Երկրաչափություն 9. լուծումներ

ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 9 (Աթանասյան և ուրիշներ)

4. Գտեք նկար 4-ում պատկերված ABC հավասարասրուն եռանկյան գագաթների կոորդինատները, եթե AB=2a, իսկ CO բարձրությունը հավասար է h-ի: Լուծումը

9 4

7. Տրված են A(0;1) և B(5;-3) կետերը: Գտեք C և D կետերի կոորդինատները, եթե հայտնի է, որ B կետը AC հատվածի միջնակետն է, իսկ D կետը` BC հատվածի միջնակետը: Լուծումը

12. Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է, եթե նրա գագաթներն ունեն հետևյալ կոորդինատները. ա) A(0;1); B(1;-4); C(5;2); բ) A(-4;1); B(-2;4); C(0;1): Լուծումը

15. Ապացուցեք, որ MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, և գտեք նրա անկյունագծերը, եթե. ա) M(1;1); N(6;1); P(7;4); Q(2;4); բ) M(-5;1); N(-4;4); P(-1;5); Q(-2;2): Լուծումը

16. Ապացուցեք, որ ABCD քառանկյունն ուղղանկյուն է, և գտեք նրա մակերեսը, եթե. ա) A(-3;-1); B(1;-1); C(1;-3); D(-3;-3); բ) A(4;1); B(3;5); C(-1;4); D(0;0): Լուծումը

21. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը հավասար են: Ձևակերպեք և ապացուցեք հակադարձ պնդումը: Լուծումը

22. Ապացուցեք, որ ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են: Լուծումը

23. Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա այդ զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է: Լուծումը

26. Շրջանագիծը տրված է (x+5)²+(y-1)²=16 հավասարումով: Առանց գծագրից օգտվելու նշեք, թե A(-2;4); B(-5;-3); C(-7;-2) և D(1;5) կետերից որո՞նք են ընկած. ա) տրված շրջանագծով եզերված շրջանի ներսում, բ) շրջանագծի վրա, գ) տրված շրջանագծով եզերված շրջանից դուրս: Լուծումը

29. Գտեք (x-3)²+(y-5)²=25 հավասարումով տրված շրջանագծի վրա ընկած այն կետերը, որոնց. ա) աբսցիսը 3 է, բ) օրդինատը 5 է: Լուծումը

33. Գրեք MN տրամագծով շրջանագծի հավասարումը, եթե. ա) M(-3;5); N(7;-3); բ) M(2;1); N(4;3): Լուծումը

35. Գրեք A(-3;0) և B(0;9) կետերով անցնող շրջանագծի հավասարումը, եթե հայտնի է, որ շրջանագծի կենտրոնն ընկած է օրդինատների առանցքի վրա: Լուծումը

38. Տրված են ABC եռանկյան գագաթների կոորդինատները. A(4;6); B(-4; 0); C(-1;-4): Գրեք CM միջնագիծն ընդգրկող ուղղի հավասարումը: Լուծումը

41. Գտեք M(2;5) կետով անցնող և կոորդինատների առանցքներին զուգահեռ ուղիղների հավասարումները: Լուծումը

44. Պարզեք, թե տրված հավասարումներից որոնք են շրջանագծի հավասարում: Գտեք շրջանագծերից յուրաքանչյուրի շառավիղը և կենտրոնի կոորդինատները. ա) (x-1)²+(y+2)²=25; բ) x²+(y+7)²=1; գ) x²+y²+8x-4y+40=0; դ) x²+y²-2x+4y-20=0; ե) x²+y²-4x-2y+1=0: Լուծումը

55. ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Արդյոք հավասա՞ր են հետևյալ վեկտորները. ա) \(\overrightarrow{AB}\) և \(\overrightarrow{DC}\), բ) \(\overrightarrow{BC}\) և \(\overrightarrow{DA}\), գ) \(\overrightarrow{AO}\) և \(\overrightarrow{OC}\), դ) \(\overrightarrow{AC}\) և \(\overrightarrow{BD}\): Պատասխանը հիմնավորեք: Լուծումը

59. Արդյոք ճշմարի՞տ է հետևյալ պնդումը. ա) եթե \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\), ապա \(\overrightarrow{a}\)↑↑\(\overrightarrow{b}\), բ) եթե \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\), ապա \(\overrightarrow{a}\) և \(\overrightarrow{b}\) վեկտորները համագիծ են, գ) եթե \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\), ապա \(\overrightarrow{a}\)↑↓\(\overrightarrow{b}\), դ) եթե \(\overrightarrow{a}\)↑↑\(\overrightarrow{b}\), ապա \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\), ե) եթե \(\overrightarrow{a}=0\), ապա \(\overrightarrow{a}\)↑↑\(\overrightarrow{b}\): Լուծումը

66. Տրված է կամայական քառանկյուն՝ MNPQ-ն: Ապացուցեք, որ` \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}= \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}\): Լուծումը

67. Ապացուցեք, որ ցանկացած երկու` \(\vec{x}\) և \(\vec{y}\) տարագիծ վեկտորների համար տեղի ունի \(\left| \vec{x}+\vec{y} \right| <\vec{x}+\vec{y} \) անհավասարությունը: Լուծումը

68. Ապացուցեք, որ եթե A-ն, B-ն, C-ն և D-ն կամայական կետեր են, ապա \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0\): Լուծումը

72. Դիցուք` X-ը, Y-ը և Z-ը կամայական կետեր են: Ապացուցեք, որ \(\overrightarrow{p}\)=\(\overrightarrow{XY}\)+\(\overrightarrow{ZX}\)+\(\overrightarrow{YZ}\), \(\overrightarrow{q}\)=\(\overrightarrow{XY}\)-\(\overrightarrow{XZ}\)-\(\overrightarrow{YZ}\) և \(\overrightarrow{r}\)=\(\overrightarrow{ZY}\)-\(\overrightarrow{XY}\)-\(\overrightarrow{ZX}\) վեկտորները զրոյական են: Լուծումը

75. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի միջնակետերն են M-ը և N-ը: \(\overrightarrow{BM}\), \(\overrightarrow{NC}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{BN}\) վեկտորներն արտահայտեք \(\overrightarrow{a}\)=\(\overrightarrow{AM}\) և \(\overrightarrow{b}\)=\(\overrightarrow{AN}\) վեկտորների միջոցով: Լուծումը

79. Տրված է ABCD զուգահեռագիծը: Ապացուցեք, որ \(\overrightarrow{XA}\)+ \(\overrightarrow{XC}\)=\(\overrightarrow{XB}\)+\(\overrightarrow{XD}\), որտեղ X-ը հարթության կամայական կետ է: Լուծումը

90. Ապացուցեք, որ ցանկացած \(\overrightarrow{a}\) վեկտորի համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները. ա) 1•\(\overrightarrow{a}\)=\(\overrightarrow{a}\): Լուծումը

93. ABCD զուգահեռագծի BC կողմի վրա նշված է M կետն այնպես, որ BM:MC=3:1: AM և MD վեկտորներն արտահայտեք a=AD և b=AB վեկտորների միջոցով: Լուծումը

95. ABCD քառանկյան AC և BD անկյունագծերի միջնակետերն են M-ը և N-ը: Ապացուցեք, որ \(\overrightarrow{MN}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} \right)\): Լուծումը

99. ABC եռանկյան կողմերի վրա կառուցված են ABB₁A₂, BCC₁B₂, ACC₂A₁ զուգահեռագծերը: Ապացուցեք, որ գոյություն ունի եռանկյուն, որի կողմերը համապատասխանաμար հավասար են և զուգահեռ A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ հատվածներին: Լուծումը

100. Ապացուցեք, որ սեղանի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը զուգահեռ է սեղանի հիմքերին և հավասար է դրանց կիսատարբերությանը: Լուծումը

106. Ապացուցեք, որ եթե \(\vec{a}\) և \(\vec{b}\) վեկտորները տարագիծ են, ապա տարագիծ են նաև. ա) \(\vec{a}\)+\(\vec{b}\) և \(\vec{a}\)-\(\vec{b}\) վեկտորները: Լուծումը

108. \(\overrightarrow{a}\) և \(\overrightarrow{b}\) վեկտորները տարագիծ են: Գտեք այնպիսի x և y թվեր, որոնք բավարարում են հետևյալ հավասարությանը. ա) 3\(\overrightarrow{a}\)-x \(\overrightarrow{b}\)=y\(\overrightarrow{a}\)+\(\overrightarrow{b}\): Լուծումը

114. Գտեք \(\overrightarrow{a}\)+\(\overrightarrow{b}\) վեկտորի կոորդինատները, եթե. ա) \(\overrightarrow{a}\){3,2}, \(\overrightarrow{b}\){2,5}, դ) \(\overrightarrow{a}\){2,7}, \(\overrightarrow{b}\){-3,-7}: Լուծումը

115. Գտեք \(\overrightarrow{a}\)-\(\overrightarrow{b}\) վեկտորի կոորդինատները, եթե. բ) \(\overrightarrow{a}\){3,2}, \(\overrightarrow{b}\){-3,2}, դ) \(\overrightarrow{a}\){-5,-6}, \(\overrightarrow{b}\){2,-4}: Լուծումը

118. ABCD քառակուսու անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտեք հետևյալ վեկտորների կազմած անկյունը. ա) \(\overrightarrow{AB}\) և \(\overrightarrow{AC}\), գ) \(\overrightarrow{OA}\) և \(\overrightarrow{OB}\), է) \(\overrightarrow{AO}\) և \(\overrightarrow{OC}\): Լուծումը

121. Ապացուցեք, որ A(4;8), B(12;11), C(7;0) գագաթներով ABC եռանկյունը հավասարասրուն է, բայց հավասարակողմ չէ: Լուծումը

125. ABC եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են`A(–5;13), B(3;5), C(–3;–1): Գտեք. ա) եռանկյան կողմերի միջնակետերի կոորդինատները, բ) AC կողմին տարված միջնագիծը, գ) եռանկյան միջին գծերը: Լուծումը

128. Տրված է ABCD ուղղանկյունը: Ապացուցեք, որ հարթության կամայական M կետի համար տեղի ունի AM²+CM²=BM²+DM² հավասարությունը: Լուծումը

130. Գրեք այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է տրված երեք կետերով. ա) A(1;–4), B(4;5), C(3;–2), բ) A(3;–7), B(8;–2), C(6;2): Լուծումը

139. A, B, C կետերը դասավորված են այնպես, որ \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \): Ապացուցեք, որ ցանկացած O կետի համար տեղի ունի \(\overrightarrow {OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OC} \) հավասարությունը: Լուծումը

141. Դիցուկ` AA_1-ը, BB_1-ը,CC_1-ը ABC եռանկյան միջնագծերն են, իսկ O-ն կամայական կետ է: Ապացուցեք, որ \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} \): Լուծումը

142^*. A-ն և C-ն կամայական քառանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերն են, իսկ B-ն և D-ն՝ նրա մյուս երկու կողմերի միջնակետերը: Ապացուցեք, որ ցանկացած O կետի համար տեղի ունի \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {O{B_{}}} + \overrightarrow {OD} \): Լուծումը

146. Գտեք \(\overrightarrow{p}\) վեկտորի կոորդինատները, եթե

ա) \(\overrightarrow p = 7\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) , \(\overrightarrow a \{ 1,1\} \) , \(\overrightarrow b\{ 5,-2\} \) ,

գ) \(\overrightarrow p = 5\overrightarrow a - 4\overrightarrow b \) , \(\vec a\left\{ {\frac{3}{5},\frac{1}{5}} \right\}\) , \(\overrightarrow b\{ 6,-1\} \) : Լուծումը

157. Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերն են 2սմ և 5սմ: Առաջին եռանկյան մյուս երկու կողմերն են 3սմ և 4սմ: Գտեք երկրորդ եռանկյան պարագիծը: Լուծումը

161. Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան տեսք ունեցող այգու մակերեսը 8հա է, իսկ նրա հատակագծում պատկերված եռանկյան մակերեսը՝ 200սմ²: Ի՞նչ մասշտաբով է գծվել այգու հատակագիծը: Լուծումը

164. AB և CD հատվածները հատվում են O կետում, Ապացուցեք, որ ∠CBO=∠DAO: Լուծումը

165. Ապացուցեք, որ նկար 55-ում պատկերված եռանկյունները նման են: Լուծումը

9 55

166. ABCD զուգահեռագծի A գագաթով տարված է ուղիղ, որը հատում է BC կողմը E կետում, իսկ DC կողմի շարունակությունը՝ F կետում: Ապացուցեք, որ ABE∞ EFC: Լուծումը

168. AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ ABO և CDO եռանկյունները նման են: Լուծումը

173. ABC եռանկյան AB կողմին զուգահեռ ուղիղը AC կողմը հատում է P, իսկ BC կողմը՝ Q կետում: Ապացուցեք, որ ABC և PQC եռանկյունները նման են: Լուծումը

176. Սեղանի հիմքերը հավասար են 5սմ և 8սմ, իսկ սրունքերը՝ 3,6սմ և 3,9սմ: Սրունքների շարունակությունները հատվում են M կետում: Գտեք M կետի հեռավորությունները փոքր հիմքի ծայրակետերից: Լուծումը

178. ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: BO և OD հատվածները հարաբերում են` ինչպես 1:3: BC և AD հիմքերի գումարը 4,8սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը: Լուծումը

181. a և b ուղիղները հատվել են AA₁, BB₁, CC₁ զուգահեռ ուղիղներով, ընդ որում՝ A, B և C կետերը գտնվում են a ուղղի, իսկ A₁, B₁ և C₁ կետերը՝ b ուղղի վրա: Ապացուցեք, որ AB/BC=A₁B₁/B₁C₁: Լուծումը

184. Ապացուցեք, որ երկու հավասարակողմ եռանկյունները նման են: Լուծումը

187. Ապացուցեք, որ կամայական ուռուցիկ քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են: Լուծումը

194. Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերը հավասար են 2սմ և 5սմ: Առաջին եռանկյան մակերեսը հավասար է 8սմ²: Գտեք երկրորդ եռանկյան մակերեսը: Լուծումը

197. Եռանկյան կողմերը հավասար են 0,8մ, 1,6մ և 2մ: Գտեք այդ եռանկյանը նման եռանկյան կողմերը, եթե դրա պարագիծը 5,5մ է: Լուծումը

199. BD-ն և B₁D₁-ը ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների միջնագծերն են, ∠A=∠A₁, ∠BDA=∠B₁D₁A₁: Ապացուցեք, որ BDC և B₁D₁C₁ եռանկյունները նման են: Լուծումը

201. O կետը ABCD շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետն է, E և F կետերը BC և DC կողմերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ EF=BO և EF⊥AC: Լուծումը

203. ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է (∠D=∠C=90^o), BC=3սմ, CD=6սմ, BD⊥AB: Գտեք այդ սեղանի մակերեսը: Լուծումը

205. ABC եռանկյան մեջ տարված են AA₁ և BB₁ բարձրությունները (A₁-ը և B₁-ը բարձրությունների հիմքերն են): Ապացուցեք, որ A₁CB₁ եռանկյունը նման է ABC եռանկյանը: Լուծումը

208. Ապացուցեք, որ եթե երկու եռանկյուններից յուրաքանչյուրը նման է երրորդ եռանկյանը, ապա այդ երկու եռանկյունները նման են: Լուծումը

211. Ապացուցեք, որ. ա) h=ab/c, բ) a²/a_c=b²/b_c: Լուծումը

213. Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը ներքնաձիգը տրոհում է երկու հատվածի, որոնցից մեկը 11սմ-ով մեծ է մյուսից: Գտեք ներքնաձիգը, եթե եռանկյան էջերը հարաբերում են, ինչպես 6:5: Լուծումը

215. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հարաբերում են, ինչպես 3:7, իսկ ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հավասար է 42սմ: Գտեք ներքնաձիգի հատվածները: Լուծումը

216. Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան էջերի հարաբերությունը, եթե ուղիղ անկյան գագաթից տարված միջնագիծը և բարձրությունը հարաբերում են, ինչպես 13:12: Լուծումը

219. ABC եռանկյան AD կիսորդը BC կողմը տրոհում է CD և BD հատվածների, որոնք համապատասխանաբար հավասար են 4,5սմ և 13,5սմ: Գտեք AB-ն և AC-ն, եթե ABC եռանկյան պարագիծը 42սմ է: Լուծումը

223. Տրված են ABC եռանկյան կողմերը BC=a, AC=b և AB=c: BD-ն B անկյան կիսորդն է: O կետը BD-ի և Cանկյան կիսորդի հատման կետն է: Որոշեք DO:OB հարաբերությունը: Լուծումը

227. ABC եռանկյան AD միջնագծի M կետով և B գագաթով տարված է ուղիղ, որը AC կողմը հատում է K կետում: Գտեք AK/KC հարաբերությունը, եթե. ա) AD=2⋅AM, բ) AM/AD=1/3: Լուծումը

245. Տրամագծի որևէ կետից տարված է նրան ուղղահայաց` մինչև շրջանագծի հետ հատվելը: Գտեք այդ ուղղահայացի երկարությունը, եթե տրամագիծը հավասար է 40սմ, իսկ ուղղահայացի հիմքի հեռավորությունը տրամագծի մի ծայրից հավասար է 8սմ: Լուծումը

251. Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12մ և 18մ հատվածների, իսկ երկրորդը՝ 3:8 հարաբերությամբ: Որոշեք երկրորդ լարի երկարությունը: Լուծումը

254. Շոշափողը 20սմ է, իսկ նույն կետից տարված և շրջանագծի կենտրոնով անցնող հատողը՝ 50սմ: Գտեք շրջանագծի շառավիղը: Լուծումը

257. Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողն ու հատողը համապատասխանաբար հավասար են 20սմ և 40սմ, իսկ հատողի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից՝ 8սմ: Գտեք շրջանագծի շառավիղը: Լուծումը

259. Մի կետից նույն շրջանագծին տարված են երկու հատող, որոնց երկարություններն են 15սմ և 25սմ: Գտեք նրանց արտաքին մասերը, եթե հայտնի է, որ դրանցից մեկը 2սմ-ով մեծ է մյուսից: Լուծումը

262. Մի կետից շրջանագծին տարված են երկու հատող, որոնց արտաքին մասերը հավասար են: Ապացուցեք, որ շրջանագծի կենտրոնը հավասարահեռ է այդ հատողներից: Լուծումը

263. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, AB=6սմ, BC=9սմ, CA=10սմ: A₁B₁C₁ եռանկյան ամենամեծ կողմը 7,5սմ է: Գտեք A₁B₁C₁ եռանկյան երկու մյուս կողմերը: Լուծումը

264. ABC եռանկյան AB կողմին զուգահեռ ուղիղը AC կողմը տրոհում է 2:7 հարաբերությամբ՝ հաշված A գագաթից: Գտեք հատումից առաջացած եռանկյան կողմերը, եթե AB=10սմ, BC=18սմ, CA=21,6սմ: Լուծումը

265. Ապացուցեք, որ ABC եռանկյան AM միջնագիծը կիսում է BC կողմին զուգահեռ յուրաքանչյուր հատվածը, որի ծայրակետերը գտնվում են AB և AC կողմերի վրա: Լուծումը

266. Ապացուցեք, որ ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, եթե. ա) AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BM/B₁M₁, որտեղ BM-ը և B₁M₁-ը եռանկյունների միջնագծերն են, բ) ∠A=∠A₁, AC/A₁C₁= BH/B₁H₁, որտեղ BH-ը և B₁H₁-ը ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունների բարձրություններն են: Լուծումը

267. ABC եռանկյան AD միջնագծի վրա գտնվող M կետով և B գագաթով անցնող ուղիղը K կետում հատում է AC կողմը: Գտեք AK:KC հարաբերությունը, եթե` ա) M-ը AD հատվածի միջնակետն է, բ) AM/MD=1/2 : Լուծումը

268. Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթները հավասարահեռ են որևէ միջին գիծն ընդգրկող ուղղից: Լուծումը

269. Ապացուցեք, որ եթե եռանկյուններից մեկը նման է երկրորդին, իսկ այդ երկրորդ եռանկյունը նման է երրորդին, ապա առաջին և երրորդ եռանկյունները նման են: Լուծումը

270. Ապացուցեք, որ սեղանի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը զուգահեռ է նրա հիմքերին և հավասար է դրանց կիսատարբերությանը: Լուծումը

271. ABC եռանկյան AA₁ և BB₁ միջնագծերը հատվում են O կետում: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե ABO եռանկյան մակերեսը 96սմ² է: Լուծումը

272. ABC եռանկյան AC կողմի վրա վերցված է այնպիսի M կետ, որ ∠ABM=∠ACB: Հայտնի է, որ AC=9սմ, MC=8սմ: Գտեք AB կողմը: Լուծումը

273. Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածները փոխուղղահայաց են, ապա այդ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են: Լուծումը

274. ABCD սեղանի AC անկյունագիծը սեղանը տրոհում է երկու նման եռանկյունների: Ապացուցեք, որ AC²=a⋅b, որտեղ a-ն և b-ն սեղանի հիմքերն են: Լուծումը

275. MNP եռանկյան MD և NK կիսորդները հատվում են O կետում: Գտեք OK:ON հարաբերությունը, եթե MN=5սմ, NP=3սմ, MP=7սմ: Լուծումը

276. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը հարաբերում է սրունքին՝ ինչպես 4:3, իսկ հիմքին տարված բարձրությունը հավասար է 30սմ: Գտեք այն հատվածները, որոնց տրոհվում է այդ բարձրությունը հիմքին առընթեր անկյան կիսորդով: Լուծումը

277. ABC եռանկյան BC կողմի վրա վերցված է D կետն այնպես, որ BD/AB=DC/AC: Ապացուցեք, որ AD-ն ABC եռանկյան կիսորդ է: Լուծումը

278. A ուղիղ անկյունով ABCD սեղանի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: AB հիմքը հավասար է 6սմ, իսկ AD սրունքը՝ 4սմ: Գտեք DC-ն, DB-ն և CB-ն: Լուծումը

279*. Սեղանի սրունքների վրա ծայրակետեր ունեցող հատվածը զուգահեռ է հիմքերին և անցնում է անկյունագծերի հատման կետով: Գտեք այդ հատվածի երկարությունը, եթե սեղանի հիմքերը հավասար են a և b: Լուծումը

280. ABCD զուգահեռագծի CD կողմի միջնակետը M կետն է, իսկ BC կողմի միջնակետը՝ N կետը: Ապացուցեք, որ AM և AN ուղիղները BD անկյունագիծը բաժանում են երեք հավասար մասերի: Լուծումը

281. ABC (AB≠AC) եռանկյան BC կողմի միջնակետով տարված է A անկյան կիսորդին զուգահեռ ուղիղ, որը հատում է AB ուղիղը՝ D կետում, իսկ AC ուղիղը՝ E կետում: Ապացուցեք, որ BD=CE: Լուծումը

282. ABCD ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հատվում են M կետում: Ապացուցեք, որ քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ, եթե AM⋅CM=BM⋅DM: Լուծումը

283. Շրջանագծից դուրս գտնվող A կետից տարված են երկու հատող, որոնք շրջանագիծը հատում են B₁ և C₁, B₂ և C₂ կետերում (B₁-ը գտնվում է A-ի և C₁-ի միջև, իսկ B₂-ը՝ A-ի և C₂-ի միջև): Ապացուցեք, որ. ա) AB₁C₂ և AB₂C₁ եռանկյունները նման են, բ) AB₁⋅AC₁=AB₂⋅AC₂: Լուծումը

284. Շրջանագծին տարված են երկու զուգահեռ շոշափողներ, և մի երրորդ շոշափող, որ հատում է զուգահեռ շոշափողները: Ապացուցեք, որ այդ շրջանագծի շառավիղը համեմատական միջին է երրորդ շոշափողի հատվածներին: Լուծումը

285. Եթե երկու շրջանագծեր ունեն արտաքին շոշափում, ապա նրանց ընդհանուր շոշափողի հատվածը համեմատական միջին է նրանց տրամագծերին: Ապացուցեք այդ: Լուծումը

286. ABCD սեղանի BD փոքր անկյունագիծը ուղղահայաց է AD և BC հիմքերին: A և C սուր անկյունների գումարը 90^o է: AD հիմքը հավասար է a-ի, BC-ն՝ b-ի: Որոշեք AB և CD կողմերը: Լուծումը

287. Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողն ու հատողը փոխուղղահայաց են: Շոշափողը հավասար է 12մ, իսկ հատողի ներքին մասը՝ 10մ: Գտեք շրջանագծի շառավիղը: Լուծումը

288. Մի կետից շրջանագծին տարված են երկու շոշափող: Որոշեք շոշափման կետերի հեռավորությունը միմյանցից, եթե շրջանագծի շառավիղը 7սմ է, իսկ տվյալ կետի և կենտրոնի հեռավորությունը՝ 25սմ: Լուծումը

289. Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հավասար են 3սմ և 4սմ: Ներքնաձիգի և փոքր էջի միջնակետերով անցնող շրջանագիծը շոշափում է մեծ էջը: Որոշեք շրջանագծի այն լարի երկարությունը, որն ընկած է ներքնաձիգն ընդգրկող ուղղի վրա: Լուծումը

290. ա) Շրջանագծի ներսում վերցված M կետով տարված են երեք լար: Հայտնի է, որ M կետը այդ լարերից երկուսի միջնակետն է: M կետում ի՞նչ հարաբերությամբ է տրոհվում երրորդ լարը: Լուծումը

291. Տրված է a երկարությամբ հատված: Կառուցեք հատված, որի երկարությունը լինի. ա) 2a , բ) 3a , գ) 6a: Լուծումը

292. Տրված է ABC եռանկյունը: Կառուցեք մի A₁B₁C₁ եռանկյուն, որը նման է ABC եռանկյանը, և մակերեսը կրկնակի անգամ մեծ է ABC եռանկյան մակերեսից: Լուծումը

293. Տրված է a և b երկարությամբ երկու հատված: Կառուցեք ab երկարությամբ հատված: Լուծումը

294. Տրված է երեք հատված, որոնց երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են a, b և c: Կառուցեք մի հատված, որի երկարությունը հավասար է ab/c: Լուծումը

295. Կառուցեք եռանկյունը, եթե տրված են. ա) նրա կողմերի միջնակետերը, բ) երկու կողմերի միջնակետերը և երրորդ կողմին տարված բարձրության հիմքը, գ) մի գագաթից տարված բարձրության հիմքը և մյուս գագաթից տարված միջնագծի ու բարձրության հիմքերը: Լուծումը

296. Կառուցեք եռանկյուն՝ տրված կողմով և մյուս երկու կողմերին տարված միջնագծերով: Լուծումը

297. Կառուցեք երկու հատված, որոնք հարաբերեն ինչպես տրված երկու հատվածների քառակուսիները: Լուծումը

316. Տրված են ABCD ուղղանկյան կից կողմերը` AB=1սմ և AD√3=սմ: Տարված են ուղղանկյան անկյունագծերը, որոնք հատվում են O կետում: Գտեք վեկտորների սկալյար արտադրյալները. ա) OA և OB, բ) ՕA և OD, գ) AB և AC, դ) AD և AC: Լուծումը

319. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե. ա) ∠A=α, իսկ B և C գագաթներից տարված բարձրությունները համապատասխանաբար հավասար են h_b և h_c, բ) ∠A=α, ∠B=β, իսկ B գագաթից տարված բարձրությունը հավասար է h: Լուծումը

322. ABC եռանկյան մեջ AB=3սմ, BC=4սմ: BD-ն եռանկյան կիսորդ է, և ∠ABD=α: Գտեք ABD եռանկյան մակերեսը: Լուծումը

324. ABC եռանկյան մեջ AA₁-ը և CC₁-ը միջնագծեր են, որոնք հատվում են O կետում: AA₁=9սմ, CC₁=12սմ և ∠AOC=120^o: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը: Լուծումը

328. Գտեք եռանկյան կիսորդները, եթե նրա կողմերից մեկը հավասար է a, իսկ այդ կողմին առընթեր անկյունները հավասար են α և β: Լուծումը

332. ABC հավասարասրուն եռանկյան B գագաթի անկյունը 120^o է, AC=2√21սմ: Գտեք AM միջնագիծը: Լուծումը

334. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ (∠C=90^o) CD-ն կիսորդ է, ∠A=15^o, AC=3 : Գտեք AD-ն: Լուծումը

337. Սարի գագաթին կա մի աշտարակ, որի բարձրությունը 100 մ է (նկ. 89): Ստորոտում գտնվող ինչ-որ A առարկա դիտում են նախ աշտարակի B գագաթից, որտեղից այն երևում է հորիզոնի նկատմամբ 60^o անկյան տակ, այնուհետև, աշտարակի C հիմքից, որտեղից այն երևում է 30^o անկյան տակ: Գտեք սարի H բարձրությունը: Լուծումը

9 89

338. ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ AB=AC=b, ∠A=30^o: Գտեք BE և AD բարձրությունները, ինչպես նաև AE, EC, BC հատվածները: Լուծումը

339. Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե. ա) BC=4,125մ, ∠B=44^o, ∠C=72^o: Լուծումը

340. Օգտագործելով սինուսների թեորեմը՝ լուծեք ABC եռանկյունը, եթե. ա) AB=8սմ, ∠A=30^o, ∠B=45^o, դ) AC=10,4սմ, BC=5,2սմ, ∠B=62^o48′: Լուծումը

341. Օգտագործելով կոսինուսների թեորեմը՝ լուծեք ABC եռանկյունը, եթե. բ) AB=2√2 դմ, BC=3 դմ, ∠B=45^o: Լուծումը

342. ABC եռանկյան AB կողմը 15սմ է, իսկ AC կողմը՝ 10սմ: Կարո՞ղ է, արդյոք, լինել sinB=3/4 : Լուծումը

343. Եռանկյան երկու կողմերը հավասար են 5սմ և 6սմ: Կարո՞ղ է, արդյոք, 5սմ կողմի հանդիպակաց անկյունը լինել բութ: Լուծումը

344. ABC եռանկյանը ներգծած է շրջանագիծ, որի շառավիղը 2√3 է, ∠A=80^o, ∠C=40^o: Գտեք AC-ն: Լուծումը

345. ABCD զուգահեռագծի մեջ AD=2, ∠BAD=60^o, BE⊥AD, BE=2√3 : Գտեք զուգահեռագծի մեծ անկյունագծի երկարությունը: Լուծումը

346. ABC եռանկյան AB կողմը 4սմ է, իսկ BC-ն՝ 5սմ: Եռանկյան մակերեսը 5√3սմ² է: Գտեք B գագաթից իջեցրած բարձրությունը, եթե cosB<0: Լուծումը

347. DEF եռանկյան մեջ DE=4,5դմ, EF=9,9դմ, DF=70սմ: Գտեք եռանկյան անկյունները: Լուծումը

348. Գտեք ABC եռանկյան AD կիսորդը, եթե ∠A=α, AB=c, AC=b: Լուծումը

349. Ապացուցեք, որ A(3;0), B(1;5), C(2;1) գագաթներով եռանկյունը բութանկյուն եռանկյուն է: Լուծումը

353. Զուգահեռագծի մակերեսը 100սմ² է, պարագիծը՝ 60սմ, իսկ սուր անկյունը՝ 30^o: Գտեք նրա փոքր կողմի երկարությունը: Լուծումը

356. Հավասարասրուն սեղանի անկյունագիծը 18սմ է և մեծ հիմքի հետ կազմում է 15^o անկյուն: Գտեք սեղանի մակերեսը: Լուծումը

358. Եռանկյան կողմերն են՝ 26սմ, 28սմ և 3դմ: Գտեք եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը: Լուծումը

360. Ապացուցեք, որ տրված անկյունագծով ուղղանկյուններից մեծագույն մակերեսն ունի քառակուսին: Լուծումը

361. Ապացուցեք, որ տրված անկյունագծերով զուգահեռագծերից մեծագույն մակերեսն ունի շեղանկյունը: Լուծումը

362. Ապացուցեք, որ տրված կողմերն ունեցող զուգահեռագծերից մեծագույն մակերեսն ունի ուղղանկյունը: Լուծումը

364. Սեղանը անկյունագծերով տրոհվում է չորս եռանկյան: Ապացուցեք, որ դրանցից երկուսը, որոնք պարունակում են սեղանի ոչ զուգահեռ կողմերը, հավասարամեծ են: Լուծումը

365. Ապացուցեք, որ կանոնավոր եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը երկու անգամ մեծ է ներգծած շրջանագծի շառավիղից: Լուծումը

366. Շրջանագծին ներգծած կանոնավոր եռանկյան կողմը հավասար է a-ի: Գտեք այդ շրջանագծին ներգծած քառակուսու կողմը: Լուծումը

374. Կանոնավոր եռանկյան, քառակուսու և կանոնավոր վեցանկյան կողմերը հավասար են իրար: Գտեք այդ բազմանկյունների մակերեսների հարաբերությունները: Լուծումը

376. A₁A₂…A₈ կանոնավոր ութանկյունը ներգծված է R շառավիղով շրջանագծին: Ապացուցեք, որ A₃A₄A₇A₈ քառանկյունը ուղղանկյուն է, և նրա մակերեսը արտահայտեք R-ով: Լուծումը

388. Որոշեք շրջանագծի շառավիղը, եթե շրջանագիծն իր տրամագծից 107սմ-ով երկար է: Լուծումը

394. 4սմ շառավիղ ունեցող շրջանային աղեղը, որի աստիճանային չափը 120^o է, հավասար է մեկ այլ շրջանագծի երկարությանը: Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը: Լուծումը

397. 120^o աստիճանային չափ ունեցող AB աղեղի ծայրերից շրջանագծին տարված են շոշափողներ, որոնք հատվում են C կետում: Ստացված ACB անկյանը ներգծած է այնպիսի շրջանագիծ, որն այդ աղեղի հետ ունի արտաքին շոշափում: Ապացուցեք, որ այդ շրջանագծի երկարությունը հավասար է տրված AB աղեղի երկարությանը: Լուծումը

407. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի՝ որպես տրամագծերի, վրա կառուցված են երեք կիսաշրջան: Ապացուցեք, որ ներքնաձիգի վրա կառուցված կիսաշրջանի մակերեսը հավասար է էջերի վրա կառուցված կիսաշրջանների մակերեսների գումարին: Լուծումը

412. Գտեք R շառավիղով շրջանի այն մասի մակերեսը, որը գտնվում է նրան ներգծած. ա) քառակուսուց դուրս, բ) կանոնավոր եռանկյունից դուրս, գ) կանոնավոր վեցանկյունից դուրս: Լուծումը

455. Զուգահեռագծի սուր անկյունը 60^o է: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե նրա կողմերի տարբերությունը 16սմ է, իսկ փոքր անկյունագիծը հավասար է 19սմ: Լուծումը

456. Շրջանագծին ներգծած է քառանկյուն, որի երկու կից կողմերը միմյանց հետ կազմում են 60^o անկյուն և ունեն 7սմ, 15սմ երկարություն: Գտեք քառանկյան մյուս երկու կողմերը, եթե նրանց տարբերությունը 1սմ է: Լուծումը

457. Զուգահեռագծի սուր անկյունը 60^o է, իսկ անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը կողմերից՝ 3սմ և 4սմ: Հաշվեք զուգահեռագծի մակերեսը: Լուծումը

458. ABC եռանկյան մեջ AB=10սմ, ∠B=74^o, ∠A=26^o: Ապացուցեք, որ AC<10սմ: Լուծումը

459. ABCD ուռուցիկ քառանկյան մեջ հայտնի է, որ ∠ABD=∠ACD=45^o, ∠BAC=30^o, BC=a: Գտեք AD-ն: Լուծումը

460. ABCD քառանկյան մեջ AB=CD=a, ∠BAD=∠BCD=α<90^o, BC≠AD: Գտեք քառանկյան պարագիծը: Լուծումը

463. Գտեք կանոնավոր եռանկյան և քառակուսու մակերեսների հարաբերությունը, որոնք միևնույն շրջանագծին. ա) ներգծած են, բ) արտագծած են: Լուծումը

464. Կանոնավոր տասներկուանկյան A₁A₆ և A₂A₉ անկյունագծերը հատվում են B կետում (նկ. 116): Ապացուցեք, որ ա) A₁A₂B և A₆A₉B եռանկյունները հավասարակողմ են, բ) A₁A₆=2r, որտեղ r-ը կանոնավոր տասներկուանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է: Լուծումը

9 116

465. R շառավիղով շրջանագծին ներգծած A₁A₂…A₁₀ կանոնավոր տասնանկյան A₁A₄ և A₂A₇ անկյունագծերը հատվում են B կետում (նկ. 117): Ապացուցեք, որ. ա) A₂A₇=2R, բ) A₁A₂B-ն և BA₄O-ն նման և հավասարասրուն եռանկյուններ են, գ) A₁A₄-A₁A₂=R: Լուծումը

9 117

466. Կանոնավոր վեցանկյունը ներգծված է այն շրջանագծին, որով սահմանափակված շրջանի մակերեսը 36πսմ² է: ա) Գտեք այդ վեցանկյան կողմը և մակերեսը: բ) Գտեք շրջանի այն մասի մակերեսը, որն ընկած է վեցանկյունից դուրս: Լուծումը

467. A₁A₂A₃A₄ քառակուսին ներգծված է R շառավիղով շրջանագծին (նկ. 118): Նրա կողմերի վրա նշված են ութ այնպիսի կետեր, որ A₁B₁=A₂B₂=A₃B₃=A₄B₄=A₁C₁=A₂C₂=A₃C₃=A₄C₄=R: Ապացուցեք, որ B₁C₃B₂C₄B₃C₁B₄C₂ ութանկյունը կանոնավոր է, և այդ ութանկյան մակերեսն արտահայտեք R շառավիղով: Լուծումը

9 118

468. Տիեզերանավը Երկրի շուրջը շրջանային ուղեծրով կատարել է երկու պտույտ՝ այդ ընթացքում անցնելով 84152 կմ ճանապարհ: Երկրի մակերևույթից ի՞նչ բարձրության վրա է գտնվել տիեզերանավը, եթե Երկրի շառավիղը 6370 կմ է: Լուծումը

469. Գտեք շեղանկյանը ներգծած շրջանագծի երկարությունը, եթե. ա) շեղանկյան անկյունագծերն են 6սմ և 8սմ, բ) շեղանկյան կողմը a է, իսկ սուր անկյունը՝ α: Լուծումը

470. Անտառային տեղամասն ունի շրջանի ձև: Շարժվելով 4կմ/ժ արագությամբ, անտառեզրով մեկ լրիվ պտույտ կատարելիս ծախսվում է 45 րոպեով ավելի շատ ժամանակ, քան անտառի ուղիղ մեջտեղով տրամագծի մի ծայրից մյուսն անցնելիս: Գտեք այդ տեղամասի անտառեզրի երկարությունը: Լուծումը

471. Կանոնավոր բազմանկյանը ներգծած է շրջանագիծ: Ապացուցեք, որ այդ շրջանագծով սահմանափակված շրջանի և այդ բազմանկյան մակերեսների հարաբերությունը հավասար է շրջանագծի երկարության և բազմանկյան պարագծի հարաբերությանը: Լուծումը

472. Գտեք երկու այն շրջանների ընդհանուր մասի մակերեսը, որոնց շառավիղներն են 1 և 3 , իսկ կենտրոնների հեռավորությունը՝ 2: Լուծումը

473*. AB-ն և CD-ն նույն շրջանագծի փոխուղղահայաց տրամագծեր են: D կետը վերցնելով որպես կենտրոն՝ գծված է DA շառավիղով AMB աղեղը (M-ը շրջանի ներքին կետ է): Ապացուցեք, որ լուսնյակի ձև ունեցող AMBC պատկերի մակերեսը հավասար է ABD եռանկյան մակերեսին: Լուծումը

474*. Տրված են երկու շրջան: Կառուցեք մի շրջան, որի մակերեսը հավասար է տրված երկու շրջանների մակերեսների գումարին: Լուծումը

504. Լուծումը

506. Լուծումը

507. Լուծումը

509. Լուծումը

511. Լուծումը

514. Լուծումը

517. Լուծումը

520. Լուծումը

524. Լուծումը

526. Լուծումը

536. Լուծումը