Երկրաչափություն 7. լուծումներ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 7 (Աթանասյան և ուրիշներ)

39. B, D և M կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Հայտնի է, որ BD=7սմ, MD=16սմ: Որքա՞ն կարող է լինել BM հեռավորությունը: Լուծումը

42. 20սմ երկարություն ունեցող AB հատվածի վրա նշված է D կետը: Գտեք AD և BD հատվածների երկարությունները, եթե BD հատվածը 4սմ–ով երկար է AD հատվածից:   Լուծումը

47. Հատվածը, որի երկարությունը a է, կամայական կետով տրոհված է երկու հատվածի: Գտեք այդ երկու հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը

48. 28սմ–ի հավասար հատվածը տրոհված է երեք անհավասար հատվածների: Եզրային հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը 16սմ է: Գտեք մեջտեղի հատվածի երկարությունը:   Լուծումը

56. OC ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք COB անկյունը, եթե ∠AOB=78^o, իսկ AOC անկյունը 18^o–ով փոքր է BOC անկյունից:   Լուծումը

59. Նկար 41–ում AOD անկյունը ուղիղ է, ∠AOB=∠BOC=∠COD: Գտեք այն անկյունը, որը կազմվում է AOB և COD անկյունների կիսորդներով:   Լուծումը

68.Արդյոք ճշմարի՞տ է հետևյալ պնդումը. եթե կից անկյունները հավասար են, ապա դրանք ուղիղ անկյուններ են: Լուծումը

71. O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում BO⊥AO (նկ. 49): AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 20^o է: Գտեք BOC և AOC անկյունները:   Լուծումը

73.Նկար 51-ում BOD և COD անկյունները հավասար են: Գտեք AOD անկյունը, եթե ∠COB=148^o:   Լուծումը

75.Գտեք երկու ուղիղների հատումից առաջացած չփռված անկյունները, եթե. ա) դրանցից երկուսի գումարը114^o է, բ) երեք անկյունների գումարը 220^o է:   Լուծումը

78.Նկար 53-ում ∠AOB=50^o, ∠FOE=70^o: Գտեք AOC, BOD, COE և COD անկյունները:   Լուծումը

80. a ուղղի վրա չգտնվող A կետով տարված են երեք ուղիղ, որոնք հատում են a ուղիղը: Ապացուցեք, որ տարված ուղիղներից առնվազն երկուսը ուղղահայաց չեն a ուղղին:   Լուծումը

81.Նշեք չորս կետ այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուր երեքը մի ուղղի վրա չգտնվեն: Կետերի յուրաքանչյուր զույգով տարեք ուղիղ: Քանի՞ուղիղէ ստացվում:   Լուծումը

82.Տրված են չորս ուղիղ, որոնցից յուրաքանչյուր երկուսը հատվում են: Քանի՞սն են հատման կետերը, եթե յուրաքանչյուր հատման կետով անցնում է միայն երկու ուղիղ:   Լուծումը

83. Քանի չփռված անկյուն է առաջանում միևնույն կետով անցնող երեք ուղիղների հատման դեպքում: Լուծումը

84. N կետը գտնվում է MP հատվածի վրա: M և P կետերի հեռավորությունը 24սմ է, իսկ N և M կետերի հեռավորությունը՝ երկու անգամ մեծ, քան N և P կետերի հեռավորությունը: Գտեք. ա) N և P կետերի հեռավորությունը, բ) N և M կետերի հեռավորությունը:   Լուծումը 

85.AB հատվածի երկարությունը 14սմ է, իսկ D կետը գտնվում է AB ուղղի վրա: Գտեք AD հեռավորությունը, եթե DA=3DB:   Լուծումը

86. Երեք կետ՝ K-ն, L-ը, M-ը, գտնվում են մի ուղղի վրա. KL=6սմ, LM=10սմ: Որքա՞ն կարող է լինել KM հեռավորությունը: Կատարեք գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար:   Լուծումը

87. a երկարությամբ AB հատվածը P և Q կետերով տրոհված է երեք՝ AP, PQ և QB հատվածների այնպես, որ AP=2PQ=2QB: Գտեք. ա) A կետի և QB հատվածի միջնակետի հեռավորությունը, բ) AP և QB հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը

88. m երկարությամբ հատվածը բաժանված է. ա) երեք հավասար մասերի, բ) հինգ հավասար մասերի: Գտեք եզրային մասերի միջնակետեր իհեռավորությունը: Լուծումը

89. 36սմ երկարությամբ հատվածը տրոհված է չորս՝ միմյանց անհավասար մասերի: Եզրային մասերի միջնակետերի հեռավորությունը 30սմ է: Գտեք մեջտեղի մասերի միջնակետերի հեռավորությունը:   Լուծումը

90.A, B և C կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա, իսկ M, N կետերը AB և AC հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ BC=2MN:   Լուծումը

91. Հայտնի է, որ ∠AOB=35^o, ∠BOC=50^o: Գտեք AOC անկյունը: Հնարավոր յուրաքանչյուր դեպքի համար կատարեք գծագիր՝ օգտվելով քանոնից և անկյունաչափից:   Լուծումը

92. hk անկյունը 120^o է, իսկ hm անկյունը՝ 150^o: Գտեք km անկյունը: Հնարավոր յուրաքանչյուր դեպքի համար կատարեք գծագիր: Լուծումը

93. Գտեք կից անկյունները, եթե. ա) նրանցից մեկը մյուսից մեծ է 45^o–ով, բ) նրանց տարբրությունը 35^o է, գ) դրանց աստիճանային չափերը հարաբերում են, ինչպես 2:3: Լուծումը

94. Գտեք կից անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը:   Լուծումը

95. Ապացուցեք, որ հակադիր անկյունների կիսորդները գտնվում են մի ուղղի վրա:   Լուծումը

96. Ապացուցեք, որ եթե ABC և CBD անկյունների կիսորդները փոխուղղահայաց են, ապա A, B և D կետերը գտնվում են միուղղի վրա:   Լուծումը

97. Տրված են երկու` a և b, հատվող ուղիղներ և այդ ուղիղների վրա չգտնվող A կետը: A կետով տարված են m և ուղիղներն այնպես, որ m⊥a և n⊥b: Ապացուցեք, որ m և n ուղիղները չեն համընկնում: Լուծումը

104. AE և DC հատվածները հատվում են B կետում, որը նրանցից յուրաքանչյուրի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ ABC և EBD եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք ABC եռանկյան A և C անկյունները, եթե BDE եռանկյան մեջ ∠D=47^օ, ∠E=42^օ:   Լուծումը

105. Նկար 57-ում AB=AC, ∠1=∠2: ա) Ապացուցեք, որ ABD և ACD եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք BD-ն և AB-ն, եթե AC=15սմ, DC=5սմ:  Լուծումը

106. Նկար 58-ում BC=AD, ∠1=∠2: ա) Ապացուցեք, որ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=17սմ, DC=14սմ:  Լուծումը

107. Նկար 59-ում OA=OD, OB=OC, ∠1=74^օ, ∠2=36^օ: ա) Ապացուցեք, որ AOB և DOC եռանկյունները հավասար են, բ) գտեք ∠ACD-ն: Լուծումը

108. AC և BD հատվածները հատվում և հատման կետում կիսվում են: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔCDA:   Լուծումը

109. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, ∠A=∠A₁: AB և A₁B₁ կողմերի վրա P և P₁ կետերը նշված են այնպես, որ AP=A₁P₁: Ապացուցեք, որ ΔBPC=ΔB₁P₁C₁:  Լուծումը

110.  CAD անկյան կողմերի վրա նշված են B և E կետերն այնպես, որ B կետն ընկած է AC հատվածի վրա, իսկ E կետը` AD հատվածի վրա, ընդ որում`AC=AD և AB=AE: Ապացուցեք, որ ∠CBD=∠DEC:   Լուծումը

111.Նկար 60-ում AO=OC, ∠1=∠2: Ապացուցեք, որ AB=BC:   Լուծումը

117. A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են: ա) Ապացուցեք, որ ΔABD=ΔCDB, բ) գտեք ∠ABC-ն, եթե ∠ADB=44^o:   Լուծումը

118. ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD–ին, իսկ E կետը միացված է C կետին: ա) Ապացուցեք, որ ΔABD=ΔECD, բ) գտեք ∠ACE-ն, եթե ∠ACD=56^o, ∠ABD=40^o:   Լուծումը

122. BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AM միջնագիծը: Գտեք այդ միջնագիծը, եթե ABC եռանկյան պարագիծը 32սմ է, իսկ ABM եռանկյան պարագիծը` 24սմ:   Լուծումը

123. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան միջնագիծը համընկնում է նրա բարձրությանը, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը

124. Նկար 71-ում CD=BD, ∠1=∠2: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը

126. M և P կետերը գտնվում են b ուղղի միևնույն կողմում: b ուղղին տարված MN և PQ ուղղահայացները հավասար են. O կետը NQ հատվածի միջնակետն է: ա) Ապացուցեք, որ ∠OMP=∠OPM, բ) գտեք ∠MON-ը, եթե ∠MOP=105^o:   Լուծումը

127. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների մեջ հավասար կողմերին տարված միջնագծերը հավասար են:   Լուծումը

128. ABC եռանկյան AM միջնագիծը հավասար է BM հատվածին: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյան անկյուններից մեկը հավասար է մյուս երկու անկյունների գումարին:   Լուծումը

129.Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները հավասար են:   Լուծումը

130. Նկար 73-ում AB=BC, CD=DE: Ապացուցեք, որ ∠BAC=∠CED:   Լուծումը

131. ABC հավասարասրուն եռանկյան BC հիմքի վրա M և N կետերը նշված են այնպես, որ BM=CN: Ապացուցեք, որ` ա) ΔBAM=ΔCAN, բ) AMN եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը

133. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BD միջնագիծը: AB և CB կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար E և F կետերն այնպես, որ AE=CF: Ապացուցեք, որ`ա) ΔBDE=ΔBDF, բ) ΔADE=ΔCDF:   Լուծումը

134. AB և CD հատվածները հատվում են AB հատվածի O միջնակետում, ∠OAD=∠OBC: ա) Ապացուցեք, որ ΔCBO=ΔDAO, բ) գտեք BC-ն և CO-ն, եթե CD=26սմ, AD=15սմ:   Լուծումը

135. Նկար 58-ում ∠1=∠2, ∠3=∠4: ա) Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔCDA, բ)գտեք AB-ն և BC-ն, եթե AD=19սմ, CD=11սմ:   Լուծումը

136. A անկյան կիսորդի վրա D կետը, իսկ կողմերի վրա B և C կետերը նշված են այնպես, որ ∠ADB=∠ADC: Ապացուցեք, որ BD=CD:   Լուծումը

137. Ըստ նկար 79-ի տվյալների` ապացուցեք, որ OP=OT, ∠P=∠T:   Լուծումը

 

138. Նկար 80-ում ∠DBC=∠DAC, BO=AO: Ապացուցեք, որ ∠C=∠D և AC=BD: Լուծումը

140. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ AB=A₁B₁, BC=B₁C₁, ∠B=∠B₁: AB և A₁B₁ կողմերի վրա D և D₁ կետերը նշված են այնպես, որ ∠ACD=∠A₁C₁D₁: Ապացուցեք, որ ΔBCD=ΔB₁C₁D₁:   Լուծումը

141. Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների մեջ համապատասխանաբար հավասար կողմերին տարած կիսորդները հավասար են: Լուծումը

142. AC և BD հատվածները հատվում են AC հատվածի O միջնակետում, ∠BCO=∠DAO: Ապացուցեք, որ ΔBOA=ΔDOC:   Լուծումը

143. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ CO և C₁O₁ հատվածները միջնագծեր են, BC=B₁C₁, ∠B=∠B₁ և ∠C=∠C₁: Ապացուցեք, որ` ա) ΔACO=ΔA₁C₁O₁, բ) ΔBCO=ΔB₁C₁O₁:   Լուծումը

144. DEF և MNP եռանկյունների մեջ EF=NP, DF=MP և ÐF=ÐP: E և D անկյունների կիսոր դները հատվում են O կետում, իսկ M և N անկյունների կիսորդները` K կետում: Ապացուցեք, որ ΔDOE=ΔMKN:   Լուծումը

145. Ուղիղը, որն ուղղահայաց է A անկյան կիսորդին, անկյան կողմերը հատում է M և N կետերում: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է:   Լուծումը

146.Ապացուցեք, որ եթե եռանկյանկիսորդը համընկնում է բարձրությանը, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը

147. Ապացուցեք, որ եթե հավասարասրուն եռանկյուններից մեկի հիմքն ու նրան առընթեր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի հիմքին ու նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը

148. Ապացուցեք, որ եթե հավասարակողմ եռանկյուններից մեկի կողմը հավասար է մյուսի կողմին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը

149. AC հատվածի վրա, իբրև հիմքի, նրա տարբեր կողմերում կառուցված են երկու հավասարասրուն եռանկյուններ` ABC և ADC: Ապացուցեք, որ BD⊥AC:   Լուծումը

151. Նկար 58-ում BC=AD, AB=CD: Ապացուցեք, որ ∠B=∠D:   Լուծումը

152. Նկար 81-ում AB=CD և BD=AC: Ապացուցեք` ա) ∠CAD=∠ADB, բ) ∠BAC=∠CDB:   Լուծումը

153. Նկար 82-ում AB=CD, AD=BC, BE-ն ABC անկյան կիսորդն է, իսկ DF-ը` ADC անկյան կիսորդը: Ապացուցեք` ա) ∠ABE=∠ADF, բ) ΔABE=ΔCDF:   Լուծումը

154. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ BM և B₁M₁ միջնագծերը հավասար են. AB=A₁B₁, AC=A₁C₁: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA₁B₁C₁:   Լուծումը

155. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների մեջ AD և A₁D₁ հատվածները կիսորդներ են, AB=A₁B₁, BD=B₁D₁ և AD=A₁D₁: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA₁B₁C₁:   Լուծումը

156. ADC և CBD հավասարասրուն եռանկյուններն ունեն ընդհանուր հիմք` DC-ն: AB ուղիղը O կետում հատում է CD հատվածը: Ապացուցեք, որ` ա) ∠ADB=∠ACB, բ) DO=OC:   Լուծումը

158. AB և CD հատվածները շրջանագծի տրամագիծ են: Ապացուցեք, որ` ա) BD և AC լարերը հավասար են, բ) AD և BC լարերը հավասար են, գ) ∠BAD=∠BCD:   Լուծումը

160. O կենտրոնով շրջանագծի վրա A և B կետերը նշված են այնպես, որ ∠AOB-ն ուղիղ անկյուն է: BC հատվածը շրջանագծի տրամագիծ է: Ապացուցեք, որ AB և AC լարերը հավասար են:   Լուծումը

162. Նկար 93-ում AB և CD լարերը հավասար են: Ապացուցեք, որ ∠AOB=∠COD:   Լուծումը

163. Նկար 94-ում AB=CD, E և F կետերը AB և CD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ OE=OF:   Լուծումը

 

183. ABC եռանկյան պարագիծը 15սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2սմ-ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է 1սմ-ով: Գտեք եռանկյան կողմերը: Լուծումը

184. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 2սմ-ով մեծ է սրունքից և 3սմ-ով փոքր է սրունքների գումարից: Գտեք եռանկյան կողմերը: Լուծումը

185. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 8սմ է: Սրունքին տարված միջնագիծը եռանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների այնպես, որ այդ եռանկյուններից մեկի պարագիծը մյուսի պարագծից մեծ է 2սմ-ով: Գտեք տրված եռանկյան սրունքը: Լուծումը

186. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է BO միջնագիծը, իսկ BOC եռանկյան մեջ OK կիսորդը: Գտեք AOK անկյունը: Լուծումը

187. Նկար 102-ում AB=BC, OM-ը AOB եռանկյան կիսորդն է, ∠MOC=135^o: Ապացուցեք, որ ∠ABO=∠OBC: Լուծումը

188.Ապացուցեք, որ եթե երկու հավասարասրուն եռանկյուններից մեկի սրունքը և հիմքի հանդիպակաց անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի սրունքին և հիմքի հանդիպակաց անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը

189. A ուղիղն անցնում է AB հատվածի միջնակետով և ուղղահայաց է նրան: Ապացուցեք, որ ա) a ուղղի յուրաքանչյուր կետ հավասարահեռ է A և B կետերից, բ) A և B կետերից հավասարահեռ յուրաքանչյուր կետ գտնվում է a ուղղի վրա: Լուծումը

190. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների AM և A₁M₁ միջնագծերը հավասար են, BC=B₁C₁ և ∠AMB=∠A₁M₁B₁: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA₁B₁C₁: Լուծումը

191.Նկար 103-ում ADE եռանկյունը հավասարասրուն է, DE-ն նրա հիմքը: Ապացուցեք, որ ա) եթե BD=CE, ապա ∠CAD=∠BAE և AB=AC, բ) եթե ∠CAD=∠BAE, ապա BD=CE և AB=AC: Լուծումը

192.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան կողմերի միջնակետերը մեկ այլ հավասարասրուն եռանկյան գագաթներ են: Լուծումը

193.ABC հավասարակողմ եռանկյա նկողմերի վրա առանձնացված են հավասար AD, BE և CF հատվածները, ինչպես ցույց է տրված նկար104-ում: D, E, F կետերը հատվածներով միացված են: Ապացուցեք, որ DEF եռանկյունը հավասարակողմ է: Լուծումը

194.AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր O միջնակետում: AC և BD հատվածների վրա K և K1 կետերը նշված են այնպես, որ AK=BK₁: Ապացուցեք, որ ա) OK=OK1, բ) O կետը գտնվում է KK₁ ուղղի վրա: Լուծումը

195.AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր O միջնակետում: M և N կետերը AC և BD հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ O կետը MN հատվածի միջնակետն է: Լուծումը

196.ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմերը շարունակված են AD, CE, BF հավասար հատվածներով, ինչպես ցույց է տրված նկար 105-ում: Ապացուցեք, որ DEF եռանկյունը հավասարակողմ է: Լուծումը

197.ABC եռանկյան մեջ ∠A=38^o, ∠B=110^o, ∠C=32^o: AC կողմի վրա D և E կետերը նշված են այնպես, որ D կետը գտնվում է AE հատվածի վրա, BD=DA, BE=EC: Գտեք ∠DBE-ն: Լուծումը

198. Նկար 106–ում OC=OD, OB=OE: Ապացուցեք, որ AB=EF: Այս խնդրի լուծման հիման վրա պարզաբանեք, թե ինչ եղանակով կարելի է չափել լճի լայնությունը (նկար 106–ում այն AB հատվածն է):   Լուծումը

199.Ապացուցեք ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների հավասարությունը, եթե AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, AD=A₁D₁, որտեղ AD-ն և A₁D₁-ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են: Լուծումը

200.  ABC և ADC եռանկյունների մեջ BC և AD կողմերը հավասար են և հատվում են O կետում, ÐOAC=ÐOCA: Ապացուցեք, որ ABO և CDO  եռանկյունները հավասար են:   Լուծումը

201. Նկար 107-ում AC=AD, AB⊥CD: Ապացուցեք, որ BC=BD և ∠ACB=∠ADB: Լուծումը

202*.Ապացուցեք, որ եռանկյան անկյանը կից անկյունը ավելի մեծ է, քան եռանկյան մյուս անկյուններից յուրաքանչյուրը: Լուծումը

203*.Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA₁B₁C₁, եթե ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, BC=B₁C₁: Լուծումը

204. XOY անկյան կողմերի վրա A, B, C և D կետերը նշված են այնպես, որ OA=OB, AC=BD (նկ. 108): AD և BC ուղիղները հատվում են E կետում: Ապացուցեք, որ OE ճառագայթը XOY անկյան կիսորդն է:   Լուծումը

205*.Ապացուցեք, որ ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները հավասար են, եթե AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, AM=A₁M₁, որտեղ AM-ը և A₁M₁-ը եռանկյունների միջնագծերնեն: Լուծումը

206*. Տրված են մի ուղղի վրա գտնվող երեք կետ A-ն, B-ն, C-ն, իսկ D կետը չի գտնվում այդ ուղղի վրա: Ապացուցեք, որ երեք AD, BD և CD հատվածներից առնվազն երկուսը միմյանց հավասար չեն:   Լուծումը

207*.ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և AC սրունքների վրա P և Q կետերը նշված են այնպես, որ ∠PXB=∠QXC, որտեղ X-ը BC հիմքի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ BQ=CP: Լուծումը

208*.Տրված են երկու եռանկյուն ABC և A₁B₁C₁: Հայտնի է, որ AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, ∠A=∠A₁: ABC եռանկյան AC և BC կողմերի վրա վերցված են, համապատասխանաբար, K և L կետերը, իսկ A₁B₁C₁ եռանկյան A₁C₁ և B₁C₁ կողմերի վրա K₁ և L₁ կետերն այնպես, որ AK=A₁K₁, LC=L₁C₁: Ապացուցեք, որ ա) KL=K₁L₁, բ) AL=A₁L₁: Լուծումը

209.Նկար 109-ում AB=CD: Ապացուցեք, որ AC=BD: Լուծումը

210.Ապացուցեք, որ լարի միջնակետով անցնող տրամագիծը ուղղահայաց է այդ լարին: Լուծումը

211.Կառուցեք տրված կետով անցնող և տրված շառավիղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է տրված ուղղի վրա: Լուծումը

212.Կառուցեք տրված շառավիղով շրջանագիծ, որն անցնի տրված երկու կետերով: Լուծումը

215.ABC եռանկյան BC կողմի վրա կառուցեք այնպիսի կետ, որը հավասարահեռ լինի A և C գագաթներից: Լուծումը

217.Նկար 118-ում a և b ուղիղները հատած են c ուղղով: Ապացուցեք, որ a||b, եթե. ա) ∠1=37^o, ∠7=143^o, բ) ∠1=∠6, գ) ∠1=45^o, իսկ անկյուն 7-ը երեք անգամ մեծ է անկյուն 3-ից: Լուծումը

 

218.Ըստ նկար 119-ի տվյալների ապացուցեք, որ AB||DE: Լուծումը

 

219.AB և CD հատվածները հատվում են իրենց ընդհանուր միջնակետում: Ապացուցեք, որ AC և BD ուղիղները զուգահեռ են: Լուծումը

220.Օգտվելով նկար 120-ի տվյալներից ապացուցեք, որ CB||AD: Լուծումը

 

221.Նկար 121-ում AB=BC, AD=DE, ∠C=70^o, ∠EAC=35^o: Ապացուցեք, որ DE||AC: Լուծումը

 

224.Նկար 122-ում ΔABC=ΔCDE, BC=DE (A, C, E կետերը գտնվում են մի ուղղիվրա): Ապացուցեք, որ AB||CD: Լուծումը

 

225.BK հատվածը ABC եռանկյան կիսորդ է: K կետով տարված է ուղիղ, որը BC կողմը հատում է M կետում այնպես, որ BM=MK: Ապացուցեք, որ KM||AB: Լուծումը

226.ABC եռանկյան մեջ A անկյունը 40^o է, իսկ ACB անկյանը կից BCE անկյունը 80^o: Ապացուցեք, որ BCE անկյան կիսորդը զուգահեռ է AB ուղղին: Լուծումը

227.ABC եռանկյան մեջ ∠A=40^o, ∠B=70^o: B գագաթով տարված է BD ուղիղն այնպես, որ BC ճառագայթը ABD անկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ A||BD: Լուծումը

 233.p ուղիղը զուգահեռ է ABC եռանկյան AB կողմին: Ապացուցեք, որ BC և AC ուղիղները հատում են p ուղիղը: Լուծումը

234.Նկար 128-ում AD||p և PQ||BC: Ապացուցեք, որ p ուղիղը հատում է AB, AE, AC, BC և PQ ուղիղները: Լուծումը

 

238.AB հատվածի ծայրակետերը գտնվում են a և b զուգահեռ ուղիղների վրա:Այդ հատվածի O միջնակետով անցնող ուղիղը հատում է a և b ուղիղները C և D կետերում: Ապացուցեք, որ CO=OD: Լուծումը

245.Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատած են հատողով: Ապացուցեք, որ`ա) խաչադիր անկյունների կիսորդները զուգահեռ են, բ) համապատասխան անկյունների կիսորդները զուգահեռ են, գ) միակողմանի անկյունների կիսորդները փոխուղղահայացեն: Լուծումը

246.Նկար 133-ում AB=BC, ∠A=60^o, CD-ն BCE անկյան կիսորդն է: Ապացուցեք, որ AB||CD: Լուծումը

 

247.Նկար 134-ում AB=CD և BC=AD: Ապացուցեք, որ BC||AD: Լուծումը

 

248.Նկար 133-ում ∠BCA=∠BCD=60^o, AB=BC: Ապացուցեք, որ AB||CD: Լուծումը

 

250.Նկար 136-ում CE=ED, BE=EF և KE||AD: Ապացուցեք, որ KE||BC: Լուծումը

251.ABC եռանկյան AD կիսորդի միջնակետով անցնող և AD-ին ուղղահայաց ուղիղը հատում է AC կողմը M կետում: Ապացուցեք, որ MD||AB: Լուծումը

252.Ըստ նկար 137-ի տվյալների գտեք անկյուն 1-ը: Լուծումը

253.Նկար 138-ում DE-ն ADF անկյան կիսորդն է: Ըստ նկարի տվյալների գտեք ADE եռանկյան անկյունները: Լուծումը

254.a և b ուղիղները զուգահեռ են c ուղղին: Ապացուցեք, որ a ուղիղը հատող յուրաքանչյուր ուղիղ հատում է նաև b ուղիղը: Լուծումը

 255. a և b ուղիղները հատվում են: Կարելի՞ է, արդյոք, տանել այնպիսի ուղիղ, որը հատի a ուղիղը և զուգահեռ լինի b ուղղին: Պատասխանը հիմնավորեք: Լուծումը

256. Նկար 139-ում AB=BD=BC, BE||DC: Ապացուցեք, որ DC⊥AC:   Լուծումը

257. Նկար 140-ում AB||CD, AB=AC, ∠BCD=40^o: Գտեք ∠BAC-ն:   Լուծումը

258.Տրված են երկու ուղիղ՝ a և b: Ապացուցեք, որ եթե a ուղիղը հատող ցանկացած ուղիղը հատում է նաև b ուղիղը, ապա a և b ուղիղները զուգահեռ են։ Լուծումը

 259.Ապացուցեք, որ եթե երկու a և b ուղիղները հատողով հատելիս խաչադիր անկյունները հավասար չեն, ապա a և b ուղիղները հատվում են: Լուծումը

260.Տրված են ABC եռանկյունը և այնպիսի M և N կետեր, որ BM հատվածի միջնակետը համընկնում է AC կողմի միջնակետին, իսկ CN հատվածի միջնակետը AB կողմի միջնակետին: Ապացուցեք, որ M, N և A կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Լուծումը

264.Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան անկյուններից յուրաքանչյուրը 60^o է։ Լուծումը

265.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները սուր են: Լուծումը

270.ABC եռանկյան AM միջնագիծը հավասար է BC կողմի կեսին: Ապացուցեք, որ ΔABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է։ Լուծումը

271.Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը կրկնակի մեծ է նրա այդ անկյանը ոչ կից որևէ անկյունից, ապա այդ եռանկյունը հավասարասրուն է: Արդյոք ճշմարի՞տ է հակադարձ պնդումը: Լուծումը

272.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի հանդիպակաց գագաթին հարակից արտաքին անկյան կիսորդը զուգահեռ է հիմքին: Լուծումը

275.ABC եռանկյան C անկյունը 15^o է: AC կողմի վրա նշված է D կետն այնպես, որ ∠ABD=12^o, ∠ADB=80^o: Ապացուցեք, որ ΔABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն չէ: Լուծումը

276*.45^o-ի հավասար A անկյան կողմերի վրա նշված են B և C կետերը, իսկ անկյան ներքին տիրույթում D կետն այնպես, որ ∠ABD=90o, ∠ACD=90^o: Գտեք BDC անկյունը: Լուծումը

279.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան սրունքը մեծ է այն հատվածից, որը հիմքի վրա գտնվող և գագաթներից տարբեր ցանկացած կետը միացնում է հանդիպակաց գագաթին: Լուծումը

280.Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագիծը փոքր չէ այդ նույն գագաթից տարված բարձրությունից: Լուծումը

281.AC հիմքով ABC hավասարասրուն եռանկյան A և C անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ AOC եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը

282.ABC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին զուգահեռ ուղիղը M և N կետերում հատում է AB և AC սրունքները: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը

283.Ապացուցեք, որ եթե եռանկյան արտաքին անկյան կիսորդը զուգահեռ է եռանկյան կողմին, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը

284.ABC եռանկյան C գագաթով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AA₁ կիսորդին և AB ուղիղը հատում է D կետում: Ապացուցեք, որ AC=AD: Լուծումը

285.AD հատվածը ABC եռանկյան կիսորդն է: D կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AC-ին և AB կողմը հատում է E կետում: Ապացուցեք, որ AD E եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը

286.ABC եռանկյան BB₁ և CC₁ կիսորդների հատման կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է BC ուղղին և AB ու AC կողմերը հատում է, համապատասխանաբար, M և N կետերում: Ապացուցեք, որ MN=BM+CN: Լուծումը

287.Նկար 146-ում BO և CO ճառագայթները ABC եռանկյան B և C անկյունների կիսորդներն են, OE||AB, OD||AC: Ապացուցեք, որ EDO եռանկյան պարագիծը հավասար է BC հատվածի երկարությանը: Լուծումը

 

288.Նկար 147-ում AB=AC, AP=AQ: Ապացուցեք, որ ա) BOC եռանկյունը հավասարասրուն է, բ) OA ուղիղը ուղղահայաց է BC հիմքին և անցնում է նրա միջնակետով: Լուծումը

290.Հավասարասրուն եռանկյան կողմերից մեկը 25սմ է, իսկ մյուսը՝ 10սմ: Դրանցից ո՞րն է հիմքը: Լուծումը

293.Եռանկյան տարբեր գագաթներին հարակից երկու արտաքին անկյունները հավասար են: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը

295.Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 25սմ է, երկու կողմերի տարբերությունը՝ 4սմ, իսկ նրա արտաքին անկյուններից մեկը սուր է: Գտեք եռանկյան կողմերը: Լուծումը

299.ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց DM-ը: Գտեք AM-ը, եթե AB=12սմ: Լուծումը

303.ABC և A₁B₁C1 եռանկյունների մեջ A և A₁ անկյուններն ուղիղ են, իսկ BD-ն և B₁D₁-ը կիսորդներ են: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔA₁B₁C₁, եթե ∠B=∠B₁ և BD=B₁D₁: Լուծումը

304.ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140^o: Լուծումը

308.Ապացուցեք, որ եթե մի սուրանկյուն եռանկյան կողմը և նրա ծայրակետերից տարված բարձրությունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս սուրանկյուն եռանկյան կողմին ու նրա ծայրակետերից տարված բարձրություններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են: Լուծումը

309.Ձևակերպեք և ապացուցեք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշ ըստ էջի և նրա հանդիպակաց անկյան: Լուծումը

310.Ապացուցեք, որ ∠ABC=∠A₁B₁C₁, եթե ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁ և BH=B₁H₁, որտեղ BH-ը և B₁H₁-ը ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների բարձրություններ են: Լուծումը

311.Քանոնի և կարկինի օգնությամբ կառուցեք անկյուն, որը հավասար լինի ա) 30^o, բ) 15^o, գ) 75^o, դ) 120^o, ե) 165^o: Լուծումը

316.Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի միջնակետը հավասարահեռ է սրունքներից: Լուծումը

 317.ABC հավասարասրուն եռանկյան AB հիմքի վրա վերցված է M կետ, որը հավասարահեռ է սրունքներից: Ապացուցեք, որ CM-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է: Լուծումը

318.Ուղիղն անցնում է հատվածի միջնակետով: Ապացուցեք, որ հատվածի ծայրակետերը հավասարահեռ են այդ ուղղից: Լուծումը

342.ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ B և C հավասար անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ BOC անկյունը հավասար է եռանկյան B գագաթին հարակից արտաքին անկյանը: Լուծումը

343.ADC եռանկյան AD կողմի վրա B կետը նշված է այնպես, որ BC=BD: Ապացուցեք, որ DC ուղիղը զուգահեռ է ABC անկյան կիսորդին: Լուծումը

344.Նկար 166-ում AD||BE, AC=AD և BC=BE։ Ապացուցեք, որ ∠DCE-ն ուղիղ անկյուն է: Լուծումը

345.Նկար 167-ում AP=PQ=QR=RB=BC, AB=AC: Գտեք A անկյունը: Լուծումը

346.Ապացուցեք, որ բութանկյուն եռանկյան մեջ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրության հիմքը ընկած է եռանկյան կողմի վրա, իսկ սուր անկյունների գագաթներից տարված բարձրությունների հիմքերն ընկած են կողմերի շարունակությունների վրա: Լուծումը

347.A կետից a ուղղին տարված են AH ուղղահայացը և AM₁, AM₂ թեքերը: Ապացուցեք, որ ա) եթե HM₁=HM₂, ապա AM₁=AM₂, բ) եթե HM₁<HM₂, ապա AM₁<AM₂: Լուծումը

348.A կետից a ուղղին տարված են AH ուղղահայացը և AM₁, AM₂ թեքերը: Ապացուցեք, որ ա) եթե AM₁=AM₂, ապա HM₁=HM₂, բ) եթե AM₁<AM₂, ապա HM₁<HM₂: Լուծումը

 349*.A և B բնակավայրերը գտնվում են ուղղագիծ ճանապարհի մի կողմում: Այդ ճանապարհի վրա որտե՞ղ տեղադրել C կանգառը, որպեսզի հեռավորությունների AC+CB գումարը լինի փոքրագույնը:  Լուծումը

350*.Ապացուցեք, որ եթե M կետը գտնվում է ABC եռանկյան ներսում, ապա MB+MC<AB+AC: Լուծումը

351.Ապացուցեք, որ եռանկյան ներսում գտնվող յուրաքանչյուր կետից մինչև գագաթները եղած հեռավորությունների գումարը փոքր է եռանկյան պարագծից: Լուծումը

352.Ապացուցեք, որ եթե AB=AC+CB, ապա A, B և C կետերն ընկած են մի ուղղի վրա: Լուծումը

353.Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է բարձրություն: Ապացուցեք, որ տրված եռանկյունը և առաջացած երկու եռանկյուններն ունեն համապատասխանաբար հավասար անկյուններ: Լուծումը

354.ABC հավասարասրուն եռանկյան AC հիմքը 37սմ է, իսկ B գագաթին հարակից արտաքին անկյունը՝ 60^o: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը AB ուղղից: Լուծումը

355.AB և AC անհավասար կողմերով եռանկյան մեջ տարված են AH բարձրությունը և AD կիսորդը: Ապացուցեք, որ HAD անկյունը հավասար է B և C անկյունների կիսատարբերությանը: Լուծումը

356.Ապացուցեք, որ հավասար եռանկյունների հավասար կողմերին տարված բարձրությունները հավասար են: Լուծումը

357. Հատվածը եռանկյան գագաթը միացնում է հանդիպակաց կողմի որևէ կետին: Ապացուցեք, որ այդ հատվածը փոքր է, քան մյուս երկու կողմերից մեծը:   Լուծումը

359*. Կառուցեք եռանկյուն ըստ երկու կողմի և երրորդ կողմին տարված միջնագծի:   Լուծումը

361. Կառուցեք եռանկյուն ըստ կողմի, նրան տարված բարձրության և մյուս կողմերից մեկին տարված միջնագծի:  Լուծումը

367.   Լուծումը

371.   Լուծումը

374.   Լուծումը

       375.   Լուծումը 

378.   Լուծումը 

381.   Լուծումը 

383.   Լուծումը 

386.   Լուծումը 

388.   Լուծումը 

390.   Լուծումը 

391.   Լուծումը 

392.   Լուծումը 

393.   Լուծումը

395.   Լուծումը