Տարածաչափության խնդիրների լուծումները - 10

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 10 (Աթանասյան և ուրիշներ)

88. ABCD քառանիստում հանդիպակաց կողերը՝ AD-ն ու BC-ն, ինչպես նաև BD-ն ու AC-ն ուղղահայաց են: Ապացուցեք, որ CD և AB հանդիպակաց կողերը նույնպես ուղղահայաց են:   Լուծումը

90. Տրված է ABCA₁B₁C₁ կանոնավոր եռանկյուն պրիզման, որում AA₁=√2•AB: Գտեք AC₁ և A₁B ուղիղների կազմած անկյունը:   Լուծումը

92. ABCDA₁B₁C₁D₁ ուղղանկյունանիստում AB=BC=AA₁/2: Գտեք հետևյալ ուղիղների կազմած անկյունը. ա) BD և CD₁:   Լուծումը 

94. ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդում ABCD նիստի անկյունագծերը հատվում են N կետում, իսկ M կետն ընկած է A₁D₁ կողի վրա, ընդ որում A₁M:MD₁=1:4: Հաշվեք այն անկյան սինուսը, որ կազմում են MN ուղիղը և հետևյալ նիստի հարթությունը. ա) ABCD, բ) DD₁C₁C:   Լուծումը

96. Ապացուցեք, որ երկու խաչվող ուղիղներ, որոնցից մեկը ընդգրկում է խորանարդի անկյունագիծը, իսկ մյուսը՝ խորանարդի նիստի անկյունագիխը, կազմում են 90^º անկյուն:   Լուծումը

98. OA, OB և OC ճառագայթները կազմում են երեք՝ AOB, AOC և BOC ուղիղ անկյուններ: Գտեք COA և AOB անկյունների կիսորդների կազմած անկյունը:   Լուծումը

100. DABC քառանիստում DA=5սմ, AB=4սմ, AC=3սմ, ÐBAC=90^o, ÐDAB=60^o, ÐDAC=45^o: Գտեք A գագաթի հեռավորությունը DBC եռանկյան միջնագծերի հատման կետից:   Լուծումը

139. ABC եռանկյան գագաթները դասավորված են α հարթության միևնույն կողմում և գտնվում են նրանից 4դմ, 5դմ, 9դմ հեռավորությունների վրա: Գտեա այդ եռանկյան միջնագծերի հատման կետի հեռավորությունը α հարթությունից:   Լուծումը

140. Քառանիստի միջնագիծ կոչվում է այն հատվածւ, որը քառանիստի գագաթը միացնում է հանդիպակաց նիստի միջնագծերի հատման կետին: Ապացուցեք, որ քառանիստի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, որն այդ միջնագծերը տրոհում է 3:1 հարաբերությամբ՝ հաշված գագաթից:   Լուծումը

149. OA, OB, OC  և OM ճառագայթները դասավորված են այնպես, որ ÐAOB=ÐBOC=ÐCOA=90^o, ÐAOM=j₁, ÐBOM=j₂, ÐCOM=j₃: Ապացուցեք, որ cos²j₁+ cos²j₂+ cos²j₃=1:   Լուծումը

150. OA, OB  և OC ճառագայթները դասավորված են այնպես, որ ÐBOC=ÐBOA=45^o, ÐAOC=60^o: OH ուղիղն ուղղահայաց է AOB հարթությանը: Գտեք OH և OC ուղիղների կազմած անկյունը:   Լուծումը

156. Ապացուցեք, որ գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը գլանի ծնորդներն են իսկ մյուս երկուսը գլանի հիմքերի տրամագծերը: Գտեք առանցքային հատույթի անկյունագիծը, եթե գլանի շառավիղը 1,5մ է, իսկ բարձրությունը` 4մ:    Լուծումը

158. Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է, որի անկյունագիծը 20սմ է: Այդ անկյունագծի և գլանի ծնորդի կազմած անկյունը 60^o է: Գտեք. ա) գլանի բարձրությունը, բ) գլանի հիմքի մակերեսը:    Լուծումը

161. Գլանի հիմքի մակերեսը հարաբերում է առանցքային հատույթի մակերեսին, ինչպես √3π:4: Գտեք. ա) գլանի առանցքային հատույթի անկյունագծի և հիմքի հարթության կազմած անկյունը, բ) գլանի առանցքային հատույթի անկյունագծերի կազմած անկյունը:  Լուծումը 

162. AB հատվածի ծայրակետերն ընկած են գլանի հիմքերի շրջանագծերի վրա: գլանի շառավիղը r է, բարձրությունը՝ h, իսկ AB ուղղի և գլանի առանցքի հեռավորությունը՝ d: Գտեք ա) h-ը, եթե r=10դմ, d=8դմ, AB=13դմ:   Լուծումը

163. Ապացուցեք, որ եթե հատող հարթությունը զուգահեռ է գլանի առանցքին, իսկ այդ հարթության ու գլանի առանցքի հեռավորությունը փոքր է նրա շառավղից, ապա գլանի հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը գլանի ծնորդներն են:   Լուծումը

165. Գլանի բարձրությունը 12սմ է, իսկ հիմքի շառավիղը՝ 10սմ: Գլանը հատած է առանցքին զուգահեռ հարթությամբ այնպես, որ հատույթում ստացվել է քառակուսի: Գտեք գլանի առանցքի և հատող հարթության հեռավորությունը:   Լուծումը

167. Գլանի AA₁ ծնորդով տարված են երկու հատող հարթություններ, որոնցից մեկն անցնում է գլանի առանցքով: Գտեք գլանի այդ հարթություններով հատույթների մակերեսների հարաբերությունը, եթե հատող հարթությունների կազմած անկյունը j է:   Լուծումը

168.  Գլանի բարձրությունը h է, իսկ առանցքային հատույթի մակերեսը` S: Գտեք գլանի այն հատույթի մակերեսը, որն առաջանում է նրա առանցքին զուգահեռ և դրանից d հեռավորություն ունեցող հարթությամբ հատելիս:   Լուծումը

170. Գլանի առանցքին զուգահեռ հարթությունը հիմքի շրջանագծից զատում է 60^oաղեղ: Գլանի ծնորդը 10√3սմ է, առանցքի և հատող հարթության հեռավորությունը՝  2սմ: Գտեք հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

171. Գլանի ծնորդով տարված են երկու փոխուղղահայաց հարթություններ: Ստացված հատույթներից յուրաքանչյուրի մակերեսը S է: Գտեք գլանի առանցքային հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

173. Գլանի կողմնային մակերևույթի մակերեսը S է: Գտեք գլանի առանցքային հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

175. Գլանի բարձրությունը 12սմ-ով մեծ է նրա շառավղից, իսկ լրիվ ամկերևույթի մակերեսը 288πսմ² է: Գտեք գլանի բարձրությունը և հիմքի շառավիղը:   Լուծումը

177. Գլանի ծնորդի և առանցքային հատույթի անկյունագծի կազմած անկյունը j է, գլանի հիմքի մակերեսը՝ S: Գտեք գլանի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

179. d անկյունագծով քառակուսուց փաթաթված է գլանի կողմնային մակերևույթ: Գտեք այդ գլանի հիմքի մակերեսը:   Լուծումը

181. Երկու գլաններից մեկն առաջացել է ABCD ուղղանկյան պպտումից AB ուղղի շուրջը, իսկ մյուս գլանը՝ նույն ուղղանկյան պտտումից BC ուղղի շուրջը: ա) Ապացուցեք, որ այդ գլանների կողմնային մակերևույթների մակերեսները հավասար են: բ) Գտեք այդ գլանների լրիվ մակերևույթների մակերեսների հարաբերությունը, եթե AB=a. BC=b:   Լուծումը

184. Կոնի բարձրությունը 8դմ է: Կոնի գագաթից ի՞նչ հեռավորությամբ պետք է տանել հիմքին զուգահեռ հարթությունը, որպեսզի հատույթի մակերեսը լինի. ա) հիմքի մակերեսի կեսը:   Լուծումը

186. Կոնի առանցքային հատույթը կանոնավոր եռանկյուն է՝ 2r կողմով: Գտեք կոնի երկու ծնորդներով տարված  հատույթի մակերեսը, եթե այդ ծնորդների կազմած անկյունը հավասար է . ա) 30^օ:   Լուծումը

187. Կոնի բարձրությունը h է, իսկ բարձրության ու ծնորդի կազմած անկյունը 60^օ է: Գտեք կոնի այն  հատույթի մակերեսը, որն առաջանում է երկու փոխուղղահայաց ծնորդներով անցնող հարթությամբ:   Լուծումը 

190. Կոնի բարձրությունը 10սմ է: Հատույթն անցնում է կոնի գագաթով և հիմքի լարով, որն ձգում է 60^օ-ի աղեղ: Գտեք այդ  հատույթի մակերեսը, եթե հատույթի հարթությունը կոնի հիմքի հարթության հետ կազմում է հետևյալ անկյունը. ա) 45^օ:   Լուծումը

192. Կոնը հատում են նրա առանցքին ուղղահայաց երկու հարթություններ: Ապացուցեք, որ կոնի այդ հարթություններով հատույթների մակերեսները հարաբերում են, ինչպես կոնի գագաթից այդ հարթությունների հեռավորությունների քառակուսիները:   Լուծումը

194. Գտեք կոնի կողմնային մակերևույթի փռվածք հանդիսացող սեկտորի աղեղը, եթե կոնի ծնորդը հիմքի հարթության հետ կազմում է 60^օ անկյուն:   Լուծումը

195. Գտեք կոնի առանցքային հատույթի գագաթի անկյունը, եթե նրա կողմնային մակերևույթի փռվածքը սեկտոր է, որի աղեղն է. գ) 60^օ:   Լուծումը

196. Հաշվեք կոնի հիմքի մակերեսը և բարձրությունը, եթե  նրա կողմնային մակերևույթի փռվածքը սեկտոր է, որի շառավիղը 9սմ է, իսկ աղեղը՝ 120^օ:   Լուծումը

199. Կոնի ծնորդը հիմքի հարթությանը թեքված է j անկյան տակ: Կոնի հիմքին ներգծած է եռանկյուն, որի մի կողմը a է, իսկ դրա դիմացի անկյունը՝ α: Գտեք կոնի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

201. Հավասարասրուն եռանկյունը, որի սրունքը m է, իսկ հիմքին առընթեր անկյունը՝ j, պտտվում է իր հիմքի շուրջը: Գտեք եռանկյան պտտումից ստացվող մարմնի մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

204. Հատած կոնի հիմքերի շառավիղներն են R և r, որտեղ R>r, իսկ ծնորդը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45^օ անկյուն: Գտեք առանցքային հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

206. Տրված է ABCD սեղան, որում ÐA=90^o, ÐD=45^o, BC=4սմ, CD= 3Ö2սմ: Հաշվեք AB կողմի շուրջը այդ սեղանի պտտումից ստացվող հատած կոնի կողմնային և լրիվ մակերևույթների մակերեսները:   Լուծումը

208. A և B կետերն ընկած են O կենտրոնով (OÎAB) գնդային մակերևույթի վրա, իսկ M կետն ընկած է AB հատվածի վրա: Ապացուցեք, որ. ա) եթե M-ը AB հատվածի միջնակետն է, ապա OM^AB, բ) OM^AB, ապա M-ը AB հատվածի միջնակետն է:   Լուծումը

210. A և B կետերն ընկած են R շառավղով գնդային մակերևույթի վրա: Գտեք գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը AB ուղղից, եթե AB=m:   Լուծումը

216. ABC եռանկյան գագաթներն ընկած են 13սմ շառավղով գնդային մակերևույթի վրա: Գտեք գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը եռանկյան հարթությունից, եթե AB=6սմ, BC=8սմ, AC=10սմ:   Լուծումը

217. Ուղղանկյան գագաթներն գագաթներն ընկած են 10սմ շառավղով գնդային մակերևույթի վրա: Գտեք գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը ուղղանկյան հարթությունից, եթե AB=6սմ, BC=8սմ, AC=10սմ:   Լուծումը

218. Եռանկյան կողմերը շոշոփում են գնդային մակերևույթը, որի շառավիղը 5սմ է: Գտեք գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը եռանկյան հարթությունից, եթե եռանկյան կոմերն են10սմ, 10սմ և 12սմ:   Լուծումը

220. 15սմ և 20սմ անկյունագծերով շեղանկյան բոլոր կողմերը շոշոփում են  10սմ շառավղով գնդային մակերևույթը: Գտեք գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը շեղանկյան հարթությունից:   Լուծումը

223. Գնդային մակերևույթի շառավղի միջնակետով տարված է հատող հարթություն՝ այդ շառավղին ուղղահայաց: Գնդային մակերևույթի շառավիղը R է: Գտեք. ա) ստացված հատույթի շառավիղը, բ) այն կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսը, որի գագաթը գնդային մակերևույթի կենտրոնն է, իսկ հիմքը՝ ստացված հատույթը:   Լուծումը 

224. Հատող հարթությունն անցնում է R շառավղով գնդային մակերևույթի տրամագծի ծայրակետով՝ այնպես, որ այդ հարթությունը և տրամագիծը կազմում են α անկյուն: Գտեք հատույթում ստացված շրջանագծի երկարությունը, եթե. ա) R=2սմ, α=30^o:   Լուծումը

225. R շառավղով, տրված գնդի սահման հանդիսացող գնդային մակերևույթի կետով տարված են երկու հարթություններ, որոնցից մեկը գնդային մակերևույթի շոշափողն է, իսկ երկրորդը՝ շոշոփող հարթության նկատմամաբ թեքված է j անկյան տակ: Գտեք տրված գնդի հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

226. 120^o երկնիստ անկյան նիստերտ շոշափում են գնդային մակերևույթը: Գտեք այդ գնդային մակերևույթի շառավիղը և շոշափման կետերի հեռավորությունը, եթե գնդային մակերևույթի կենտրոնի և երկնիստ անկյան կողի հեռավորությունը a է:   Լուծումը

227. Գնդային մակերևույթի շառավիղը 112սմ է: Կետը գտնվում է գնդային մակերևույթը շոշափող հարթության մեջ՝ շոշափման կետից 15սմ հեռավորության վրա: գտեք այդ կետի հեռավորությունը գնդային մակերևույթի մոտակա կետից:   Լուծումը

232. Գտեք այն շրջանի շառավիղը, որի մակերեսը հավասար է 5մ շառավղով գնդային մակերևույթի մակերեսին:   Լուծումը

233. Գնդային մակերևույթի երկու զուգահեռ հատույթների շառավիղները 9սմ և 12սմ են, իսկ հատող հարթությունների հեռավորությունը 3սմ է: Գտեք գնդային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

234. Գնդային մակերևույթը երկու փոխուղղահայաց հարթություններով հատելիս ստացվել են r₁ և r₂ շառավիղներով հատույթներ: Գտեք գնդային մակերևույթի մակերեսը, եթե այդ հատույթներն ունեն միակ ընդհանուր կետ:   Լուծումը

235. Օգտագործելով գնդային մակերևույթի մակերեսի բանաձևը՝ ապացուցեք, որ քառակուսու՝ իր կողմերից մեկի շուրջը պտտումից առաջացած գլանի լրիվ մակերևույթի հավասար է այն գնդային մակերևույթի մակերեսին, որի շառավիղը հավասար է այդ քառակուսու կողմին:   Լուծումը

236. Գլանի առանցքային հատույթի մակերեսը S է: Գտեք գլանի հիմքի շառավղի միջնակետով անցնող և շառավղին ուղղահայաց հարթությամբ հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

 237. ABCD ուղղանկյան A և B գագաթներն ընկած են գլանի հիմքերից մեկի շրջանագծի վրա, իսկ C և D գագաթները՝ մյուս հիմքի շրջանագծի վրա: Գտեք գլանի շառավիղը, եթե նրա ծնորդը a է, AB=a, իսկ BC ուղղի և հիմքի հարթության կազմած անկյունը 60^o է:   Լուծումը

238. Ապացուցեք, որ եթե հարթությունը զուգահեռ է գլանի առանցքին, և այդ հարթության ու գլանի առանցքի հեռավորությունը հավասար է գլանի շառավղին, ապա հարթությունն ընդգրկում է գլանի ծնորդ, ընդ որում՝ միայն մեկը:   Լուծումը

239. Ուղղանկյունը անհավասար կողմերի շուրջը պտտելիս առաջանում են գլաներ, որոնց լրիվ մակերևույթների մակերեսները S₁ և S₂ են: Գտեք այդ ուղղանկյան պարագիծը:   Լուծումը

240. Գտեք գլանի լրիվ և կողմնային մակերևույթների մակերեսների հարաբերությունը, եթե գլանի առանցքային հատույթը՝ բ) ABCD ուղղանկյունն է, որում AB:AD=1:2:   Լուծումը

241. Գլանի կողմնային մակերևույթների մակերեսը հավասար է այն շրջանի մակերեսին, որն արտագծած է նրա առանցքային հատույթին: Գտեք գլանի շառավղի և բարձրության հարաբերությունը:   Լուծումը

242. Գտեք կողմնային մակերևույթների ամենամեծ մակերես ունեցող գլանի շառավիղն ու բարձրությունը, եթե գլանի առանցքային հատույթի պարագիծը 2p է:   Լուծումը

243. Գլանաձև բաժակի կողքի պատերի ու հատակի հաստությունը 1սմ է, բաժակի բարձրությունը՝ 16սմ, իսկ ներքին շառավիղը՝ 5սմ: Որոշեք բաժակի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը 

244. Կոնային մակերևույթը փաթաթված է շրջանի քառորդ մասով: Ապացուցեք, որ այդ կոնի ծնորդը հիմքի շառավղի քառապատիկն է:   Լուծումը

245. Գտեք կոնի առանցքային հատույթի գագաթի անկյան կոսինուսը, եթե այդ կոնն ունի երեք՝ զույ առ զույգ փոխուղղահայաց ծնորդներ:   Լուծումը

246. Կոնի հիմքի մակերեսը S₁ է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը՝ S₀: Գտեք կոնի առանցքային հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

247. Կոնի կողմնային և լրիվ մակերևույթների մակերեսների հարաբերությունը 7/8 է: Գտեք կոնի ծնորդի և հիմքի հարթության կազմած անկյունը:   Լուծումը

248. Կոնի գագաթով և հիմքի՝ 120^o աղեղ ձգող լարով տարված է հատույթ, որը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45^o անկյուն: Գտեք այդ հատույթի մակերեսը, եթե հիմքի շառավիղը 4սմ է:   Լուծումը

249. Գտեք կոնի ծնորդի և բարձրության կազմած անկյունը, եթե նրա կողմնային մակերևույթի փռվածքը 270^o աղեղով սեկտոր է:   Լուծումը

250. a և b էջերով ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է ներքնաձիգի շուրջը: Գտեք առաջացած մարմնի մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

251. Հավասարասրուն սեղանը, որի հիմքերը 6սմ և 10սմ են, իսկ սուր անկյունը՝ 60^o, պտտվում է մեծ հիմքի շուրջը: Հաշվեք ստացված մարմնի մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

252. Կոնի բարձրությունը 4սմ է, իսկ հիմքի շառավիղը՝ 3սմ: Հաշվեք  կոնին ներգծած կանոնավոր n-անկյուն բուրգի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե. գ) n=6:   Լուծումը

253. Հատած կոնի առանցքային հատույթի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Առանցքային հատույթի հիմքերից մեկը 40սմ է, իսկ այդ հատույթի մակերեսը՝ 36դմ²: Հաշվեք հատած կոնի կողմնային և լրիվ մակերևույթների մակերեսները:   Լուծումը

255. 1,8սմ և 2,4սմ էջերով ուղղանկյուն եռանկյան գագաթներն ընկած են գնդային մակերևույթի վրա: ա) Ապացուցեք, որ եթե գնդային մակերևույթի շառավիղը 1,5սմ է, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնն ընկած է եռանկյան հարթության մեջ: բ) Գտեք գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը եռանկյան հարթությունից, եթե գնդային մակերևույթի շառավիղը 6,5սմ է:   Լուծումը

256. R շառավղով գնդային մակերևույթի կենտրոնի հեռավորությունը տրված ուղղից d է: Ապացուցեք, որ ա) եթե d<R, ապա ուղիղը հատում է գնդային մակերևույթը երկու կետում, բ) եթե d=R, ապա ուղիղը գնդային մակերևույթի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, գ) եթե d>R, ապա ուղիղը և գնդային մակերևույթը չունեն ընդհանուր կետ:   Լուծումը

259. Երկու ուղղանկյուններ ընկած են տարբեր հարթությունների մեջ և ունեն ընդհանուր կողմ: Ապացուցեք, որ այդ ուղղանկյունների բոլոր գագաթները ընկած են միևնույն գնդային մակերևույթի վրա:   Լուծումը

260. Երկու հավասար գնդային մակերևույթների կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է նրանց տրամագծից: ա) Ապացուցեք, որ այդ գնդային մակերևույթների հատումը շրջանագիծ է: բ) Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե գնդային մակերևույթների շառավիղները R են, իսկ նրանց կենտրոնների հեռավորությունը 1,6R է:   Լուծումը

261. A, B, C և D կետերն ընկած են R շառավղով գնդային մակերևույթի վրա, ընդ որում՝ ÐADB=ÐBCD=ÐCDA=2φ, AD=BD=CD: Գտեք ա) AB-ն և AD-ն, բ) գնդային մակերևույթի՝ ABC հարթությամբ հատույթի շրջանի մակերեսը:   Լուծումը

262. 10սմ շառավղով գնդային մակերևույթից դուրս տրված է M կետը, որը գտնվում է գնդային մակերևույթի՝ նրան ամենամոտ կետից 16սմ հեռավորության վրա: Գտեք գնդային մակերևույթի վրա ընկած այն շրջանագծի երկարությունը, որի բոլոր կետերը գտնվում են M կետից 24սմ հեռավորության վրա:   Լուծումը

263. Մարմինը սահմանափակված է ընդհանուր կենտրոնով երկու գնդային մակերևույթներով: Ապացուցեք, որ նրա՝ գնդային մակերևույթների կենտրոնով անցնող հարթությամբ հատույթի մակերեսը հավասար է ներսի գնդային մակերևույթի շոշափող հարթությամբ հատույթի մակերեսին:   Լուծումը

264. Ապացուցեք, ու եթե գլանին ներգծած եռանկյուն պրիզմայի նիստերից մեկն անցնում է գլանի առանցքով, ապա մյուս երկու նիստերը փոխուղղահայաց են:   Լուծումը   

265. 12սմ բարձրությամբ կոնին ներգծած է բուրգ, որի հիմքը 6սմ և 8սմ կողմերով ուղղանկյուն է: Գտեք բուրգի և կոնի լրիվ մակերևույթների մակերեսների հարաբերությունը:   Լուծումը   

266. Հատած կոնին ներգծած է կանոնավոր n-անկյուն հատած բուրգ: Հատած կոնի հիմքերի շառավիղներն 2սմ և 5սմ են, իսկ բարձրությունը 4սմ է: Գտեք հատած բուրգի լրիվ մակերևույթների մակերեսը, եթե ա) n=3, բ) n=4, գ) n=6:   Լուծումը    

267. Ապացուցեք, որ եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը այն հատվածի միջնակետն է, որը միացնում է այդ պրիզմայի հիմքերի կենտրոնները:   Լուծումը   

268. Ապացուցեք, որ եթե կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը ընկած է այդ բուրգի բարձրության վրա:   Լուծումը   

269. Գտեք R շառավղով գնդային մակերևույթին արտագծած բազմանիստի լրիվ մակեևույթի մակերեսը, եթե այդ բազմանիստը. ա) խորանարդ է, գ) կանոնական քառանիստ է:   Լուծումը   

270. R շառավղով գնդային մակերևույթին արտագծած է կանոնավոր քառանկյուն բուրգ, որի գագաթին հարակից հարթ անկյունը α է: ա) Գտեք բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը   

271. Ապացուցե, որ եթե կանոնավոր քառանկյուն հատած բուրգին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա այդ հատած բուրգի հարթագիծը հավասար է նրա կողմնային նիստի հիմքերի կիսագումարին:   Լուծումը   

272. Ապացուցե, որ ա) կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը ընկած է այդ պրիզմայի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետում, բ) կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը ընկած է այդ բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա:   Լուծումը   

273. Ապացուցե, որ ա) ցանկացած քառանիստին կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ, բ) ցանկացած քառանիստին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:   Լուծումը ա)         Լուծումը բ)  

274. Գնդային մակերևույթի շառավիղը R է: Գտեք այդ գնդային մակերևույթին ներգծած հետևյալ բազմանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը. բ) R բարձրությամբ կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի, գ) կանոնական քառանիստի:   Լուծումը բ)      Լուծումը գ) 

275. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի հիմքի կողմը a է, իսկ կողմնային կողը՝ 2a: Գտեք նրան ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների շառավիղները:   Լուծումը   

276. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգին ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների շառավիղները 2սմ և 5սմ են: Գտեք բուրգի բարձրությունը և հիմքի կողմը:   Լուծումը   

277. Գնդային մակերևույթը ներգծած է գլանին: Գտեք գնդային մակերևույթի մակերեսի հարաբերությունը գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսին:   Լուծումը   

278. Կոնին, որի առանցքային հատույթի գագաթի անկյունը j է, իսկ հիմքի շառավիղը` r, ներգծած է R շառավղով գնդային մակերևույթ: Գտեք.  ա) r-ը, եթե հայտնի են R-ը և j-ն, բ) R-ը, եթե հայտնի են r-ը և j-ն:   Լուծումը   

279. Կոնին ներգծած է r շառավղով գնդային մակերևույթ: Գտեք կոնի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե կոնի ծնորդի և հիմքի կազմած անկյունը α է:   Լուծումը   

280. Գլանը ներգծված է գնդային մակերևույթին: Գտեք գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսի հարաբերությունը գնդային մակերևույթի մակերեսին, եթե գլանի բարձրությունը հավասար է հիմքի տրամագծին:   Լուծումը   

281. Կոնը, որի առանցքային հատույթի գագաթի անկյունը j է, իսկ հիմքի շառավիղը՝ r, ներգծած է R շառավղով գնդային մակերևույթին: Գտեք. ա) r-ը, եթե հայտնի են R-ը և j-ն, բ) j-ն, եթե R=2r:   Լուծումը 

289. Ուղղանկյունանիստի անկյունագիծը կողմնային նիստի հարթության հետ կազմում է α անկյուն, իսկ հիմքի հարթության հետ՝ β անկյուն: Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի ծավալը, եթե նրա բարձրությունը h է:   Լուծումը

291. ABCDA₁B₁C₁D₁ ուղղանկյունանիստում B₁D անկյունագիծը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45^o անկյուն, իսկ A₁B₁BD երկնիստ անկյունը 60^o է: Գտեք ուղղանկյունանիստի ծավալը, եթե նրա հիմքի անկյունագիծը 12սմ է:   Լուծումը

293. Գտեք ABCA₁B₁C₁ ուղիղ պրիզմայի ծավալը, եթե ÐBAC=90^o, BC=37սմ, AB=35սմ, AA₁=1,1դմ:   Լուծումը 

294. Գտեք ABCA₁B₁C₁ ուղիղ պրիզմայի ծավալը, եթե բ) ÐAB₁C=60^o, AB₁=3, CB₁=2, և BB₁ կող ունեցող երկնիստ անկյունը ուղիղ անկյուն է:   Լուծումը

295. Գտեք ABCA₁B₁C₁ ուղիղ պրիզմայի ծավալը, եթե ÐABC=φ և BB₁=BD, որտեղ BD-ն ABC եռանկյան բարձրությունն է:   Լուծումը

296. Գտեք ABCA₁B₁C₁ ուղիղ պրիզմայի ծավալը, եթե AB=BC, ÐABC=α, A₁C անկյունագիծը l է և հիմքի հարթության հետ կազմում է β անկյուն:   Լուծումը

297. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը զուգահեռագիծ է: Հիմքերից մեկի a կողմով և մյուս հիմքի՝ դրան հանդիպակաց կողմով տարված է հատույթ, որը հիմքի հարթության հետ կազմում է β անկյուն: Այդ հատույթի մակերեսը Q է: Գտեք տրված պրիզմայի ծավալը:   Լուծումը

298. Գտեք այն կանոնավոր n-անկյուն պրիզմայի ծավալը, որի բոլոր կողերը a են, եթե. ա) n=3, դ) n=8:   Լուծումը

299. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայում ստորին հիմքի կողմով և վերին հիմքի՝ դրան հանդիպակաց գագաթով տարված է մի հատույթ, որը հիմքի հարթության հետ կազմում է 60^o անկյուն: Գտեք այդ պրիզմայի ծավալը, եթե հիմքի կողմը a է:   Լուծումը

300. Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի ամենամեծ անկյունագիծը 8սմ է և կողմնային կողի հետ կազմում է 30^o անկյուն: Գտեք պրիզմայի ծավալը:   Լուծումը

304. Գլանի հիմքի մակերեսը Q է, իսկ նրա առանցքային հատույթի մակերեսը՝ S: Գտեք գլանի ծավալը:   Լուծումը

306. Գլանին ներգծված է կանոնավոր n-անկյուն պրիզմա: Գտեք պրիզմայի և գլանի ծավալների հարաբերությունը, եթե. ե) n-ը կամայական ամբողջ թիվ է:   Լուծումը

311. Գտեք այն թեք պրիզմայի ծավալը, որի հիմքը 10սմ, 10սմ, 12սմ կողմերով եռանկյուն է, իսկ կողմնային կողը, որը 8սմ է, հիմքի հարթության հետ կազմում է 60^o անկյուն:  Լուծումը

312. Գտեք ABCA₁B₁C₁ թեք պրիզմայի ծավալը, եթե AB=BC=CA=a, ABB₁A₁-ը շեղանկյուն է, AB₁<BA₁, AB₁=b, իսկ AB կող ունեցող երկնիստ անկյունը ուղիղ անկյուն է:  Լուծումը

313. ABCA₁B₁C₁ պրիզմայի հիմքը m կողմով ABC հավասարակողմ եռանկյունն է, A₁ գագաթը պրոյեկտվում է այդ հիմքի կենտրոնին, իսկ AA₁ կողը հիմքի հարթության հետ կազմում է φանկյուն: Գտեք պրիզմայի ծավալը:  Լուծումը

314. ABCA₁B₁C₁ թեք պրիզմայի հիմքը ABC ուղղանկյուն եռանկյունն է՝ AB=7սմ և AC=24սմ էջերով: A₁ գագաթը հավասարապես է հեռացված A, B և C գագաթներից: Գտեք պրիզմայի ծավալը, եթե  նրա AA₁ կողը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45^o անկյուն:  Լուծումը

315. Թեք զուգահեռանիստի հիմքը քառակուսի է, որի կողմը 1մ է: Կողմնային կողերից մեկը հիմքի՝ իրեն կից յուրաքանչյուր կողի հետ կազմում է 60^o անկյուն և ունի 2մ երկարություն: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը

316. Թեք զուգահեռանիստի հիմքը ABCD զուգահեռագիծն է, որում AB=3դմ, AD=7դմ և BD=6դմ: AA₁C₁C անկյունագծային հատույթը, որի մակերեսը 1մ² է, ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը 

317. Թեք զուգահեռանիստի հիմքը 1դմ և 2դմ կից կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ 2դմ երկարությամբ կողմնային կողը հիմքի՝ իրեն կից կողերի հետ կազմում է 60^o անկյուն: Գտեք. ա) այդ կողմնային կողի կազմած անկյունը հիմքի հարթության հետ, բ) զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը

318. Թեք զուգահեռանիստի հիմքը a և b կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ c երկարությամբ կողմնային կողը հիմքի՝ իրեն կից յուրաքանչյուր կողի հետ կազմում է φանկյուն: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը

319. Զուգահեռանիստի բոլոր նիստերը հավասար շեղանկյուններ են, որոնց անկյունագծերն են 6սմ և 8սմ: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը

320. Զուգահեռանիստի բոլոր նիստերը հավասար շեղանկյուններ են, որոնց կողմերը a են, սուր անկյունները՝ 60^o: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը

321. Թեք զուգահեռանիստի հիմքը a կողմով և 60^o-ի սուր անկյունով ABCD շեղանկյունն է, AA₁ կողը նույնպես a է, և այն AB և AD կողմերից յուրաքանչյուրի հետ կազմում է 45^o անկյուն: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:  Լուծումը

322. Ապացուցեք, որ թեք պրիզմայի ծավալը հավասար է կողմնայի կողի և պրիզմայի կողմնային կողերին ուղղահայաց ու դրանց բոլորին հատող հարթությամբ հատույթի մակերեսի արտադրյալին:  Լուծումը

323. Գտեք թեք եռանկյուն պրիզմայի ծավալը, եթե նրա կողմնային կողերի միջև հեռավորություններն են 37սմ, 13սմ և 30սմ, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը 480սմ² է:  Լուծումը

326. Գտեք l կողմնային կող ունեցող կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ծավալը, եթե. ա) կողմային կողը հիմքի հարթության հետ կազմում է φանկյուն, գ) բուրգի գագաթին հարակից հարթ անկյունը β է:  Լուծումը

327. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի գագաթին հարակից հարթ անկյունը φ է, իսկ հիմքի կողմը՝ a: Գտեք բուրգի ծավալը:  Լուծումը

329. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողմնայի կողը m է, և հիմքի հարթության հետ կազմում է φանկյուն: Գտեք բուրգի ծավալը:  Լուծումը

330. Գտեք կանոնավոր վեցանկյուն բուրգի ծավալը և կողմնային մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողմնային կողը 13սմ է, իսկ հիմքին ներգծած շրջանագծի տրամագիծը՝ 6սմ:  Լուծումը

332. Բուրգի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ a և b էջերով: Նրա յուրաքանչյուր կողմնային կողը հիմքի հարթությանը թեքված է φանկյան տակ: Գտեք բաւրգի ծավալը:  Լուծումը

333. Քառանկյուն բուրգի հիմքը ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը b է, անկյունագծերի կազմած անկյունը՝ α: Կոմնային կողերը հիմքի հարթությանը թեքված են միևնույն անկյան տակ: Գտեք այդ անկյունը, եթե բուրգի ծավալը V է:  Լուծումը

335. Գտեք SABC եռանկյուն բուրգի ծավալը, եթե բ) AB=12սմ, BC=CA=10սմ, և հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունները 45^o են, գ) կոմնային կողերը զույգ առ զույգ փոխուղղահայաց են և ունեն a, b, c երկարություն:  Լուծումը

336. DABC բուրգի հիմքը եռանկյուն է, որում AB=20սմ, AC=29սմ, BC=21սմ: DAB և DAC նիստերը ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը, իսկ DBC նիստը նրա հետ կազմում է 60^o անկյուն: Գտեք բաւրգի ծավալը:  Լուծումը

337. Կանոնավոր հատած եռանկյուն բուրգի հիմքերի կողմերն են a և 0,5a, իսկ կողմնային նիստի հարթագիծը a է: Գտեք հատած բաւրգի ծավալը:  Լուծումը

338. Հատած բուրգի հիմքերը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուններ են, որոնց ներքնաձիգները m և n են (m>n): Կողմնային նիստերից երկուսը, որոնք ընդգրկում են էջերը, ուղղահայաց են հիմքին, իսկ երրորդ նիստը հիմքի հետ կազմում է φանկյուն:  Գտեք հատած բաւրգի ծավալը:  Լուծումը

340. Կանոնավոր հատած քառանկյուն բուրգի հիմքի կողմերը 6սմ և 4սմ են: Նրա այն հատույթի մակերեսը, որն առաջանում է մի նստի չպատկանող երկու կողմնային կողերով անցնող հարթությամբ, հավասար է 15սմ²: Գտեք հատած բաւրգի ծավալը:  Լուծումը 

343. Գտեք կոնի ծավալը, եթե նրա հիմքի մակերեսը Q է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը՝ P:  Լուծումը

346. Կոնի բարձրությունը 12սմ է, իսկ ծավալը՝ 324πսմ²: Գտեք այն սեկտորի անկյունը, որը կառաջանա, եթե կոնի կողմնային մակերևույթը փռեն հարթության վրա:   Լուծումը

349. Հայտի են հատած կոնի h բարձրությունը, l ծնորդը, կողմնային մակերևույթի S մակերեսը: Գտեք հատած կոնի առանցքային հատույթի մակերեսը և կոնի ծավալը:  Լուծումը

351. Հատած կոնի և գլանի բարձրություններն ու ծավալները հավասար են: Գտեք գլանի հիմքի շառավիղը, եթե հատած կոնի հիմքերի շառավիղները 3սմ և 5սմ են:  Լուծումը

352. Հատած կոնի բարձրությունը 18սմ է, իսկ հիմքերի շառավիղները 5սմ և 11սմ են: Բարձրությունը հիմքերին զուգահեռ եևկու հարթություններով տրոհված է երեք հավասար հատվածների: Գտեք հատած կոնի ստացված մասերի ծավալները:  Լուծումը

353. Հատած կոնի հիմքերի շառավիղները 3սմ և 9սմ են, իսկ բարձրությունը 6սմ է: Այդ հատած կոնից զատված են ընդհանուր գագաթով երկու այնպիսի կոներ, որոնց հիմքերը սկզբնական հատած կոնի հիմքերն են, իսկ մեկի ծնորդները մյուսի ծնորդների շարունակություններն են: Գտեք ստացված կոներից յուրաքանչյուրի ծավալը:  Լուծումը

356. Գունդը և գլանը ունեն հավասար ծավալներ, իսկ գնդի տրամագիծը հավասար է գլանի հիմքի տրամագծին: Գլանի բարձրությունն արտահայտեք գնդի շառավղով:   Լուծումը

360. Երկու հավասար գնդեր դասավորված են այնպես, որ մեկի կենտրոնն ընկած է մյուսի մակերևույթի վրա: Գնդերի ընդհանուր մասի ծավալը ինչպե՞ս է հարաբերում մի գնդի ծավալին:   Լուծումը

362. Գնդի տրամագիծը տրոհված է երեք հավասար մասերի, և տրոհման կետերով տարված են հարթությունններ՝ ուղղահայաց այդ տրամագծին: Գտեք ստացված գնդային գոտու ծավալը, եթե գնդի շառավիղը R է:   Լուծումը

365. 30^o  անկյունով և R շառավղով շրջանային սեկտորը պտտվում է իրեն սահմանափակող շառավիղներից մեկի շուրջը: Գտեք ստացված գնդային սեկտորի ծավալը:   Լուծումը

368. Ապացուցեք, որ գնդային մակերևույթի մակերեսը հավասար է այն կոնի լրիվ մակերևույթի մակերեսին, որի բարձրությունը հավասար է գնդային մակերևույթի տրամագծին, իսկ հիմքի տրամագիծը՝ կոնի ծնորդին:   Լուծումը

369. Ապացուցեք, որ քառակուսու՝ իր կողմերից մեկի շուրջը պտտումից առաջացած մակերևույթի մակերեսը հավասար է այն գնդային մակերևույթի մակերեսին, որի շառավիղը հավասար է այդ քառակուսու կողմին:   Լուծումը

371. Գնդի շառավիղը 15սմ է: գտեք նրա մակերևույթի այն մասի մակերեսը, որը տեսանելի է գնդի կենտրոնից 25սմ հեռավորություն ունեցող կետից:   Լուծումը

373. Ուղղանկյունանիստի երեք՝ զույգ առ զույգ կից նիստերի մակերեսներն են S₁, S₂, S₃: Ուղղանկյունանիստի ծավան արտահայտեք  S₁-ով, S₂-ով, S₃-ով:   Լուծումը

374. Ուղղանկյունանիստի երեք նիստերի անկյունագծերը, որոնք ելնում են միևնույն գագաթից հավասար են 7սմ, 8սմ և 9սմ: Գտեք ուղղանկյունանիստի ծավալը:   Լուծումը

375. Ուղղանկյունանիստի կողմնային կողմնային կողը a է: Տարբեր հիմքերի երկու կողերով անցնող հատույթը Q մակերեսով քառակուսի է: Գտեք ուղղանկյունանիստի ծավալը:   Լուծումը

376. Ուղիղ զուգահեռանիստի հիմքի կողմերը 7սմ և 3√2 սմ են, հիմքի սուր անկյունը 45^o է: Զուգահեռանիստի փոքր անկյունագիծը հիմքի հարթության հետ կազմում է 45^o անկյուն: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:   Լուծումը 

377. ABCDA₁B₁C₁D₁ ուղիղ զուգահեռանիստում BD₁ և A₁C անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հավասար են 6սմ և 8սմ, իսկ AB=3սմ: Գտեք զուգահեռանիստի ծավալը:   Լուծումը

378. Ուղիղ պրիզմայի, որի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, հիմգ կողերը հավասար են a-ի, իսկ մնացած չորս կողերը միմյանց հավասար են: Գտեք պրիզմայի ծավալը:   Լուծումը

379. Ուղիղ պչիզմայի, որի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է, ծավալը 3մ³ է, իսկ կողմնային նիստերից ամենափոքրը և ամենամեծը 3մ² և 3√5մ² են: Գտեք պրիզմայի կողերի երկարությունները:   Լուծումը

380. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի կողմնայի նիստի անկյունագիծը d է և մյուս կողմնային նիստի հարթության հետ կազմում է jանկյուն: Գտեք պրիզմայի ծավալը:   Լուծումը

381. Ապացուցեք, որ եռանկյուն պրիզմայի ծավալը հավասար է կողմնային նիստի մակերեսի և այդ նիստն ընդգրկող հարթությունից նրան զուգահեռ կողի հեռավորության արտադրյալի կեսին:   Լուծումը

382. Տրված երեք զուգահեռ ուղիղների վրա, որոնք ընկած չեն մի հարթութայն մեջ, տեղադրված են երեք հավասար հատվածներ՝ AA₁-ը, BB₁-ը, CC₁-ը: Ապացուցեք, որ այն պրիզմայի ծավալը, որի կողմնային կողերը այդ հատվածներն են, կախված չէ տրված ուղիղների վրա հատվածների դիրքից:   Լուծումը

383. Թեք եռանկյուն պրիզմայի կողմնային նիստերի մակերեսները համեմատական են 20, 37, 51 թվերին: Կողմնային կողը 0,5դմ է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը՝ 10,8դմ²: Գտեք պրիզմայի ծավալը:   Լուծումը

384. Գտեք կանոնավոր եռանկյուն բուրգի ծավալը, եթե կողմնային նիստը հիմքի հարթության հետ կազմում է j անկյուն, իսկ հիմքի՝ այդ նիստի մեջ չընկած գագաթը գտնվում է դրանից m հեռավորության վրա:   Լուծումը

385. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողմնային կողը հիմքի հետ կազմում է  j անկյուն, իսկ այդ կողի միջնակետը գտնվում է բուրգի հիմքից m հեռավորության վրա: Գտեք բուրգի ծավալը:   Լուծումը

386. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը h է, իսկ այն երկնիստ անկյունը, որի կողը բուրգի կողմնային կողն է, հավասար է 2j: Գտեք բուրգի ծավալը:   Լուծումը

387. Կանոնավոր n-անկյուն բուրգի գագաթին հարակից հարթ անկյունը α է, իսկ հիմքի կողմը՝ a: Գտեք բուրգի ծավալը:  Լուծումը

388. Բուրգի հիմքը եռանկյուն է, որի երկու անկյուններն են j₁և j₂: Բուրգի բարձրությունը h է, իսկ յուրաքանչյուր կողմնային կողը հիմքի հարթության հետ կազմում է j անկյուն: Գտեք բուրգի ծավալը:  Լուծումը

389. Քառանկյուն բարգի բարձրությունը H է, իսկ հիմքը զուգահեռագիծ է, որի անկյունագծերը հատվում են α անկյան տակ: Բուրգի զույգ առ զույգ հավասար կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են β և γ անկյուններ: Գտեք բուրգի ծավալը:   Լուծումը

390. Բուրգի հիմքը a կողմով շեղանկյուն է: Բուրգի երկու կողմնային նիստերը ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը և կազմում են j բութ երկնիստ անկյուն: Մյուս երկու կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են J երկնիստ անկյուններ: Գտեք բուրգի ծավալը:   Լուծումը

391. Քառանիստի երկու կողմնային կողերը հավասար են b-ի, իսկ մնացած չորս կողերը՝ a-ի: Գտեք քառանիստի ծավալը, եթե b երկարությամբ կողերը. ա) ունեն ընդհանուր կետեր, բ) ընդհանուր կետեր չունեն:    Լուծումը ա)      Լուծումը բ)

392. Հատած բուրգում հիմքերի համապատասխան կողերը հարաբերում են ինչպես 2:5: Նրա ծավալը ի՞նչ հարաբերությամբ է բաժանվում այն հարթությամբ, որն անցնում է այդ բուրգի բարձրության միջնակետով և զուգահեռ է հիմքերին:   Լուծումը

393. Գտեք գլանի ծավալը, եթե. գ) առանցքային հատույթը քառակուսի է, իսկ լրիվ մակերևույթի մակերեսը S է:   Լուծումը

394. Ապացուցեք, որ հավասար կողմնային մակերևույթի մակերեսներ ունեցող երկու գլանների ծավալները հարաբերում են ինչպես նրանց շառավիղները:   Լուծումը

396. Կոնին ներգծված է բուրգ, որի հիմքը ուղղանկյուն է: Ուղղանկյան փոքր կողմը a է, իսկ նրա անկյունագծերի կազմած սուր անկյունը՝ j₁: Հիմքի փոքր կողմն ընդգրկող կողմնային նիստը հիմքի հարթության հետ կազմում է j₂ երկնիստ անկյուն: Գտեք կոնի ծավալը:   Լուծումը  

397. Բուրգի հիմքը շեղանկյուն է, որի կողմը a է, սուր անկյունը՝ j: Բուրգին ներգծված է կոն, որի ծնորդը հիմքի հարթության հետ կազմում է J անկյուն: Գտեք կոնի ծավալը:   Լուծումը  

 398. Գլանին ներգծված է գունդ: Գտեք գլանի և գնդի ծավալների հարբերությունը:   Լուծումը  

399. Գտեք կոնի ծավալը, եթե նրա հիմքի շառավիղը 6դմ է, իսկ այդ կոնին ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղը՝ 3դմ:   Լուծումը  

400. Կոնին, որի հիմքի շառավիղը r է, իսկ ծնորդը՝ l, ներգծած է գնդային մակերևույթ: Գտեք այն գծի երկարությունը, որով գնդային մակերևույթը շոշափում է կոնի կողմնային մակերևույթը:   Լուծումը  

401. Հատած կոնին, որի հիմքերի շառավիղները r և r₁ են, ներգծված է գունդ: Գտեք հատած կոնի և գնդի ծավալների հարբերությունը:   Լուծումը  

402. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգին, որի հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունը α է, ներգծված է V ծավալ ունեցող գունդ: Գտեք բուրգի ծավալը:   Լուծումը  

403. Բուրգին, որի հիմքը a կողմով և α անկյունով շեղանկյուն է, ներգծված է գունդ: Գտեք գնդի ծավալը, եթե բուրգի յուրաքանչյուր կողմնային նիստը հիմքի հետ կազմում է β անկյուն:   Լուծումը  

404. R շառավղով գնդային մակեևույթին ներգծված է գլան, որի առանցքային հատույթի անկյունագիծը հիմքի հարթության հետ կազմում է α անկյուն: Գտեք գլանի ծավալը:   Լուծումը  

405. Գնդին ներգծված է գլան, որում առանցքային հատույթի անկյունագծերի կազմած անկյունը α է: Գլանի ծնորդը l է: Գտեք գնդի ծավալը:   Լուծումը  

406. Գնդին ներգծված է կոն, որի հիմքի շառավիղը r է, իսկ բարձրությունը՝ H: Գտեք գնդի մակերևույթի մակերեսը և ծավալը:   Լուծումը  

407. Գնդին ներգծված է բուրգ, որ հիմքը 2սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտեք գնդի մակերևույթի մակերեսը և ծավալը, եթե բուրգի կողմնային կողերից յուրաքանչյուրը հիմքի հարթության հետ կազմում է α անկյուն:   Լուծումը  

 408. Գնդին ներգծված է բուրգ, որ հիմքը 10սմ անկյունագծով ուղղանկյուն է: Բուրգի յուրաքանչյուր կողմնային կողը հիմքի հետ կազմում է β անկյուն: Գտեք գնդի մակերևույթի մակերեսը և ծավալը:   Լուծումը

ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ԿՐԿՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՐՑԵՐ ԵՎ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

18. ABCD քառանիստում AB=2, BC=3, BD=4, AD=2√5, CD=5: Ապացուցեք, որ BD-ն ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Լուծումը

20. M կետը հավասարապես է հեռացված ABC եռանկյան գագաթներից: Ապացուցեք, որ ABC հարթության վրա M կետի պրոյեկցիան ABC եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնն է: Լուծումը

22. a ուղղի A կետով տարված են β հարթությունը և b ուղիղը, որոնցից յուրաքանչյուրը ուղղահայաց է a ուղղին: Ապացուցեք, որ b ուղիղն ընկած է β հարթության մեջ: Լուծումը

23. Ապացուցեք, որ ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդում AC₁ և BD ուղիղները ուղղահայաց են: Լուծումը

30. Կարո՞ղ է որևէ բուրգի փռվածքը լինել քառակուսի: Լուծումը

33. Ապացուցեք, որ եթե բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են, և հավասար են հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունները, ապա բուրգը կանոնավոր է: Լուծումը

35. Քառանկյուն բուրգի հիմքի երեք կողմերն են 5սմ, 7սմ և 8սմ (կից կողմերը նշված են հերթականությամբ): Գտեք հիմքի չորրորդ կողմը, եթե հայտնի է, որ հիմքին առընթեր բոլոր երկնիստ անկյունները հավասար են: Լուծումը

36. Գտեք ABCD բուրգի երկնիստ անկյունները, եթե այդ բուրգի բոլոր կողերը միմյանց հավասար են: Լուծումը

43. Բուրգի հիմքին առընթեր յուրաքանչյուր երկնիստ անկյունը 60^o է: Ապացուցեք, որ այդ բուրգի հիմքի մակերեսը կոմնային մակերևույթի մակերեսից փոքր է 2 անգամ, իսկ լրիվ մակերևույթի մակերեսից՝ 3 անգամ: Լուծումը

44. Բուրգի հիմքին առընթեր յուրաքանչյուր երկնիստ անկյունը α է, իսկ հիմքի մակերեսը S է: Գտեք այդ բուրգի կոմնային մակերևույթի մակերեսը: Լուծումը

51. Ուղիղ եռանկյուն պրիզման ունի յոթ հավասար կող, որոնցից յուրաքանչյուրը 10սմ է, իսկ հիմքի պարագիծը 32սմ է: Գտեք պրիզմային մակերևույթի մակերեսը: Լուծումը

58. Շրջանից կտրել են մի սեկտոր, որը շրջանի քառորդ մասն է: Այդ սեկտորից և շրջանի մնացած մասից կազմել են երկու կոների կողմնային մակերևույթներ: Գտեք այդ կոների բարձրությունների հարաբերությունը: Լուծումը

59. Հիմքի R շառավղով կոնի առանցքային հատույթը կանոնավոր եռանկյուն է: Գտեք α անկյուն կազմող երկու ծնորդներով տարված հատույթի մակերեսը: Լուծումը

62. Գլանի բարձրությունը 2մ է, իսկ հիմքի շառավիղը՝ 7մ: Այդ գլանին ներգծված է քառակուսի՝ այնպես, որ նրա բոլոր գագաթները ընկած են հիմքերի շրջանագծերի վրա, և նրա երկու հանդիպակաց կողմերը թեք են գլանի հիմքի հարթությանը: Գտեք քառակուսու կողմը: Լուծումը

63*. Հարթությունը շոշափում է R շառավղով երեք գնդեր, որոնք զույգ առ զույգ շոշափում են միմյանց: Գտեք այն գնդի շառավիղը, որը շոշափում է այդ գնդերը և այդ հարթությունը: Լուծումը

66. Գտեք 1սմ կող ունեցող կանոնական քառանիստի մակերևույթի վրա ամենակարճ այն ճանապարհի երկարությունը, որ միացնում է հանդիպակաց կողերի միջնակետերը: Լուծումը

68. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի կողմնային կողը b է, իսկ գագաթին հարակից հարթ անկյունը՝ 15^o: Գտեք բուրգի մակերևույթի վրա ամենակարճ այն փակ ճանապարհի երկարությունը, որի սկիզբն ու վերջը հիմքի նույն գագաթն է, և այն հատում է բոլոր կողմնային կողերը: Լուծումը

70. Կոնի հիմքի շառավիղը 2a է, իսկ ծնորդը՝ 6a: Գտեք կոնի վրա ամենակարճ այն փակ ճանապարհի երկարությունը, որն անցնում է որևէ ծնորդի՝ հիմքին պատկանող ծայրակետով և հատում է մյուս բոլոր ծնորդները: Լուծումը

72. Գտեք այն զուգահեռանիստի ծավալը, որի նիստերից երկուսը 1սմ կողմով և 60^օ սուր անկյունով շեղանկյուններ են, իսկ մյուսները քառակուսիներ են: Լուծումը

73. Գտեք այն զուգահեռանիստի ծավալը, որի բոլոր նիստերը 1սմ կողմով և 60^օ սուր անկյունով շեղանկյուններ են: Լուծումը

75. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը a է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը կրկնակի փոքր է լրիվ մակերևույթի մակերեսից: Գտեք պրիզմայի ծավալը: Լուծումը

78. Եռանկյուն պրիզմայի կողմնային կողերի միջև հեռավորությունները հարաբերում են ինչպես 9:10:17, կողմնային կողը 1մ է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը՝ 6մ²: Գտեք այդ պրիզմայի ծավալը: Լուծումը

80. Եռանկյուն բուրգի կողմնային նիստերը զույգ առ փոխուղղահայաց են և ունեն S, P, Q մակերեսներ: Գտեք այդ բուրգի ծավալը: Լուծումը

82. Բուրգի բարձրությունը հիմքին զուգահեռ հարթություններով բաժանվում է երեք հավասար մասերի: Այդ հարթությունները ի՞նչ հարաբերությամբ են բաժանում բուրգի ծավալը: Լուծումը

85. Դիցուք՝ S-ը կոնի հիմքի մակերեսն է, S_կ-ը՝ կողմնային մակերևույթի մակերեսը, իսկ α-ն կոնի ծնորդի և հիմքի կազմած անկյունն է: ապացուցեք, որ S=S_կ•cosα: Լուծումը

88. ABC ուղղանկյուն եռանկյան AB ներքնաձիգը 4սմ է, ÐBAC=30^օ, K-ն BC էջի միջնակետն է: Գտեք այն մարմնի ծավալն ու լրիվ մակերևույթի մակերեսը, որն առաջանում է BAK եռանկյան պտտումից AC-ի շուրջը: Լուծումը

91. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի կողմերը a են, հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունը 60^o է: Գտեք. գ) հանդիպակաց կողմնային նիստերով կազմված անկյունը, է) հիմքի անկյունագծով անցնող ուղղի հեռավորությունն այն ուղղից, որն անցնում է բուրգի գագաթով և հիմքի կողի միջնակետով: Լուծումը գ) Լուծումը ե)

92. Գտեք այն գնդի շառավիղը, որը շոշափում է միավոր խորանարդի երեք նիստերը և այդ խորանարդին ներգծած գունդը: Լուծումը

97. h բարձրությամբ և հիմքի R շառավիղ ունեցող գլանից հեռացրել են երկու կոն: այդ կոներից յուրաքանչյուրի հիմքը համընկնում է գլանի հիմքերից մեկին, իսկ գագաթը՝ գլանի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետին: Գտեք ստացված մարմնի լրիվ մակերևույթի մակերեսը և ծավալը: Լուծումը

99. Գնդին արտագծած է հատած կոն, որի հիմքերի շառավիղներն են r և R: Գտեք գնդի շառավիղը: Լուծումը

100. R շառավղով գնդին արտագծած է հատած կոն, որի ծավալը կրկնակի մեծ է այդ գնդի ծավալից: Գտեք նրա հիմքերի շառավիղները: Լուծումը

Հավելված

Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը` այդ ծնորդը չի պատկանում α հարթությանը: Այդ դեպքում այն կհատեր α հարթությունը: Քանի որ գլանի առանցքը և ծնորդը զուգահեռ են, ապա գլանի առանցքը ևս կհատեր α հարթությունը: Բայց դա հնարավոր չէ, քանի որ, ըստ պայմանի, գլանի առանցքը կամ ընկած է α հարթության  մեջ, կամ զուգահեռ  է  α  հարթությանը: 

Հետևանք: Եթե գլանը հատված է նրա առանցքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա գլանային մակերևույթը հատվում է ծնորդներով, և հատույթը ուղղանկյուն է:

Ապացույց: Ըստ 1 կետի գլանային մակերևույթը կհատվի միայն ծնորդներով: Եվ քանի որ գլանի ծնորդները զուգահեռ և հավասար են, ապա հատույթը զուգահեռագիծ է: Բացի այդ, ծնորդները ուղղահայաց են հիմքերին, ուրեմն հատույթը ուղղանկյուն է:

2. Եթե գնդային մակերևույթը հատված է նրա O կենտրոնով չանցնող հարթությամբ, ապա OO₁-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը,  որտեղ O₁-ը   շրջանագծի  կենտրոնն  է:

Ապացույց: Դիտարկենք հատույթի երկու տրամագծեր` MN-ը և PK-ն: Քանի որ M, N, P և K կետերը ընկած են գնդային մակերևույթի վրա, ապա OM=ON=OP=OK=R: Հետևաբար MON և PON եռանկյունները հավասարասրուն եռանկյուններ են և նրանց OO₁ միջնագիծը նաև բարձրություն է: Այսինքն OO₁⊥MN, OO₁⊥PK: Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության ուղղահայացության հայտանիշի, OO₁-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը:

3. Եթե գլանին ներգծված է պրիզմա, ապա պրիզմայի կողմնային կողերը գլանի ծնորդներն են (հետևաբար պրիզման ուղիղ պրիզմա է և  նրա  բարձրությունը  հավասար  է  գլանի  բարձրությանը):

Ապացույց: Ենթադրենք ABCA₁B₁C₁ պրիզման ներգծված է գլանին: Քանի որ AA₁=BB₁=CC₁ և AA₁|| BB₁|| CC₁, ապա \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում A-ն արտապատկերվում է A₁-ի, B-ն` B<sub>1</sub>-ի և C-ն` C₁-ի վրա: \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում ստորին հիմքի O կենտրոնը արտապատկերվելու է ինչ-որ O₁ կետի: Բայց քանի որ զուգահեռ տեղափոխության դեպքում կետերի հեռավորությունները չեն փոխվում, ապա OA=O₁A₁, OB=O₁B₁, և OC=O₁C₁: Մյուս կողմից OA=OB=OC: Ուրեմն O₁A₁=O₁B₁=O₁C₁: Այսպիսով, O₁-ը գլանի վերին հիմքի կենտրոնն է: Ուրեմն AA₁=OO₁: Վերջինից էլ հետևում է, որ AA₁-ն ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Բայց A₁ կետով տարված ծնորդը նույնպես ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Տրված կետից տրված հարթությանն ուղղահայացի միակությունից էլ հետևում է, որ AA₁-ը ծնորդ է:

4. Երկնիստ անկյան ներքին տիրույթում գտնվող և երկնիստ անկյան կողմերից հավասարահեռ կետերը ընկած են այդ անկյան կիսորդի (Երկնիստ անկյան կիսորդ կանվանենք նրա կողը սահման ունեցող այն կիսահարթությունը, որը երկնիստ անկյունը բաժանում է երկու հավասար անկյունների:) վրա:

Ապացույց: Ենթադրենք K-ն հավասարահեռ է HABQ երկնիստ անկյան կողմերից: K կետից տանենք KL⊥AB,  KN⊥ABQ  և  KM⊥ABH:  KML և KNL ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար կլինեն ըստ էջի և ներքնաձիգի: Հետևաբար ∠KLM=∠KLN:  Բացի այդ, ըստ երեք ուղղահայացների թեորեմի hակադարձի` LN⊥AB և LM⊥AB: Հետևաբար  MLK և NKL անկյունները HABK և KABQ երկնիստ անկյունների գծային անկյուններն  են: Ուրեմն այդ երկնիստ անկյունները հավասար են:

5. Ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է ներգծել գունդ:

Ենթադրենք ունենք SABC կանոնավոր բուրգը: Նրա հիմքի կենտրոնը թող լինի O-ն, իսկ BC կողմի միջնակետը` M-ը: Ցույց տանք, որ SO բարձրության և OMS անկյան կիսորդի հատման O₁ կետը հավասարահեռ է SBC կողմնային նիստից և ABC հիմքից:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, իսկ M-ը BC-ի միջնակետն է, ապա OM⊥BC  և  SM⊥BC  (հարթագիծ է): Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության  ուղղահայացության  հայտանիշի`  BC⊥OMS:

Տանենք O₁K⊥SM: Քանի որ BC⊥OMS, ապա BC⊥O₁K: Այսպիսով, O₁K⊥SM և O₁K⊥BC: Ուրեմն O₁K-ն O₁-ի հեռավորությունն է SBC նիստից: Պարզ է, որ O₁-ի հեռավորությունը ABC  հիմքից  O₁O-ն  է:

Քանի որ O₁-ը պատկանում է OMS անկյան կիսորդին, ապա այն հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից` O₁K=O₁O: Այսպիսով, O₁-ը  հավասարահեռ  է  SBC  նիստից  և  հիմքից:

Ցույց տանք, որ O₁ կետի հեռավորությունը մյուս, օրինակ, ASC, նիստից  նույնպես  հավասար  է  OO₁-ին:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, ապա SOM և SOD եռանկյունները, որտեղ D-ն AC-ի միջնակետն է, հավասար են ըստ երեք կողմերի: Հետևաբար ∠MSO=∠DSO: Տանենք O₁P⊥SD: Ինչպես O₁K-ի դեպքում, այստեղ նույնպես կարելի է ցույց տալ, որ O₁P-ն O₁-ի հեռավորությունն է ASC նիստից: Դիտարկենք SO₁K և SO₁P ուղղանկյուն եռանկյունները: Դրանք հավասար են ըստ ներքնաձիգի և նրան առընթեր սուր անկյան (∠MSO=∠DSO): Հետևաբար O₁P=O₁K=OO₁:

Այսպիսով, O₁-ը հավասարահեռ է կանոնավոր բուրգի  բոլոր նիստերից: Դա նշանակում  է, որ  կանոնավոր  բուրգին  կարելի  է ներգծել գունդ:

6. Ցանկացած բուրգի, մասնավորապես կանոնավոր բուրգի, որի հիմքը արտագծելի բազմանկյուն է, կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույցը համանման է  273 ա) խնդրի ապացույցին:

7. Ցանկացած կանոնավոր պրիզմայի կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույց: Ենթադրենք ունենք ABCA₁B₁C₁ կանոնավոր պրիզման, որի A₁B₁C₁ հիմքի կենտրոնը O₁-ն է: Տանենք O₁O_2⊥ABC: Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, ապա O₁O₂-ն զուգահեռ է CC₁-ին: Բացի այդ, որպես զուգահեռ ուղիղների զուգահեռ հարթությունների միջև ընկած հատվածներ` O₁O₂=CC₁: Այսպիսով, O₂O₁C₁C-ն զուգահեռագիծ է: Հետևաբար O₂C=O₁C₁=R, որտեղ R-ը պրիզմայի հիմքին արտագծած շրջանագծի շառավիղն է: O₁O₂ հատվածի միջնակետը թող լինի O-ն: ՕՕ₁A₁, ՕՕ₁B₁, ՕՕ₁C₁, ՕՕ₂A, ՕՕ₂B և ՕՕ₂C ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար ՕA₁=ՕB₁=ՕC₁=OA=OB=OC, այսինքն O-ն հավասարահեռ է պրիզմայի գագաթներից: Ուրեմն պրիզմային կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

8. Ցանկացած կոնի կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույց: Թող կոնի առանցքային հատույթը լինի ABC եռանկյունը, իսկ հիմքի կենտրոնը` O կետը: Կոնի BO բարձրության և OCB անկյան կիսորդի հատման կետը թող լինի O₁-ը: Տանենք O₁K⊥BC: Քանի որ BO-ն կոնի բարձրությունն է, ապա OO₁-ն ուղղահայաց է հիմքին և մասնավորապես OC-ին: Քանի որ  O₁C-ն կիսորդ է, ապա OO₁=O₁K: Այսպիսով, O₁-ը հավասարահեռ է BC ծնորդից և կոնի հիմքից: Ցույց տանք, որ O₁-ը հավասարահեռ է բոլոր ծնորդներից: Դիտարկենք որևէ BD ծնորդ: Տանենք O₁M^BD: BOC և BOD ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար \(\angle COB = \angle DBO\): Այսպիսով, BMO₁ և BKO₁ ուղղանկյուն եռանկյուններում BO₁ ներքնաձիգն ընդհանուր է, իսկ MBO₁ և KBO₁ սուր անկյունները հավասար են: Ուրեմն այդ եռանկյունները հավասար են: Վերջինից էլ կհետևի, որ O₁K=O₁M: Այսպիսով, O₁-ը հավասարահեռ է կոնի ծնորդներից և հիմքից: Հետևաբար կոնին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ: