BC=BE: Ապացուցեք, որ ÐDCE–ն ուղիղ անկյուն է:   Լուծումը       

345. Նկար 167–ում AP=PQ=QR=RB=BC, AB=AC: Գտեք A անկյունը:   Լուծումը       

346. Ապացուցեք, որ բութանկյուն եռանկյան մեջ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրության հիմքը ընկած է եռանկյան կողմի վրա, իսկ սուր անկյունն երի գագաթներից տարված բարձրությունների հիմքերն ընկած են կողմերի շարունակությունն երի վրա:   Լուծումը       

347. A կետից a ուղղին տարված են AH ուղղահայացը և AM₁, AM₂ թեքերը: Ապացուցեք, որ ա) եթե HM₁=HM₂, ապա AM₁=AM₂, բ) եթե HM₁< HM₂, ապա AM₁<AM₂:   Լուծումը       

348. A կետից a ուղղին տարված են AH ուղղահայացը և AM₁, AM₂ թեքերը: Ապացուցեք, որ ա) եթե AM₁=AM₂, ապա HM₁=HM₂,    բ) եթե AM₁ < AM₂, ապա HM₁ < HM₂:   Լուծումը       

349*. A և B բնակավայրերը գտնվում են ուղղագիծ ճանապարհի մի կողմում: Այդ ճանապարհի վրա որտե՞ղ տեղադրել C կանգառը, որպեսզի հեռավորությունների AC + CB գումարը լինի փոքրագույնը:   Լուծումը       

350*. Ապացուցեք, որ եթե M կետը գտնվում է ABC եռանկյան ներսում, ապա MB+MC < AB+AC:   Լուծումը       

351. Ապացուցեք, որ եռանկյան ներսում գտնվող յուրաքանչյուր կետից մինչև գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը փոքր է եռանկյան պարագծից:   Լուծումը       

352. Ապացուցեք, որ եթե AB=AC+CB, ապա A, B և C կետերն ընկած են մի ուղղի վրա:   Լուծումը       

353. Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է բարձրություն: Ապացուցեք, որ տրված եռանկյունը և առաջացած երկու եռանկյուններն ունեն համապատասխանաբար հավասար անկյուններ:   Լուծումը       

354. ABC հավասարասրուն եռանկյան AC հիմքը 37սմ է, իսկ B գագաթին հարակից արտաքին անկյունը 60^o: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը AB ուղղից:   Լուծումը       

355. AB և AC անհավասար կողմերով եռանկյան մեջ տարված են AH բարձրությունը և AD կիսորդը: Ապացուցեք, որ HAD անկյունը հավասար է B և C անկյունների կիսատարբերությանը:   Լուծումը       

356. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների հավասար կողմերին տարված բարձրությունները հավասար են:   Լուծումը       

357. Հատվածը եռանկյան գագաթը միացնում է հանդիպակաց կողմի որևէ կետին: Ապացուցեք, որ այդ հատվածը փոքր է, քան մյուս երկու կողմերից մեծը:   Լուծումը       

359*. Կառուցեք եռանկյունը ըստ երկու կողմի և երրորդ կողմին տարված միջնագծի:   Լուծումը       

361. Կառուցեք եռանկյուն ըստ կողմի, նրան տարված բարձրության և մյուս կողմերից մեկին տարված միջնագծի:   Լուծումը

367.   Լուծումը       

371.   Լուծումը       

374.   Լուծումը       

        375.   Լուծումը       

378.   Լուծումը       

381.   Լուծումը       

383.   Լուծումը       

386.   Լուծումը       

388.   Լուծումը       

390.   Լուծումը       

391.   Լուծումը       

392.   Լուծումը        

393.   Լուծումը        

395.   Լուծումը