Տարածաչափության խնդիրների լուծումները - 9

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 9 (Աթանասյան և ուրիշներ)

5. Ապացուցեք, որ մի ուղղի վրա գտնվող երեք կետով անցնում է հարթություն: Քանի՞ այդպիսի հարթություն գոյություն ունի:   Լուծումը

6. Տրված երեք կետերը զույգ առ զույգ միացված են հատվածներով: Ապացուցեք, որ այդ հատվածները մի հարթության մեջ են:   Լուծումը 

11. Տրված են ուղիղ և մի կետ, որը չի գտնվում այդ ուղղի վրա: Ապացուցեք, որ բոլոր այն ուղիղները, որոնք անցնում են տրված կետով և հատում են տրված հարթությունը, գտնվում են մի հարթության մեջ:   Լուծումը

15. Երեք ուղիղ զույգ առ զույգ հատվում են: Ապացուցեք, որ դրանք կամ մի հարթության մեջ են, կամ ունեն ընդհանուր կետ:   Լուծումը

16. a և b զուգահեռ ուղիղներն ընկածեն α հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ a և b ուղիղները հատող  c ուղիղը ևս ընկած է α հարթության մեջ:   Լուծումը

19. ABCD զուգահեռագծի AB և BC կողմերը հատում են α հարթությունը: Ապացուցեք, որ AD և DC ուղիղները նույնպես հատում են α հարթությունը:   Լուծումը

21. ABC և ABD եռանկյուններն ընկած չեն մի հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ CD հատվածին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ հատում այդ եռանկյունների հարթությունները:   Լուծումը 

22. A և B կետերն ընկած են հարթության մեջ, իսկ C կետը ընկած չէ այդ հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ AC և BC հատվածների միջնակետերով անցնող ուղիղը զուգահեռ է α հարթությանը:   Լուծումը

23. M կետն ընկած չէ ABCD ուղղանկյան հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ CD ուղիղը զուգահեռ է ABM հարթությանը:   Լուծումը

25. Տրված ուղիղը զուգահեռ է մի ուղղի, որով հատվում են երկու հարթություններ: Ապացուցեք, որ եթե տրված ուղիղն ընկած չէ այդ հարթությունների մեջ, ապա զուգահեռ է այդ հարթություններին:   Լուծումը

26. ABC եռանկյան AC կողմը զուգահեռ է α հարթությանը, իսկ AB և BC կողմերը հատում են այդ հարթությունը M և N կետերում: Ապացուցեք, որ ABC և MBN եռանկյունները նման են:   Լուծումը

27. C կետն ընկած է AB հատվածի վրա, ընդ որում՝ AB:BC=4:3: CD հատվածը, որի երկարությունը 12սմ է, զուգահեռ է հարթությանը, որն անցնում է B կետով: Ապացուցեք, որ AD ուղիղը ինչ-որ E կետում հատում է α հարթությունը, և գտեք BE հատվածի երկարությունը:   Լուծումը

29. ABCD սեղանի BC հիմքը 12սմ է: M կետն ընկած չէ սեղանի հարթության մեջ, իսկ K կետը BM հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ ADK հարթությունը ինչ-որ H կետում հատում է MC հատվածը, և գտեք KH հատվածի երկարությունը:   Լուծումը

30. ABCD սեղանի AB հիմքը զուգահեռ է α հարթությանը, իսկ C գագաթն ընկած է այդ հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ ա) սեղանի CD հիմքն ընկած է α հարթության մեջ, բ) սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է α հարթությանը:   Լուծումը

31. հարթությունը զուգահեռ է ABC եռանկյան BC կողմին և անցնում է AB կողմի միջնակետով: Ապացուցեք, որ α հարթությունը անցնում է նաև AC կողմի միջնակետով:   Լուծումը

33. Ապացուցեք, որ եթե մի ուղղով չանցնող երեք հարթություններ զույգ առ զույգ հատվում են, ապա այն ուղիղները, որոնցով դրանք հատվում են, կամ զուգահեռ են, կամ էլ ունեն ընդհանուր կետ:   Լուծումը

35. a ուղղի վրա չընկած M կետով տարված է երկու ուղիղ, որոնք a ուղղի հետ չունեն ընդհանուր կետ: Ապացուցեք, որ այդ ուղիղներից առնվազն մեկը և a ուղիղը խաչվող ուղիղներ են:   Լուծումը

36. c ուղիղը հատում է a ուղիղը և չի հատում b ուղիղը, իսկ b ուղիղը զուգահեռ է a ուղղին: Ապացուցեք, որ b-ն և c-ն խաչվող ուղիղներ են:   Լուծումը

38. ABCD շեղանկյան A գագաթով տարված է BD նակյունագծին զուգահեռ a ուղիղը, իսկ C գագթով՝ այնպիսի b ուղիղ, որն ընկած չէ շեղանկյան հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ ա) a և CD ուղիղները հատվում են, բ) b-ն և a-ն խաչվող ուղիղներ են:   Լուծումը

39. Ապացուցեք, որ եթե AB-ն ու CD-ն խաչվող ուղիղներ են, ապա AD-ն ու BC-ն նույնպես խաչվող ուղիղներ են:  Լուծումը

43. Ապացուցեք, որ տարածական քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են:   Լուծումը

45. a ուղիղը զուգահեռ է ABCD զուգահեռագծի BC կողմին և ընկած չէ զուգահեռագծի հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ a-ն և CD-ն խաչվող ուղիղներ են և գտեք դրանց կազմած անկյունը, եթե զուգահեռագծի անկյուններից մեկը ա) 50^º է, բ) 121^º է:   Լուծումը

47. ABCD տարածական քառանկյան AB և CD կողմերը հավասար են: Ապացուցեք, որ AB և CD ուղիղները կազմում են հավասար անկյուններ այն ուղղի հետ, որն անցնում է BC և AD հատվածների միջնակետերով:   Լուծումը

50. α և β հարթությունները զուգահեռ են, m ուղիղն ընկած է α հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ m ուղիղը զուգահեռ է β հարթությանը:   Լուծումը 

51. Ապացուցեք, որ α և β հարթությունները զուգահեռ են, եթե α հարթության երկու՝ m և  n հատվող ուղիղները զուգահեռ են β հարթությանը:   Լուծումը

52. Եռանկյան երկու կողմերը զուգահեռ են α հարթությանը: Ապացուցեք, որ երրորդ կողմը նույնպես զուգահեռ է α հարթությանը:   Լուծումը

53. Մի հարթության մեջ չընկած երեք հատվածներ՝ A₁A₂-ը, B₁B₂-ը, C₁C₂-ը ունեն ընդհանուր միջնակետ: Ապացուցեք, որ A₁B₁C₁ և A₂B₂C₂ հարթությունները զուգահեռ են:   Լուծումը

54. B կետն ընկած չէ ADC եռանկյան հարթության մեջ, իսկ M, N և P կետերը, համապատասխանաբար, BA, BC և BD հատվածների միջնակետերն են:

   ա) Ապացուցեք, որ MNP և ADC հարթությունները զուգահեռ են:

   բ) Գտեք MNP եռանկյան մակերեսը, եթե ADC եռանկյան մակերեսը 48սմ² է:   Լուծումը

56. α և β հարթությունները զուգահեռ են, A-ն α հարթության կետ է: Ապացուցեք, որ A կետով անցնող և β հարթությանը զուգահեռ ցանկացած ուղիղ ընկած է α հարթության մեջ:   Լուծումը

57. a ուղիղը զուգահեռ է երկու զուգահեռ հարթություններից մեկին: Ապացուցեք, որ a ուղիղը կամ զուգահեռ է մյուս հարթությանը, կամ ընկած է նրա մեջ:   Լուծումը

60. Երկու հարթություններ՝ α-ն և β-ն զուգահեռ են γ հարթությանը: Ապացուցեք, որ α և β հարթությունները զուգահեռ են:   Լուծումը

61. Տրված են a և b ուղիղները և A կետը, որը ընկած չէ այդ ուղիղների հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ A կետով անցնում է a և b ուղիղներին զուգահեռ հարթություն, ընդ որում՝ միայն մեկը:   Լուծումը

68. ABCD քառանիստի AB և AC կողերի միջնակետերը M և N կետերն են: Ապացուցեք, որ MN ուղիղը զուգահեռ է BCD հարթությանը:   Լուծումը

69. SABC քառաիստի AB և BC կողերի միջնակետերով տարված է SB կողին զուգահեռ հարթություն: Ապացուցեք, որ այդ հարթությունը SAB և SCB նիստերը հատում է զուգահեռ ուղիղներով:   Լուծումը

70. Ապացուցեք, որ ABCD քառանիստի AB, AC, AD կողերի միջնակետերով անցնող հարթությունը զուգահեռ է BCD հարթությանը:   Լուծումը

73. ABCD քառանիստում AB, BC, CD կողերի միջնակետերն են M-ը, N-ը և P-ն, և AC=10սմ, BD=12սմ: Ապացուցեք, որ MNP հարթությունն անցնում է AD կողի K միջնակետով, և գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որն ստացվում է քառանիստը MNP հարթությամբ հատելիս:   Լուծումը

74. ABCD քառանիստի BCD նիստի միջնագծերի հատման կետով տարված է ABC նիստին զուգահեռ հարթություն: ա) Ապացուցեք, որ քառանիստի այդ հարթությամբ հատույթը եռանկյուն է, որը նման է ABC եռանկյանը: բ) Գտեք այդ հատույթի և ABC եռանկյան մակերեսների հարաբերությունը:   Լուծումը

75. Պատկերեք KLMN քառանիստ: ա) Կառուցեք այդ քառանիստի հատույթն այն հարթությամբ, որն անցնում է KL կողով և MN կողի A միջնակետով: բ) Ապացուցեք, որ LM, MA, MK հատվածների E, O, F միջնակետերով անցնող հարթությունը զուգահեռ է LKA հարթությանը: Գտեք EOF եռանկյան մակերեսը, եթե LKA եռանկյան մակերեսը 24սմ² է:   Լուծումը

76. Տրված է ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստը: Ապացուցեք, որ AC||A₁C₁  և BD||B₁D₁:   Լուծումը 

79. Պատկերեք ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստ և կառուցեք նրա հատույթը. ա) ABC₁ հարթությամբ, բ) ACC₁ հարթությամբ: Ապացուցեք, որ կառուցված հատույթները զուգահեռ են:   Լուծումը

84. Պատկերեք ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստ և կառուցեք նրա հատույթն այն հարթությամբ, որն անցնում է B₁, D₁ կետերով և CD կողի միջնակետով: Ապացուցեք, որ կառուցված հատույթը սեղան է:   Լուծումը

85. Պատկերեք ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստ և կառուցեք նրա հատույթը BKL հարթությամբ, որտեղ K-ն AA₁ կողի միջնակետն է, իսկ L-ը՝ CC₁ կողի միջնակետը: Ապացուցեք, որ  կառուցված հատույթը զուգահեռագիծ է:   Լուծումը

86. Պատկերեք ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստ և կառուցեք նրա հատույթն այն հարթությամբ, որն անցնում է հիմքի AC անկյունագծով և զուգահեռ է BD₁ անկյունագծին: Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռանիստի հիմքը շեղանկյուն է, իսկ ABB₁ և CBB₁ անկյուններն ուղիղ են, ապա կառուցված հատույթը հավասարասրուն եռանկյուն է:   Լուծումը

88. AC և BD զուգահեռ ուղիղները A և B կետերում հատում են  հարթությունը: C և D կետերն ընկած են α հարթության միևնույն կողմում, AC=8սմ, BD=6սմ, AB=4սմ: ա) Ապացուցեք, որ CD ուղիղը որևէ E կետում հատում է α հարթությունը: բ) Գտեք BE հատվածի երկարությունը:   Լուծումը

89. A, B, C և D կետերը ընկած չեն նույն հարթության մեջ: ABC և CBD եռանկյունների միջնագծերը հատվում են, համապատասխանաբար, M₁ և M₂ կետերում: Ապացուցեք, որ AD և M₁M₂  հատվածները զուգահեռ են:   Լուծումը

90. ABCD սեղանի A և B գագաթներն ընկած են  հարթության մեջ, իսկ C և D գագաթները՝ ոչ: α հարթության նկատմամաբ ինչպե՞ս է դասավորված CD ուղիղը, եթե AB հատվածը՝ ա) սեղանի հիմքն է,  բ) սեղանի սրունքն է:   Լուծումը

91. a  և  b  զուգահեռ ուղիղներից յուրաքանչյուրով և այդ ուղիղների հարթության մեջ չընկած M կետով տարված են հարթություններ: Ապացուցեք, որ այդ հարթությունները հատվում են ուղղով, որը զուգահեռ է a  և  b  ուղիղներին:   Լուծումը

92. α հարթությունը և a ուղիղը զուգահեռ են b ուղղին: Ապացուցեք, որ a ուղիղը կամ զուգահեռ է α հարթությանը, կամ ընկած է նրա մեջ:   Լուծումը

93. a  և  b  ուղիղները զուգահեռ են: a ուղղի M կետով տարված է a ուղղից տարբեր այնպիսի MN ուղիղ, որչի հատում b ուղիղը: Ինչպիսի՞ն է MN և b ուղիղների փոխադարձ դասավորությունը:   Լուծումը

94. Տրված են երկու խաչվող ուղիղներ և B կետը, որն ընկած չէ այդ ուղիղների վրա: Արդյոք հատվո՞ւմ են այն հարթությունները, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է ուղիղներից մեկով ու B կետով: Պատասխանը հիմնավորեք:   Լուծումը

95. a ուղիղը զուգահեռ է α հարթությանը: Ապացուցեք, որ եթե β հարթությունը հատում է a ուղիղը, ապա հատում է նաև α հարթությունը:   Լուծումը

96. Ապացուցեք, որ զուգահեռ ուղիղների այն հատվածները, որոնք առնված են հարթության և նրան զուգահեռ ուղղի միջև, հավասար են:   Լուծումը

97. Ապացուցեք, որ համապատասխանաբար զուգահեռ կողմերով երկու անկյունները կամ հավասար են, կամ նրանց գումարը 180^º է:   Լուծումը

98. a ուղիղը զուգահեռ է α հարթությանը: Արդյոք գոյություն ո՞ւնի a ուղղով անցնող ու α հարթությանը զուգահեռ հարթություն: Եթե այո, ապա քանի՞ այդպիսի հարթություն գոյություն ունի: Պատասխանը հիմնավորեք:   Լուծումը

99. Ապացուցեք, որ երեք զուգահեռ հարթություններ իրենց հատող ցանկացած երկու ուղիղներից անջատում են համեմատական հատվածներ:   Լուծումը 

100. Տրված են երկու խաչվող ուղիղներ և A կետը: Ապացուցեք, որ A կետով անցնում է, ընդ որում միայն մեկ հարթություն, որը կամ զուգահեռ է տրված ուղիղներին, կամ անցնում է դրանցից մեկով ու զուգահեռ է մյուսին:   Լուծումը

101. Ապացուցեք, որ քառանիստի հանդիպակաց կողերի միջնակետերը միացնող հատվածները հատվում են և հատման կետով կիսվում են:   Լուծումը

102. Ապացուցեք, որ քառանիստի հիմքի երկու կողերի միջնակետերով և հիմքին չպատկանող գագաթով անցնող α հարթությունը զուգահեռ է հիմքի երրորդ կողին: Գտեք քառանիստի՝ α հարթությամբ հատույթի պարագիծը և մակերեսը, եթե քառանիստի յուրաքանչյուր կողի երկարությունը 20սմ է:   Լուծումը

103. DABC քառանիստի DA, DB և DC կողերի վրա M, N և P կետերը նշված են այնպես, որ DM:MA=DN:NB=DP:PC: Ապացուցեք, որ MNP և ABC հարթությունները զուգահեռ են: Գտեք MNP եռանկյան մակերեսը, եթե ABC եռանկյան մակերեսը 10սմ² է, և DM:MA=2:1:   Լուծումը

104. Պատկերեք ABCD քառանիստ և AB կողի վրա նշեք M կետ: Կառուցեք քառանիստի հատույթը այն հարթությամբ, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է AC և BD ուղիղներին:   Լուծումը

105. Պատկերեք DABC քառանիստ, BD և CD կողերի վրա նշեք M  և N կետերը, իսկ ABC նիստի վրա՝ K ներքին կետը: Կառուցեք քառանիստի հատույթը MNK հարթությամբ:   Լուծումը

106. Պատկերեք DABC քառանիստ, CD կողի վրա նշեք K կետը, իսկ ABC և ACD նիստերի վրա՝ M և N կետերը: Կառուցեք քառանիստի հատույթը MNK հարթությամբ:   Լուծումը    Շարունակությունը

107. Պատկերեք ABCD քառանիստ, AB կողի վրա նշեք M կետը: Կառուցեք քառանիստի հատույթը այն հարթությամբ, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է BDC նիստին:   Լուծումը

108. DABC քառանիստում D գագաթով երեք անկյունների կիսորդները հատում են BC, CA և AB հատվածները համապատասխանաբար A₁, B₁ և C₁ կետերում: Ապացուցեք, որ AA₁, BB₁  և CC₁ հատվածները հատվում են մի կետում:   Լուծումը

109. a ուղղով հատվում են երկու հարթություններ, որոնցից յուրաքանչյուրն ընդգրկում են զուգահեռանիստի՝ մի նիստի չպատկանող երկու կողմնային կողեր: Ապացուցեք, որ a ուղիղը զուգահեռ է զուգահեռանիստի կողմնային կողերին և հատում է նրա բոլոր անկյունագծերը:   Լուծումը

110. Ապացուցեք, որ ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստում A₁DB հարթությունը զուգահեռ է D₁CB₁ հարթությանը:   Լուծումը

111. Ապացուցեք, որ զուգահեռանիստի անկյունագիծը փոքր է ընդհանուր գագաթ ունեցող երեք կողերի գումարից:   Լուծումը

112. Ապացուցեք, որ զուգահեռանիստի չորս անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա տասներկու կողերի քառակուսիների գումարին:   Լուծումը

113. Ո՞ր ուղղով են հատվում ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստի A₁BCD₁ և BDD₁B₁ հատույթների հարթությունները:   Լուծումը

114. Պատկերեք ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստ և AB կողի վրա նշեք M կետը: Կառուցեք զուգահեռանիստի հատույթն այն հարթությամբ, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է ACC₁ հարթությանը:   Լուծումը

115. M կետն ընկած է ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստի BC կողի վրա: Կառուցեք այդ զուգահեռանիստի հատույթն այն հարթությամբ, որն անցնում է M կետով և զուգահեռ է BDC₁ հարթությանը:   Լուծումը

116. Տրված է ABCDA₁B₁C₁D₁ զուգահեռանիստը: Ապացուցեք, որ ա) DC^B₁C₁, և AB^A₁D₁, եթե ÐBAD=90^º:   Լուծումը

117. ABCD քառանիստում BC^AD: Ապացուցեք, որ AD^MN, որտեղ M-ը և N-ը AB և AC կողերի միջնակետերն են:   Լուծումը

119. OA ուղիղը ուղահայաց է OBC հարթությանը, O կետը AD հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ ա) AB=DB, գ) OB=OC, եթե AB=AC:   Լուծումը

122. CD ուղիղն ուղղահայաց է ABC կանոնավոր եռանկյան հարթությանը: Այդ եռանկյան O կենտրոնով տարված է CD ուղղին զուգահեռ՝ OK-ն: Հայտնի է, որ AB=16Ö3 սմ, OK=12սմ, CD=16սմ: Գտեք D և K կետերի հեռավորությունը եռանկյան A և B գագաթներից:   Լուծումը

124. PQ ուղիղը զուգահեռ է α հարթությանը: P և Q կետերով տարված են α հարթությանն ուղղահայաց ուղիղներ, որոնք հատում են այդ հարթությունը, համապատասխանաբար, P₁ և Q₁ կետերում: Ապացուցեք, որ PQ=P₁Q₁:   Լուծումը

126. MB ուղիղն ուղղահայաց է ABC եռանկյան AB և BC կողմերին: Որոշեք MBD եռանկյան տեսքը, որտեղ D-ն AC ուղղի կամայական կետ է:   Լուծումը

127. ABC եռանկյան A և B  անկյունների գումարը 90^º է: BD ուղիղն ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Ապացուցեք, որ CD^AC:   Լուծումը

128. ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման O կետով տարված է OM ուղիղն այնպես, որ MA=MC, MB=MD: Ապացուցեք, որ OM ուղիղն ուղղահայաց է զուգահեռագծի հարթությանը:   Լուծումը

129. AM ուղիղն ուղղահայաց է ABCD քառակուսու հարթությանը, իսկ այդ քառակուսու անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ ա) BD ուղիղն ուղղահայաց է AMO հարթությանը, բ) MO^BD:   Լուծումը

131. ABCD քառանիստի BC կողմի միջնակետը M կետն է, և AB=AC, DB=DC: Ապացուցեք, որ ADM եռանկյան հարթությունը ուղղահայաց է BC ուղղին:   Լուծումը

132. Ապացուցեք, որ եթե երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը ուղղահայաց է ուղղին, ապա մյուս հարթությունը ևս ուղղահայաց է այդ ուղղին:   Լուծումը

134. Ապացուցեք, որ a ուղղի վրա տրված M կետով անցնող և այդ ուղղին ուղղահայաց բոլոր ուղիղները ընկած են այն հարթության մեջ, որն անցնում է M կետով և ուղղահայաց է a ուղղին:   Լուծումը

135. a ուղիղն ուղղահայաց է α հարթությանը և այդ հարթության մեջ չընկած b ուղղին: Ապացուցեք, որ a||b:   Լուծումը

136. Ապացուցեք, որ եթե X կետը հավասարահեռ է AB հատվածի ծայրակետերից, ապա այն ընկած է մի հարթության մեջ, որն անցնում է AB հատվածի միջնակետով և ուղղահայաց է AB ուղղին:   Լուծումը

137. Ապացուցեք, որ երկու փոխուղղահայաց խաչվող ուղիղներից յուրաքանչյուրով անցնում է հարթություն, որն ուղղահայաց է մյուս ուղղին:   Լուծումը

139. Մի որևէ կետից հարթությանը տարված են երկու թեքեր: Ապացուցեք, որ ա) եթե թեքերը հավասար են, ապա հավասար են նաև նրանց պրոյեկցիաները գ) եթե թեքերը անհավասար են, ապա ավելի մեծ թեքն ունի ավելի մեծ պրոյեկցիա:   Լուծումը

142. Հատվածի ծայրակետերը գտնվում են α հարթությունից 1սմ և 4սմ հեռավորության վրա: Գտեք այդ հատվածի միջնակետի հեռավորությունը α հարթությունից:   Լուծումը

145. C ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան A գագթով տարված է եռանկյան հարթության ուղղահայաց AD ուղիղը: ա) Ապացուցեք, որ CBD եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:   Լուծումը 

146. a ուղիղը M կետում հատում է α հարթությունը և ուղղահայաց չէ այդ հարթությանը: Ապացուցեք, որ α հարթության մեջ M կետով անցնում է a ուղղին ուղղահայաց ուղիղ, ընդ որում՝ միայն մեկը:   Լուծումը

147. M կետից տարված է ABCD ուղղանկյան հարթության ուղղահայաց՝ MB-ն: Ապացուցեք, որ AMD և MCD եռանկյունները ուղղանկյուն եռանկյուններ են:   Լուծումը

148. AK ուղիղն ուղղահայաց է ABC կանոնավոր եռանկյան հարթությանը, իսկ M կետը BC կողմի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ MK^BC:   Լուծումը

151. CD ուղիղն ուղղահայաց է ABC եռանկյան հարթությանը: Ապացուցեք, որ. ա) ABC ABC եռանկյունը ABD եռանկյան պրոյեկցիան է ABC հարթության վրա, բ) եթե CH-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է, ապա DH-ը՝ ABD եռանկյան բարձրությունը:   Լուծումը

154. BD ուղիղն ուղղահայաց է ABC եռանկյան հարթությանը: Հայտնի է, որ BD=9սմ, AC=10սմ, BC=13սմ: Գտեք. ա) D կետի հեռավորությունը AC ուղղից, բ) ACD եռանկյան մակերեսը:   Լուծումը

156. ABC ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը m է, իսկ այդ էջին առընթեր սուր անկյունը՝j: C ուղիղ անկյան գագաթով տարված է այդ եռանկյան հարթությանն ուղղահայաց CD ուղիղը: Գտեք D կետի հեռավորությունը AB ուղղից, եթե CD=n:   Լուծումը

157. OK ուղիղն ուղղահյաց է ABCD շեղանկյան հարթությանը, ընդ որում՝ O-ն շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետն է: ա) Ապացուցեք, որ K կետի հեռավորությունը շեղանկյան կողմերն ընդգրկող բոլոր ուղիղներից հավասար են:   Լուծումը

159. BM ուղիղն ուղղահայաց է ABCD ուղղանկյան հարթությանը: Ապացուցեք, որ այն ուղիղը որով հատվում են ADM և BCM հարթությունները, ուղղահայաց է ABM հարթությանը:   Լուծումը

160. AB հատվածի ծայրակետերն ընկած են այն երկու զուգահեռ հարթությունների մեջ, որոնց միջև հեռվորությունը d է, ընդ որում d<AB: Ապացուցեք, որ այդ հարթությունների վրա AB հատվածի պրեյեկցիաները հավասար են: Գտեք դրանք, եթե AB=13սմ, d=5սմ:   Լուծումը

165. γ հարթությունից d հեռավորության վրա գտնվող M կետից այդ հարթությանը տարված են AB և AC թեքերը՝ հարթության նկատմամաբ 30^º անկյան տակ: γ հարթության վրա նրանց պրոյեկցիանները կազմում են 120^º անկյուն: Գտեք BC-ն:   Լուծումը

166. Ոչ ուղղահայաց հարթություններ α-ն և β-ն հատվում են MN ուղղով: β հարթության մեջ A կետից տարված է MN-ին ուղղահայաց՝ AB-ն, և A կետից տարված է α հարթությանը ուղղահայաց՝ AC-ն: Ապացուցեք, որ ÐABC-ն AMNC երկնիստ անկյան գծային անկյուն է:   Լուծումը

167. DABC քառանիստի բոլոր կողերը հավասար են, իսկ AC կողի միջնակետը M կետն է: Ապացուցեք, որ ÐDMB-ն BACD երկնիստ անկյան գծային անկյուն է:   Լուծումը

169. Տրված են երկու երկնիստ անկյուններ, որոնց նիստերից մեկն ընդհանուր է, իսկ մյուս երկու նիստերը միևնույն հարթության տարբեր կիսահարթություններ են: ապացուցեք, որ այդ երկնիստ անկյունների գումարը 180º է:   Լուծումը

172. C ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան AC էջն ընկած է α հարթության մեջ, իսկ α և ABC հարթությունների կազմած անկյունը 60º է: Գտեք B կետի հեռավորությունը α հարթությունից, եթե AC=5սմ, AB=13սմ:   Լուծումը 

175. Ապացուցեք, որ եթե քառանիստի բոլոր կողերը հավասար են, ապա հավասար են նրա բոլոր երկնիստ անկյունները: Գտեք այդ անկյունները:   Լուծումը

177. Ապացուցեք, որ այն հարթությունը, որն ուղղահայաց է տրված երկու հարթությունների հատման ուղղին, ուղղահայաց է այդ հարթություններից յուրաքանչյուրին:   Լուծումը

179. α և β հարթությունները փոխուղղահայաց են: α հարթության ինչ-որ կետով տարված է β հարթությանն ուղղղահայաց ուղիղ: Ապացուցեք, որ այդ ուղիղն ընկած է α հարթության մեջ:   Լուծումը

180. Ապացուցեք, որ միևնույն հարթության ուղղահայաց հարթությունն ու դրա մեջ չընկած ուղիղը զուգահեռ են:   Լուծումը

181. α և β հարթությունները հատվում են a ուղղով: M կետով տարված են α և β հարթություններին ուղղահայացներ՝ համապատասխանաբար MA-ն ու MB-ն: a ուղիղը C կետում հատում է AMB հարթությունը: Ապացուցեք, որ MC^a:   Լուծումը

182.  α և β հարթությունները փոխուղղահայաց են և հատվում են a ուղղով: M կետով տարված են այդ հարթություններին ուղղահայացներ՝ MA-ն և MB-ն: a ուղիղը C կետում հատում է AMB հարթությունը: ա) Ապացուցեք, որ ACBM քառանկյունը ուղղանկյուն է:   Լուծումը

183. α և β հարթությունները հատվում են a ուղղով և ուղղահայաց են γ հարթությանը: Ապացուցեք, որ a ուղիղն ուղղահայաց է γ հարթությանը:   Լուծումը

190. Տրված է ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդը: Գտեք հետևյալ երկնիստ անկյունները. գ) A₁BB₁K, որտեղ K-ն A₁D₁ կողի միջնակետն է:   Լուծումը

191. Տրված է ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդը: Ապացուցեք, որ ABC₁ և A₁B₁D հարթություններն ուղղահայաց են:   Լուծումը

193. ABCDA₁B₁C₁D₁ ուղղանկյունանիստում տրված է D₁B=d, AC=m, AB=n: Գտեք հեռավորությունը. բ) ABB₁ և DCC₁ հարթությունների,  գ) DD₁ ուղղի և ACC₁ հարթության:   Լուծումը

194. Խորանարդի կողը a է: Գտեք այն խաչվող ուղիղների հեռավորությունը, որոնք ընդգրկում են. ա) խորանարդի անկյունագիծը և խորանարդի կողը, բ) խորանարդի անկյունագիծը և խորանարդի նիստի անկյունագիծը:   Լուծումը ա)    Լուծումը բ)

197. BM հատվածն ուղղահայաց է ABCD ուղղանկյան հարթությանը: Ապացուցեք, որ CD ուղիղն ուղղահայաց է MBC հարթությանը:    Լուծումը

198. A կետն ընկած է α հարթության մեջ, իսկ B կետի հեռավորությունը այդ հարթությունից 9սմ է: M կետով AB հատվածը տրոհվում է 4:5 հարաբերությամբ՝ հաշված A կետից: Գտեք M կետի հեռավորությունը α հարթությունից:  Լուծումը

199. S կետը հավասարահեռ է ուղղանկյան եռանկյան գագաթներից և ընկած չէ այդ եռանկյան հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ SM ուղիղը, որտեղ M-ը ներքնաձիգի միջնակետն է, ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը:  Լուծումը

200. Ապացուցեք, ու բազմանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնով անցնող և բազմանկյան հարթությանը ուղղահայաց ուղղի ցանկացած կետ հավասարահեռ է բազմանկյան գագաթներից:  Լուծումը 

201. Գտեք AB և PQ  խաչվող ուղիղների կազմած անկյունը, եթե P և Q կետերը հավասարահեռ են AB հատվածի ծայրակետերից:  Լուծումը

202. Կետը գտնվում է ուղղանկյուն եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթից 10սմ հեռավորության վրա: Այդ կետը ի՞նչ հեռավորության վրա է գտնվում եռանկյան հարթությունից, եթե եռանկյան ներքնաձիգին տարված միջնագիծը 5սմ է:  Լուծումը

203. ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագծի Օ կենտրոնով տարված է OK ուղիղը, որը ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը: Գտեք K կետի հեռավորությունները եռանկյան կողմերից, եթե AB=BC=10սմ, AC=12սմ, OK=4սմ:  Լուծումը

204. OM ուղղիղն ուղղահայաց է ABC կանոնավոր եռանկյան հարթությանը և անցնում է այդ եռանկյան O կենտրոնով: OM=a, ÐMOC=j: Գտեք. ա) M կետի հեռավորությունը ABC եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթից և AB, BC, AC ուղիղներից, բ) ABC եռանկյանն արտագծած շրջանագծի երկարությունը, գ) ABC եռանկյան մակերեսը:  Լուծումը ա)    Լուծումը բ) և գ)

205. ABC ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան C գագաթով տարված է CD ուղիղը, որն ուղղահայաց է այդ եռանկյան հարթությանը: Գտեք ABD եռանկյանն մակերեսը, եթե CA=3դմ, CB=2դմ, CD=1դմ:  Լուծումը

206. Եռակյան կողմերն են 17սմ, 15սմ և 8սմ: Եռանկյան փոքր անկյան A գագաթով տարված է AM ուղիղը, որն ուղղահայաց է այդ եռանկյան հարթությանը: Որոշեք M կետի հեռավորությունը այն ուղղից, որն ընդգրկում է եռանկյան փոքր կողմը, եթե հայտնի է, որ AM=20սմ:  Լուծումը

207. ABC եռանկյան մեջ AB=BC=13սմ, AC=10սմ: M կետը գտնվում է AB, BC և AC ուղիղներից 26/3սմ հեռավորության վրա: Գտեք M կետի հեռավորությունը ABC հարթությունից, եթե նրա պրոյեկցիան այդ հարթության վրա ընկած է եռանկյան ներսում:  Լուծումը

208. α հարթությունից 9 սմ հեռավորության վրա գտնվող K կետից տարված են α հարթությանը երկու թեքեր՝ KL-ը և KM-ը, որոնք միմյանց հետ կազմում են ուղիղ անկյուն, իսկ α հարթության հետ, համապատասխանաբար, 45^º և 30^º անկյուններ: Գտեք LM-ը:  Լուծումը

209. AB և AC հավասար հատվածները A կետով անցնող α հարթության հետ կազմում են համապատասխանաբար, 40^º և 50^º անկյուններ: Համեմատեք B և C կետերի հեռավորությունները α հարթությունից:  Լուծումը

211. KDM կանոնավոր եռանկյան և KMNP քառակուսու հարթությունները փոխուղղահայաց են: Գտեք DN-ը, եթե KM=a:  Լուծումը

212. C կետը D կետի պրոյեկցիան է ABC եռանկյան հարթության վրա: Ապացուցեք, որ ABD եռանկյան մակերեսը հավասար է S/cosα, որտեղ S-ը ABC եռանկյան  մակերեսն է, իսկ α-ն ABC և ABD հարթությունների կազմած անկյունը:  Լուծումը

213. ABC և DBC կանոնավոր եռանկյունները դասավորված են այնպես, որ D գագաթը պրոյեկտվում է ABC եռանկյան կենտրոնին: Հաշվեք այդ եռանկյունների հարթությունների կազմած անկյունը:  Լուծումը

214. ABCD ուղղանկյան պրոյեկցիան α հարթության վրա ABC₁D₁ քառակուսին է: Հաշվեք α հարթության և ABCD ուղղանկյան հարթության կազմած j անկյունը, եթե AB:BC=1:2:  Լուծումը

215. AB և CD զուգահեռ ուղիղներն ընկած են 60^º-ի  երկնիստ անկյան տարբեր նիստերում: A և D կետերը գտնվում են երկնիստ անկյան կողից համապատասխանաբար 8սմ և 6,5սմ հեռավորության վրա: Գտեք AB և CD ուղիղների հեռավորությունը:  Լուծումը

216. A և B կետերը ընկած են 120^º-ի  երկնիստ անկյան կողի վրա: AC և BD հատվածները տարված են տարբեր նիստերում և ուղղահայաց են երկնիստ անկյան կողին: Գտեք CD հատվածը, եթե AB=AC=BD=a:  Լուծումը

217. Ուղղանկյունանիստի՝ ընդհանուր գագաէ ունեցող երեք նիստերի մակերեսների գումարը 404դմ² է, իսկ նրա կողերը համեմատական են 3, 7, 8 թվերին: Գտեք ուղղանկյունանիստի անկյունագիծը:  Լուծումը

218. Ապացուցեք, որ. ա) ուղիղ պրիզմայի բոլոր կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են, բ) կանոնավոր պրիզմայի բոլոր կողմնային նիստերը հավասար ուղղանկյուններ են:   Լուծումը

221. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը 8սմ է, կողմնային կողը՝ 6սմ: Գտեք այն հատույթի մակերեսը, որն անցնում է վերին հիմքի կողմով և դրան հանդիպակաց ստորին հիմքի գագաթով:   Լուծումը

222. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը հավասարասրուն սեղան է, որի հիմքերը 25սմ և 9սմ են, բարձրությունը՝ 8սմ: Գտեք պրիզմայի կողմնային կողերին առընթեր երկնիստ անկյունները:   Լուծումը 

225. Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի անկյունագիծը կողմնային նիստի հարթության հետ կազմում է 30^º անկյուն: Գտեք պրիզմայի անկյունագծի և հիմքի հարթության կազմած անկյունը:   Լուծումը

227. Պրիզմայի հիմքը ABC  կանոնավոր եռանկյունն է: AA₁ կողմնային կողը հավասար անկյուններ է կազմում հիմքի AC և AB կողերի հետ: Ապացուցեք, որ. ա) BC^AA₁, բ) CC₁B₁B-ն ուղղանկյուն է:   Լուծումը

229. Կանոնավոր n-անկյուն պրիզմայի բարձրությունը h է, իսկ հիմքի կողմը՝ a: Հաշվեք պրիզմայի կողմնային և լրիվ մակերևույթների մակերեսները, եթե ա)  n=3, a=10սմ, h=15սմ, բ)  n=4, a=12դմ, h=8դմ, գ)  n=6, a=23սմ, h=5դմ, դ)  n=5, a=0,4մ, h=10սմ:   Լուծումը

230. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը եռանկյուն է, որի երկու կողմերը 5սմ և 3սմ են, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 120^º: Կոմնային նիստերի մակերեսներից մեծագույնը 35սմ² է: Գտեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

232. Ուղղանկյունանիստի անկյունագիծը d է և հիմքի հարթության հետ կազմում է φանկյուն, իսկ կողմնային նիստերից մեկի հետ՝ α անկյուն: Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

234. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ներքնաձիջի միջնակետով տարված է նրան ուղղահայաց հարթություն: Գտեք հատույթի մակերեսը, եթե էջերը 20սմ և 21սմ են, իսկ պրիզմային կողմնային կողը 42սմ է:   Լուծումը

235. Ուղիղ պրիզմայի հիմքը ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ φսուր անկյունով: Այդ անկյան դիմացի էջով և տվյալ էջին հանդիպակաց՝ մյուս հիմքի գագաթով տարված է հատույթ, որը հիմքի հարթության հետ կազմում է θանկյուն: Գտեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսի և այդ հատույթի մակերեսի հարաբերությունը:   Լուծումը

236. Ապացուցեք, որ թեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է նրա ուղղահայաց հատույթի պարագծի և կողմնային կողի արտադրյալին:   Լուծումը

238. Եռանկյուն թեք պրիզմայի երկու կողմնային նիստերը փոխուղղահայաց են, իսկ նրանց ընդհանուր կողը, որը 24սմ է, գտնվում է մյուս երկու կողմնային կողերից 12սմ և 35սմ հեռավորության վրա: Գտեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:  Լուծումը

241. Բուրգի հիմքը զուգահեռագիծ է, կողմերն են 5մ և 4մ, իսկ փոքր անկյունագիծը 3մ է: Բուրգի բարձրությունը 2մ է և անցնում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետով: Գտեք բուրգի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

245. Բուրգի հիմքը ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը 8սմ է: կողմնային նիստերից երկուսի հարթություններն ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը, իսկ մյուս երկու կողմնային նիստերը հիմքի հետ կազմում են 30^º և 45^º անկյուններ: Գտեք բուրգի մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

246. Եռանկյուն բուրգի բարձրությունը 40սմ է, իսկ կողմնային նիստերից յուրաքանչյուրի բարձրությունը, որը տարված է բուրգի գագաթից, 41սմ է: ա) Ապացուցեք, որ բուրգի բարձրությունն անցնում է նրա հիմքին ներգծած շրջանագծի կենտրոնով: բ) Գտեք բուրգի հիմքի մակերեսը, եթե նրա պարագիծը 42սմ է:   Լուծումը

247. Բուրգի հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունները հավասար են: Ապացուցեք, որ. ա) բուրգի բարձրությունն անցնում է նրա հիմքին ներգծած շրջանագծի կենտրոնով, բ) բոլոր կողմնային նիստերի բարձրությունները, որ տարված են բուրգի գագաթից, հավասար են, գ) բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և կողմնային նիստի՝ գագաթից տարված բարձրության արտադրյալի կեսին:   Լուծումը 

249. Բուրգի բոլոր կողմնային կողերը միմյանց հավասար են: Ապացուցեք, որ. ա) բուրգի բարձրությունն անցնում է նրա հիմքին արտագծած շրջանագծի կենտրոնով, բ) բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հիմքի հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ:   Լուծումը

251. DABC բուրգի հիմքը BC ներքնաձիգով ABC ուղղանկյուն եռանկյունն է: Կողմնային կողերը միմյանց հավասար են, իսկ բարձրությունը 12սմ է: Գտեք բուրգի կողմնային կողը, եթե BC=10սմ:   Լուծումը

254. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի բարձրությունը H է, հիմքի կողմը՝ a: Գտեք. ա) բուրգի կողմնային կողը, բ) բուրգի գագաթին հարակից հարթ անկյունը, ե) բուրգի կողմնային կողին առընթեր երկնիստ անկյունը:   Լուծումը ա), բ)     Լուծումը ե)

256. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի հիմքի կողմը m է, իսկ բուրգի գագաթին հարակից հարթ անկյունը՝ α: Գտեք. ա) բուրգի բարձրությունը, բ) կողմնային կողը, ե) բուրգի կողմնային կողին առընթեր երկնիստ անկյունը:   Լուծումը ա), բ)    Լուծումը ե)

260. DABC կանոնավոր եռանկյուն բուրգի DO բարձրությունով և DC կողմնային կողով տարված է α հարթությունը: Ապացուցեք, որ. ա) AB կողն ուղղահայաց է α հարթությանը, բ) C գագաթից ADB նիստի հարթագծին տարված ուղղահայացը նաև ADB հարթությանն է ուղղահայաց:   Լուծումը

261. Ապացուցեք, որ կանոնավոր եռանկյուն բուրգում խաչվող կողերը փոխուղղահայաց են:   Լուծումը

262. Ապացուցեք, որ կանոնավոր բուրգի բարձրությունով և կողմնային նիստի բարձրությունով անցնող հարթությունն ուղղահայաց է այդ կողմնային նիստի հարթությանը:   Լուծումը

263. MABCD կանոնավոր բուրգում K, L և N կետերն ընկած են BC, MC և AD կողերի վրա, KN||BM: ա) կառուցեք բուրգի հատույթը KLN հարթությամբ և որոշեք հատույթի տեսքը:   Լուծումը

265. Կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողմնային կողը հիմքի հարթության նկատմամաբ թեքված է 60^º անկյան տակ: Հիմքի կողմով տարված է հարթություն, որը հիմքի հարթության նկատմամաբ թեքված է 30^º անկյան տակ: Գտեք ստացված հատույթի մակերեսը, եթե հիմքի կողմը 12սմ է:   Լուծումը

266. Բուրգի բարձրությունը 2դմ է, հիմքը 6դմ և 8դմ կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ կողմնային կողերը միմյանց հավասար են: Գտեք հիմքի անկյունագծով տարված, կողմնային կողին զուգահեռ հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

267. Բուրգը հատած է հիմքին զուգահեռ հարթությամբ: Ապացուցեք, որ բուրգի կողմնային կողերը և բարձրությունը այդ հարթությամբ տրոհվում են համեմատական մասերի:   Լուծումը

270. Հատած բուրգի հիմքերը կանոնավոր եռանկյուններ են՝ 5սմ և 3սմ կողմերով: Գտեք հատած բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

280. Խորանարդի կողը a է: Գտեք այն հատույթի մակերեսը, որն անցնում է խորանարդի երկու նիստերի անկյունագծերով:   Լուծումը

281. ABCDA₁B₁C₁D₁ խորանարդի D₁ գագաթով տարված են նիստերի անկյունագծերը՝ D₁A-ն, D₁C-ն և D₁B₁-ը, և դրանց ծայրակետերը միացված են հատվածներով: Ապացուցեք, որ D₁AB₁C բազմանիստը կանոնական քառանիստ է: Գտեք խորանարդի և այդ քառանիստի մակերևույթների մակերեսների հարաբերությունը:   Լուծումը

283. DABC կանոնական քառանիստի կողը a է: Գտեք քառանիստի՝ ABC նիստի կենտրոնով անցնող հատույթի մակերեսը, եթե հարթությունը՝ ա) զուգահեռ է BDC նիստին, բ) ուղղահայաց է AD կողին:   Լուծումը 

285. Ապացուցեք, որ կանոնական քառանիստի նիստերի կենտրոնները միացնող հատվածներն իրար հավասար են:   Լուծումը

286. Կանոնական քառանիստի բարձրությունը h է, կողը՝ m, իսկ նրա նիստերի կենտրոնների հեռավորությունը՝ n: Արտահայտեք բ) n-ը m-ով:   Լուծումը

288. Ապացուցեք, որ ցանկացած պրիզմայի գագաթների թիվը զույգ է, իսկ կողերի թիվը բազմապատիկ է 3-ին:   Լուծումը

289. Ապացուցեք, ու խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը 2d² է, որտեղ d-ն խորանարդի անկյունագիծն է:   Լուծումը

290. Ուղղանկյունանիստի հիմքի անկյունագիծը l է, իսկ դրա և հիմքի կողմերից մեկի կազմած անկյունը՝j: Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

291. Ուղղանկյունանիստի անկյունագիծը d է և հիմքի հարթության հետ կազմում է j անկյուն, իսկ հիմքի կողմերից մեկի հետ՝J անկյուն: Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

292. Կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի հիմքի կողմը 6սմ է, իսկ կողմնային կողը՝ 8սմ: Գտեք հիմքի կողմի հեռավորությունը պրիզմայի այն անկյունագծից, որը չի հատում այդ կողմը:   Լուծումը

293. ABCDA₁B₁C₁D₁ կանոնավոր քառանկյուն պրիզմայի D₁B և B₁D անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Ապացուցեք, որ պրիզմայի A₁C և B₁D անկյունագծերի կազմած անկյունը 60^º է:   Լուծումը

294. Կանոնավոր քառանկյուն պրիզման հատած է մի հարթությամբ, որն ընդգրկում է պրիզմայի երկու անկյունագծերը: Ստացված հատույթի մակերեսը S է, իսկ պրիզմայի հիմքի կողմը՝ a: Հաշվեք պրիզմայի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

295. ABCDA₁B₁C₁D₁ թեք զուգահեռանիստի հիմքերը շեղանկյուններ են: CC₁ կողմնային կողը հիմքի CD և CB կողմերի հետ կազմում է հավասար անկյուններ: Ապացուցեք, որ. ա) CC₁^BD, բ) BB₁D₁D ուղղանկյուն է, գ) BD-ն ուղղահայաց է AA₁C₁ հարթությանը, դ) AA₁C₁ և BB₁D₁ հարթությունները փոխուղղահայաց են:   Լուծումը

296. Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի բարձրությունը h է: Ստորին հիմքի միջին գծով և վերին հիմքի՝ դրան զուգահեռ կողմով տարված է α հարթություն, որը ստորին հիմքի հարթության հետ կազմում է j անկյուն: Գտեք առաջացած հատույթի մակերեսը:   Լուծումը

297. ABCA₁B₁C₁ եռանկյուն պրիզմայի հիմքը ABC  կանոնավոր եռանկյունն է, BD-ն այդ եռանկյան բարձրությունն է, իսկ A₁ գագաթը պրոյեկտվում է այդ նույն եռանկյան O կենտրոնին: Ապացուցեք, որ. ա) A₁BD^AA₁C₁, բ) AA₁O^BB₁C, գ) BB₁C₁C նիստը ուղղանկյուն է:    Լուծումը

298. b կողմնային կող ունեցող զուգահեռանիստի հիմքը a կողմով քառակուսի է: Վերին հիմքի գագաթներից մեկը հավասարահեռ է ստորին հիմքի բոլոր գագաթներից: Գտեք զուգահեռանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:    Լուծումը

299. Գտեք կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի բարձրությունը, եթե հիմքի կողմը m է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը կրկնակի մեծ է հիմքի մակերեսից:    Լուծումը

300. DABC կանոնավոր եռանկյուն բուրգում E, F  և P կետերը BC, AB և AD կողերի միջնակետերն են: Որոշեք այդ կետերով անցնող հատույթի տեսքը և  գտեք նրա մակերեսը, եթե բուրգի հիմքի կողմը a է, իսկ կողմնային կողը՝ b:   Լուծումը 

301. DABC կանոնավոր եռանկյուն բուրգի կողմնային կողին առընթեր երկնիստ անկյունը 120^º է: B գագաթի հեռավորությունը DA կողմնային կողից 16սմ է: Գտեք բուրգի հարթագիծը:   Լուծումը

302. Բուրգի հիմքը զուգահեռագիծ է, որի կողմերը 3սմ և 7սմ են, իսկ անկյունագծերից մեկը 6սմ է: Բուրգի բարձրությունը 4սմ է և անցնում է հիմքի անկյունագծերի հատման կետով: Գտեք բուրգի կողմնային կողերը:   Լուծումը

303. Բուրգի հիմքը շեղանկյուն է: Երկու կողմնային նիստերն ուղղահայաց են հիմքի հարթությանը և կազմում են 120^º  երկնիստ անկյուն, իսկ մյուս երկու կողմնային նիստերը հիմքի նկատմամբ թեքված են 30^º անկյան տակ: Գտեք բուրգի մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա բարձրությունը 12սմ է:   Լուծումը

304. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի գագաթին հարակից հարթ անկյունը 60^º է: Ապացուցեք, որ բուրգի հիմքի և կողմնային նիստի կազմած անկյունը կրկնակի փոքր է կողմնային կողին առընթեր երկնիստ անկյունից:   Լուծումը

305. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի բարձրությունը h է, գագաթին հարակից հարթ անկյունը՝α: Գտեք բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

306. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի բարձրությունը h է և կողմնային  նիստի հարթության հետ կազմում է j անկյուն: Գտեք բուրգի լրիվ մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը

307. MABCD կանոնավոր բուրգում AM=b, AD=a: ա) կառուցեք բուրգի հատույթն α հարթությամբ, որն անցնում է հիմքի BD անկյունագծով և զուգահեռ է MA կողին: Գտեք այդ հատույթի մակերեսը: բ) Ապացուցեք, որ M և C կետերը հավասարահեռ  են α հարթությունից:   Լուծումը

308. Բուրգի հիմքը 5սմ կողմով և 6սմ փոքր անկյունագծով շեղանկյուն է: Բուրգի բարձրությունը 3,2սմ է և անցնում է շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետով: Գտեք բուրգի կողմնային միստերի այն բարձրությունները, որոնք տարված են բուրգի գագաթից:   Լուծումը

309. Հավասար կողմնային կողերով բուրգի հիմքը 6դմ և 8դմ կողմերով ուղղանկյուն է: Բուրգի բարձրությունը 6դմ է: Գտեք այն հատույթի մակերեսը, որը տարված է հիմքի փոքր կողմով և բուրգի բարձրության միջնակետով:   Լուծումը

310. DABC բուրգի DA կողը ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Գտեք բուրգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը, եթե AB=AC=25սմ, BC=40սմ, DH=8սմ, որտեղ DH-ը բուրգի բարձրությունն է:   Լուծումը

311. DABC բուրգի հիմքը եռանկյուն է, որի կողմերն են AC=13սմ, AB=15սմ, CB=14սմ: DA կողմնային կողը 9սմ է և ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: ա) Գտեք բուրգի լրիվ մակերևույթի մակերեսը: բ) Ապացուցեք, որ A գագաթը BDC  հարթությանը տարած ուղղահայացի հիմքն ընկած է այդ նիստի բարձրության վրա, և գտեք այդ ուղղահայացի երկարությունը:   Լուծումը

312. Կանոնավոր n-անկյուն բուգի կողմնային նիստերը հիմքի հարթության հետ կազմում են j անկյուն: Գտեք հիմքի հարթության և կողմնային կողի կազմած անկյան տանգենսը:   Լուծումը

313. Կանոնավոր եռանկյուն հատած բուրգի հիմքերի կողմերն են 12դմ և 6դմ, իսկ բարձրությունը 1դմ է: Գտեք այդ բուգի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:   Լուծումը 

314. Կանոնավոր քառանկյուն հատած բուրգի  բարձրությունը 63սմ է, հարթագիծը՝ 65սմ, իսկ հիմքերի կողմերը հարաբերում են ինչպես 7:3: Գտեք հիմքերի կողմերը:   Լուծումը

316. Ապացուցեք, որ կանոնական քառանիստի նիստերի կենտրոնները մեկ այլ կանոնական քառանիստի գագաթներ են:   Լուծումը

371. ABCD քառանիստում BCD նիստի միջնագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ AO հատվածի երկարությունը փոքր է A ընդհանուր գագաթով կողերի երկարությունների գումարի մեկ երորդից:  Լուծումը

374. AB և CD հատվածները ընկած չեն միևնույն հարթության մեջ, M և N կետերը այդ հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ МN<(AC+BD)/2:  Լուծումը 

375. ABCD քառանիստում К և M կետերը AB և CD կողերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ KC, KD, MA և MB հատվածների միջնակետերը ին-որ զուգահեռագծի գագաթներ են:  Լուծումը

386. ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ տարածության ցանկացած M կետի համար տեղի ունի MO<(MA+MB+MC+MD)/4 անհավասարությունը:  Լուծումը

397.  ABCD քառանիստում M և N կետերը, համապատասխանաբար, ADB և BDC նիստերի միջնագծերի հատման կետերն են: Ապացուցեք, որ MN||AC, և գտեք այդ հատվածների հարաբերությունը:  Լուծումը

399. Ապացուցեք, որ եռանկյունը, որի գագաթները քառանիստի կողմնային իստերի միջնագծերի հատման կետերն են, նման է այդ քառանիստի հիմքին:  Լուծումը

 

Հավելված

Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը` այդ ծնորդը չի պատկանում α հարթությանը: Այդ դեպքում այն կհատեր α հարթությունը: Քանի որ գլանի առանցքը և ծնորդը զուգահեռ են, ապա գլանի առանցքը ևս կհատեր α հարթությունը: Բայց դա հնարավոր չէ, քանի որ, ըստ պայմանի, գլանի առանցքը կամ ընկած է α հարթության  մեջ, կամ զուգահեռ  է  α  հարթությանը: 

Հետևանք: Եթե գլանը հատված է նրա առանցքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա գլանային մակերևույթը հատվում է ծնորդներով, և հատույթը ուղղանկյուն է:

Ապացույց: Ըստ 1 կետի գլանային մակերևույթը կհատվի միայն ծնորդներով: Եվ քանի որ գլանի ծնորդները զուգահեռ և հավասար են, ապա հատույթը զուգահեռագիծ է: Բացի այդ, ծնորդները ուղղահայաց են հիմքերին, ուրեմն հատույթը ուղղանկյուն է:

2. Եթե գնդային մակերևույթը հատված է նրա O կենտրոնով չանցնող հարթությամբ, ապա OO₁-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը,  որտեղ O₁-ը   շրջանագծի  կենտրոնն  է:

Ապացույց: Դիտարկենք հատույթի երկու տրամագծեր` MN-ը և PK-ն: Քանի որ M, N, P և K կետերը ընկած են գնդային մակերևույթի վրա, ապա OM=ON=OP=OK=R: Հետևաբար MON և PON եռանկյունները հավասարասրուն եռանկյուններ են և նրանց OO₁ միջնագիծը նաև բարձրություն է: Այսինքն OO₁⊥MN, OO₁⊥PK: Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության ուղղահայացության հայտանիշի, OO₁-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը:

3. Եթե գլանին ներգծված է պրիզմա, ապա պրիզմայի կողմնային կողերը գլանի ծնորդներն են (հետևաբար պրիզման ուղիղ պրիզմա է և  նրա  բարձրությունը  հավասար  է  գլանի  բարձրությանը):

Ապացույց: Ենթադրենք ABCA₁B₁C₁ պրիզման ներգծված է գլանին: Քանի որ AA₁=BB₁=CC₁ և AA₁|| BB₁|| CC₁, ապա \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում A-ն արտապատկերվում է A₁-ի, B-ն` B<sub>1</sub>-ի և C-ն` C₁-ի վրա: \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում ստորին հիմքի O կենտրոնը արտապատկերվելու է ինչ-որ O₁ կետի: Բայց քանի որ զուգահեռ տեղափոխության դեպքում կետերի հեռավորությունները չեն փոխվում, ապա OA=O₁A₁, OB=O₁B₁, և OC=O₁C₁: Մյուս կողմից OA=OB=OC: Ուրեմն O₁A₁=O₁B₁=O₁C₁: Այսպիսով, O₁-ը գլանի վերին հիմքի կենտրոնն է: Ուրեմն AA₁=OO₁: Վերջինից էլ հետևում է, որ AA₁-ն ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Բայց A₁ կետով տարված ծնորդը նույնպես ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Տրված կետից տրված հարթությանն ուղղահայացի միակությունից էլ հետևում է, որ AA₁-ը ծնորդ է:

4. Երկնիստ անկյան ներքին տիրույթում գտնվող և երկնիստ անկյան կողմերից հավասարահեռ կետերը ընկած են այդ անկյան կիսորդի (Երկնիստ անկյան կիսորդ կանվանենք նրա կողը սահման ունեցող այն կիսահարթությունը, որը երկնիստ անկյունը բաժանում է երկու հավասար անկյունների:) վրա:

Ապացույց: Ենթադրենք K-ն հավասարահեռ է HABQ երկնիստ անկյան կողմերից: K կետից տանենք KL⊥AB,  KN⊥ABQ  և  KM⊥ABH:  KML և KNL ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար կլինեն ըստ էջի և ներքնաձիգի: Հետևաբար ∠KLM=∠KLN:  Բացի այդ, ըստ երեք ուղղահայացների թեորեմի hակադարձի` LN⊥AB և LM⊥AB: Հետևաբար  MLK և NKL անկյունները HABK և KABQ երկնիստ անկյունների գծային անկյուններն  են: Ուրեմն այդ երկնիստ անկյունները հավասար են:

5. Ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է ներգծել գունդ:

Ենթադրենք ունենք SABC կանոնավոր բուրգը: Նրա հիմքի կենտրոնը թող լինի O-ն, իսկ BC կողմի միջնակետը` M-ը: Ցույց տանք, որ SO բարձրության և OMS անկյան կիսորդի հատման O₁ կետը հավասարահեռ է SBC կողմնային նիստից և ABC հիմքից:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, իսկ M-ը BC-ի միջնակետն է, ապա OM⊥BC  և  SM⊥BC  (հարթագիծ է): Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության  ուղղահայացության  հայտանիշի`  BC⊥OMS:

Տանենք O₁K⊥SM: Քանի որ BC⊥OMS, ապա BC⊥O₁K: Այսպիսով, O₁K⊥SM և O₁K⊥BC: Ուրեմն O₁K-ն O₁-ի հեռավորությունն է SBC նիստից: Պարզ է, որ O₁-ի հեռավորությունը ABC  հիմքից  O₁O-ն  է:

Քանի որ O₁-ը պատկանում է OMS անկյան կիսորդին, ապա այն հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից` O₁K=O₁O: Այսպիսով, O₁-ը  հավասարահեռ  է  SBC  նիստից  և  հիմքից:

Ցույց տանք, որ O₁ կետի հեռավորությունը մյուս, օրինակ, ASC, նիստից  նույնպես  հավասար  է  OO₁-ին:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, ապա SOM և SOD եռանկյունները, որտեղ D-ն AC-ի միջնակետն է, հավասար են ըստ երեք կողմերի: Հետևաբար ∠MSO=∠DSO: Տանենք O₁P⊥SD: Ինչպես O₁K-ի դեպքում, այստեղ նույնպես կարելի է ցույց տալ, որ O₁P-ն O₁-ի հեռավորությունն է ASC նիստից: Դիտարկենք SO₁K և SO₁P ուղղանկյուն եռանկյունները: Դրանք հավասար են ըստ ներքնաձիգի և նրան առընթեր սուր անկյան (∠MSO=∠DSO): Հետևաբար O₁P=O₁K=OO₁:

Այսպիսով, O₁-ը հավասարահեռ է կանոնավոր բուրգի  բոլոր նիստերից: Դա նշանակում  է, որ  կանոնավոր  բուրգին  կարելի  է ներգծել գունդ:

6. Ցանկացած բուրգի, մասնավորապես կանոնավոր բուրգի, որի հիմքը արտագծելի բազմանկյուն է, կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույցը համանման է  273 ա) խնդրի ապացույցին:

7. Ցանկացած կանոնավոր պրիզմայի կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույց: Ենթադրենք ունենք ABCA₁B₁C₁ կանոնավոր պրիզման, որի A₁B₁C₁ հիմքի կենտրոնը O₁-ն է: Տանենք O₁O_2⊥ABC: Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, ապա O₁O₂-ն զուգահեռ է CC₁-ին: Բացի այդ, որպես զուգահեռ ուղիղների զուգահեռ հարթությունների միջև ընկած հատվածներ` O₁O₂=CC₁: Այսպիսով, O₂O₁C₁C-ն զուգահեռագիծ է: Հետևաբար O₂C=O₁C₁=R, որտեղ R-ը պրիզմայի հիմքին արտագծած շրջանագծի շառավիղն է: O₁O₂ հատվածի միջնակետը թող լինի O-ն: ՕՕ₁A₁, ՕՕ₁B₁, ՕՕ₁C₁, ՕՕ₂A, ՕՕ₂B և ՕՕ₂C ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար ՕA₁=ՕB₁=ՕC₁=OA=OB=OC, այսինքն O-ն հավասարահեռ է պրիզմայի գագաթներից: Ուրեմն պրիզմային կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

8. Ցանկացած կոնի կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույց: Թող կոնի առանցքային հատույթը լինի ABC եռանկյունը, իսկ հիմքի կենտրոնը` O կետը: Կոնի BO բարձրության և OCB անկյան կիսորդի հատման կետը թող լինի O₁-ը: Տանենք O₁K⊥BC: Քանի որ BO-ն կոնի բարձրությունն է, ապա OO₁-ն ուղղահայաց է հիմքին և մասնավորապես OC-ին: Քանի որ  O₁C-ն կիսորդ է, ապա OO₁=O₁K: Այսպիսով, O₁-ը հավասարահեռ է BC ծնորդից և կոնի հիմքից: Ցույց տանք, որ O₁-ը հավասարահեռ է բոլոր ծնորդներից: Դիտարկենք որևէ BD ծնորդ: Տանենք O₁M^BD: BOC և BOD ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար \(\angle COB = \angle DBO\): Այսպիսով, BMO₁ և BKO₁ ուղղանկյուն եռանկյուններում BO₁ ներքնաձիգն ընդհանուր է, իսկ MBO₁ և KBO₁ սուր անկյունները հավասար են: Ուրեմն այդ եռանկյունները հավասար են: Վերջինից էլ կհետևի, որ O₁K=O₁M: Այսպիսով, O₁-ը հավասարահեռ է կոնի ծնորդներից և հիմքից: Հետևաբար կոնին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ: