ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ 8 (Աթանասյան և ուրիշներ)
2. Գտեք անկյունների գումարը. ա) ուռուցիկ հնգանկյան, բ)ուռուցիկ վեցանկյան, գ) ուռուցիկ տասնանկյան: Լուծումը
3. Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք իրար հավասար են: Լուծումը
5. Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, եթե նրա անկյունների գումարը 540o է: Լուծումը
6. Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյունը դրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 40o-ով: Լուծումը
7. Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանցից մեկը մյուսներից մեծ է համապատասխանաբար 10o-ով, 20o-ով և 30o-ով: Լուծումը
9. Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6, թվերին: Լուծումը
10. Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, որի յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է. ա) 90o, բ) 60o, գ) 120o, դ) 108o: Լուծումը
11. Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 8սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 3մմ-ով, 4մմ-ով և 5մմ-ով: Լուծումը
13. Գտեք ABCD ուռուցիկ քառանկյան A, B և C անկյունները, եթե ∠A=∠B =∠C և ∠D=135o: Լուծումը
14. ABCDE ուռուցիկ հնգանկյան B գագաթով տարված անկյունագծերը հավասար են: Հայտնի է, որ ∠ABE=∠CBD և ∠BEA=∠BDC: Ապացուցեք, որ ABDE և BEDC քառանկյունների պարագծերը հաասար են: Լուծումը
15. Ապացուցեք, որ ABCD ուռուցիկ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե. ա) ∠BAC=∠ACD և ∠BCA=∠DAC, բ) AB||CD, ∠A=∠C: Լուծումը
16. Զուգահեռագծի պարագիծը 48սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե. ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3սմ-ով, բ) երկու կողմի տաnբերությունը 7սմ է, գ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից: Լուծումը
17. ABCD զուգահեռագծի պարագիծը 50սմ է, ∠C=30o, իսկ CD ուղղին տարված BH ուղղահայացը 6,5սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը: Լուծումը
18. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 40o է: Գտեք մնացած անկյունները: Լուծումը
19. ABCD քառանկյան մեջ AB||CD, BC||AD, O-ն անկյունագծերի հատման կետն է: AOD եռանկյան պարագիծը 25սմ է, AC=16սմ, BD=14սմ: Գտեք BC կողմը: Լուծումը
20. ABCD քառանկյանմեջ AB=CD և AB||CD, ∠CBD=15o: Գտեք ∠BDA-ն: Լուծումը
21. ABCD ուռուցիկ քառանկյանմեջ AB=CD, ∠B=70o, ∠BCA=60o, ∠ACD=50o: Ապացուցեք, որ BC=AD: Լուծումը
22. Զուգահեռագծի անկյունագիծը երկու կից կողմերի հետ կազմում է համապատասխանաբար 25o-ի և 35o-ի անկյուններ: Գտեք զուգահեռագծի անկյունները: Լուծումը
23. Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100o է: Լուծումը
24 ABCD զուգահեռագծի A անկյան կիսորդը K կետում հատում է BC կողմը: Գտեք այդ զուգահեռագծի պարագիծը, եթե BK=15սմ, KC=9սմ: Լուծումը
26. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե. ա) ∠A=84o, բ) ∠A-∠B=55o, գ)∠A+∠C=142o, դ) ∠A=2∠B, ե) ∠CAD=16o, ∠ACD=37o: Լուծումը
27. MNPQ զուգահեռագծիմեջ տարված է MQ ուղղին ուղղահայացª NH-ը, ընդ որում՝ H կետը գտնվում է MQ կողմի վրա: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը և անկյունները, եթե հայտնի է, որ MH=3սմ, HQ=5սմ, ∠MNH=30o: Լուծումը
29. ABCD զուգահեռագծիմեջ AB≠BC և ∠A-ն սուր է: Այդ զուգահեռագծի B և D գագաթներից տարված են AC ուղղին ուղղահայացներª BK-ն և DM-ը: Ապացուցեք, որ BMDK քառանկյունը զուգահեռագիծ է: Լուծումը
30. ABCD քառանկյան AB, BC, CD և DA կողմերի վրա նշված են համապատասխանաբար M, N, P և Q կետերն այնպես, որ AM=CP , BN=DQ, BM=DP, NC=QA: Ապացուցեք, որ ABCD-ն և MNPQ-ն զուգահեռագիծ են: Լուծումը
31. ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ A1B1C1D1 քառանկյունը, որի գագաթները OA, OB, OC և OD հատվածների միջնակետերն են, զուգահեռագիծ է: Լուծումը
32. ABCD զուգահեռագծի BD անկյունագծի վրա P և Q կետերը նշված են այնպես, որ PB=QD: Ապացուցեք, որ APCQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է: Լուծումը
33. Եռանկյան կողմերը հավասար են 6սմ, 8սմ, 10սմ: Գտեք այն եռանկյան պարագիծը, որի կողմերը տրված եռանկյան միջին գծերն են: Լուծումը
34. Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթները հավասարահեռ են նրա որևէ միջին գիծն ընդգրկող ուղղից: Լուծումը
35. Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են: Լուծումը
36. Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը հավասար են 12մ և 16մ: Գտեք այն քառանկյան կողմերը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են: Լուծումը
37. Քառանկյան անկյունագծերը հավասար են m-ի և n-ի: Գտեք այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են: Լուծումը
38. Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե ∠A=36o, ∠C=117o: Լուծումը
39. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի յուրաքանչյուր հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են: Լուծումը
40. Հավասարասրուն սեղանիմեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60o: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը: Լուծումը
41. Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40o է: Լուծումը
42. Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 3, իսկ միջին գիծը 10սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը: Լուծումը
43. M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղիմի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 22սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից: Լուծումը
44. Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացն այդ հիմքը տրոհում է 6սմ և 30սմ երկարությամբ հատվածների: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և միջին գիծը: Լուծումը
45. Սեղանի սրունքներից մեկը բաժանված է երեք հավասար հատվածների: Այդ բաժանման կետերից տարված ենմյուս սրունքին միացնող հատվածներ, որոնք զուգահեռ են սեղանի հիմքերին: Գտեք այդ հատվածների երկարությունները, եթե սեղանի հիմքերը հավասար են 2սմ և 5սմ: Լուծումը
46. Տրված ուղղի տարբեր կողմերում տրված են M և N կետերը, որոնց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 6սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը տրված ուղղից: Լուծումը
47. Ապացուցեք, որ սեղանը հավասարասրուն է, եթե. ա) հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են, բ) անկյունագծերը հավասար են: Լուծումը
49. Ուղղանկյուն սեղանի մեջ սուր անկյունը 45o է: Փոքր սրունքը և փոքր հիմքը 10-ական սմ են: Գտեք սեղանի մեծ հիմքը: Լուծումը
51. Ապացուցեք, որ այն զուգահեռագիծը, որի անկյուններից մեկը ուղիղ է, ուղղանկյուն է: Լուծումը
52. Ապացուցեք, որ եթե քառանկյան բոլոր անկյունները ուղիղ են, ապա քառանկյունը ուղղանկյուն է: Լուծումը
53. Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծի բոլոր անկյունները հավասար են, ապա այն ուղղանկյուն է: Լուծումը
56. ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ AOD և AOB եռանկյունները հավասարասրուն են: Լուծումը
58. Ապացուցեք, որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնա-ձիգին տարված միջնագիծը հավասար է ներքնաձիգի կեսին: Լուծումը
66. Ապացուցեք, որ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է, եթե` ա) նրա անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, բ) զուգահեռագծի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդ են: Լուծումը
76. Ապացուցեք, որ ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերով անցնող ուղիղը նրա համաչափության առանցքն է: Լուծումը
77. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդն ընդգրկող ուղիղը նրա համաչափության առանցքն է: Լուծումը
104. Ապացուցեք, որ եթե ուռուցիկ քառանկյան ոչ բոլոր անկյուններն են իրար հավասար, ապա դրանցից գոնե մեկը բութ է: Լուծումը
105. ABCD զուգահեռագծի պարագիծը 46սմ է, իսկ AB=14սմ: Զուգահեռագծի ո՞ր կողմն է հատում A անկյան կիսորդը: Գտեք այն հատվածները, որոնք առաջանում են այդ հատման դեպքում: Լուծումը
106. Զուգահեռագծի կողմերը հավասար են 10սմ և 3սմ: Մեծ կողմին առընթեր անկյունների կիսորդները հանդիպակաց կողմը տրոհում են երեք հատվածի: Գտեք այդ հատվածները: Լուծումը
107. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքի կամայական կետով տարված են եռանկյան սրունքներին զուգահեռ ուղիղներ: Ապացուցեք, որ ստացված քառանկյան պարագիծը հավասար է տրված եռանկյան սրունքների գումարին: Լուծումը
108. Անհավասար կից կողմեր ունեցող զուգահեռագծի մեջ տարված են անկյունների կիսորդները: Ապացուցեք, որ նրանց հատումից առաջանում է ուղղանկյուն: Լուծումը
109. Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե նրա երկու կից կողմերից յուրաքանչյուրին առընթեր անկյունների գումարը 180o է: Լուծումը
110. Ապացուցեք, որ ուռուցիկ քառանկյունը զուգահեագիծ է, եթե նրա հանդիպակաց անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են: Լուծումը
111. K կետը ABC եռանկյան AM միջնագծի միջնակետն է: BK ուղիղը D կետում հատում է AC կողմը: Ապացուցեք, որ AD=AC/3: Լուծումը
112. M և N կետերը ABCD զուգահեռագծի AD և BC կողմերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ AN և MC ուղիղները BD անկյունագիծը բաժանում են երեք հավասար մասի: Լուծումը
113. ABCD շեղանկյան B գագաթից տարված են AD և DC ուղիղներին ուղղահայացներ՝ BK-ն և BM-ը: Ապացուցեք, որ BD ճառագայթը KBM անկյան կիսորդն է: Լուծումը
114. Ապացուցեք, որ շեղանկյան անկյունագծերի հատման կետը հավասարահեռ է նրա կողմերից: Լուծումը
115. Ապացուցեք, որ եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի կամայական կետին միացնող հատվածի միջնակետը գտնվում է այն հատվածի վրա, որի ծայրակետերը մյուս երկու կողմերի միջնակետերն են: Լուծումը
116. ABCD քառակուսու AC անկյունագիծը 18,4սմ է: A կետով անցնող և AC ուղղին ուղղահայաց ուղիղը հատում է BC և CD ուղիղները համապատասխանաբար M և N կետերում: Գտեք MN-ը: Լուծումը
117. ABCD քառակուսու AC անկյունագծի վրա M կետը վերցված է այնպես, որ AM=AB: M կետով տարված է AC ուղղին ուղղահայաց ուղիղ, որը BC-ն հատում է H կետում: Ապացուցեք, որ BH=HM=MC: Լուծումը
118. AD մեծ հիմքով ABCD սեղանի AC անկյունագիծը ուղղահայաց է CD սրունքին: ∠BAC=∠CAD: Գտեք AD-ն, եթե սեղանի պարագիծը 20սմ է, իսկ ∠D=60o: Լուծումը
119. Սեղանի հիմքերից մեկին առընթեր անկյունների գումարը 90o է: Ապացուցեք, որ սեղանի հիմքերի տարբերությունը կրկնակի մեծ է դրանց միջնակետերը միացնող հատվածից: Լուծումը
120. Ապացուցեք, որ զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը նրա համաչափության կենտրոնն է: Լուծումը
121. Համաչափության քանի՞ կենտրոն ունի զուգահեռ ուղիղների զույգը: Լուծումը
122*. Ապացուցեք, որ եթե պատկերն ունի համաչափության երկու փոխուղղահայաց առանցքներ, ապա դրանց հատման կետը այդ պատկերի համաչափության կենտրոնն է: Լուծումը
126. Ապացուցեք, որ հատվածի ծայրակետերով անցնող շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է այդ հատվածի համաչափության առանցքի վրա: Լուծումը
127. Ապացուցեք, որ շրջանագծի կենտրոնից ելնող ճառագայթը շրջանագիծը հատում է մեկ կետում: Լուծումը
130. Տրված է մի շրջանագծի վրա գտնվող երեք կետ: Ապացուցեք, որ այդ կետերը չեն գտնվում մի ուղղի վրա: Լուծումը
133. AB հատվածի A ծայրակետը գտնվում է O կենտրոնով շրջանագծի վրա: Հայտնի է, որ OAB անկյունը փոքր է OBA անկյունից: Ապացուցեք, որ B կետը չի գտնվում այդ շրջանագծի վրա: Լուծումը
136. A, B և C կետերով անցնող շրջանագծի կենտրոնը AB հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ ACB անկյունը ուղիղ է: Լուծումը
138. Ապացուցեք, որ մի ուղղի վրա գտնվող երեք կամ ավելի կետերով շրջանագիծ չի անցնում: Լուծումը
140. A կետի և շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավիղից: Ապացուցեք, որ A կետով անցնող յուրաքանչյուր ուղիղ այդ շրջանագծի հատող է: Լուծումը
144. O կենտրոնով շրջանագծի OM շառավիղն անցնում է AB լարի միջնակետով: Ապացուցեք, որ շրջանագծի M կետով տարված շոշափողը զուգահեռ է AB լարին: Լուծումը
147. AB տրամագծի և AC լարի կազմած անկյունը 30օ է: C կետով տարված է շրջանագծի շոշափող, որը AB ուղիղը հատում է D կետում: Ապացուցեք, որ ACD եռանկյունը հավասարասրուն է: Լուծումը
151. MA և MB ուղիղները A և B կետերում շոշափում են O կենտրոնով շրջանագիծը: C կետը O կետի համաչափն է B կետի նկատմամբ: Ապացուցեք, որ ∠AMC=3∠BMC: Լուծումը
152. Տրված շրջանագծի AB տրամագծի ծայրակետերից տարված են AA1 և BB1 ուղղահայացներ շրջանագծի այն շոշափողին, որն ուղղահայաց չէ այդ AB տրամագծին: Ապացուցեք, որ շոշափման կետը A1B1 հատվածի միջնակետն է: Լուծումը
154. ABC եռանկյան B անկյունն ուղիղ է: Ապացուցեք, որ. ա) BC ուղիղը A կենտրոնով և AB շառավիղով շրջանագծի շոշափող է, բ) AB ուղիղը C կենտրոնով և CB շառավիղով շրջանագծի շոշափող է, գ) AC ուղիղը B կենտրոնով և BA, BC շառավիղներով շրջանագծերի շոշափող չէ: Լուծումը
164. Շրջանագիծը A և B կետերով տրոհվում է երկու աղեղի, որոնց աստիճանային չափերը հարաբերում են, ինչպես 6:4: Գտեք այդ աղեղների աստիճանային չափերը: Լուծումը
167. A, B և C կետերը գտնվում են O կենտրոնով շրջանագծի վրա: Գտեք ABC անկյունը, եթե ∠AOC=164օ, իսկ B և O կետերը գտնվում են AC ուղղի տարբեր կողմերում: Լուծումը
172. Շրջանագծի AB և CD լարերը հատվում են E կետում: Գտեք BEC անկյունը, եթե ∪AD=54օ, ∪BC=70օ: Լուծումը
175. Ապացուցեք, որ շրջանագծի՝ զուգահեռ լարերի միջև առնված աղեղների աստիճանային չափերը հավասար են: Լուծումը
177. Գտեք շրջանից դուրս վերցված կետից այդ շրջանագծին տարված երկու հատողներով կազմված սուր անկյունը, եթե շրջանագծի՝ հատողների միջև առնված աղեղները հավասար են 140օ և 52օ: Լուծումը
178. AC հատվածը շրջանագծի տրամագիծ է, AB-ն՝ լար, MA-ն՝ շոշափող, և MAB անկյունը սուր է: Ապացուցեք, որ ∠MAB=∠ACB: Լուծումը
179. AM ուղիղը շրջանագծի շոշափող է, իսկ AB-ն՝ այդ շրջանագծի լար: Ապացուցեք, որ MAB անկյունը չափվում է MAB անկյան ներսում առնված AB աղեղի կեսով: Լուծումը
180. ABC եռանկյան գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա: Ապացուցեք, որ եթե AB–ն շրջանագծի տրամագիծ է, ապա ∠C >∠A և ∠C>∠B: Լուծումը
183. Չփռված O անկյան կիսորդի M կետից տարված են այդ անկյան կողմերին ուղղահայացներª MA-ն և MB-ն: Ապացուցեք, որ AB⊥OM: Լուծումը
184. O անկյան կողմերը շոշափում են երկու այն շրջանագծերից յուրաքանչյուրին, որոնք A կետում ունեն ընդհանուր շոշափող: Ապացուցեք, որ այդ շրջանագծերի կենտրոնները գտնվում են OA ուղղի վրա: Լուծումը
186. ABC եռանկյան B և C գագաթներին հարակից արտաքին անկյունների կիսորդները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ O կետը կենտրոն է մի շրջանագծի, որին շոշափում են AB, BC և AC ուղիղները: Լուծումը
189. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի միջնուղղահայացները հատում են BC կողմը D կետում: Ապացուցեք, որ` ա) D-ն BC կողմի միջնակետն է, բ) ∠A=∠B+∠C: Լուծումը
191. ABC և ABD հավասարասրուն եռանկյուններն ունեն ընդհանուր հիմք՝ AB-ն: Ապացուցեք, որ CD ուղիղն անցնում է AB հատվածի միջնակետով: Լուծումը
192. Ապացուցեք, որ եթե ABC եռանկյան AB և AC կողմերը հավասար չեն, ապա եռանկյան AM միջնագիծը բարձրություն չէ: Լուծումը
193. ABC հավասարասրուն եռանկյան AB հիմքին առընթեր անկյունների կիսորդները հատվում են M կետում: Ապացուցեք, որ CM և AB ուղիղները փոխուղղահայաց են: Լուծումը
194. ABC հավասարասրուն եռանկյան սրունքներին տարված AA1 և BB1 բարձրությունները հատվում են M կետում: Ապացուցեք, որ MC ուղիղը AB հատվածի միջնուղղահայացն է: Լուծումը
199. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերի կենտրոնները համընկնում են: Լուծումը
200. Հավասարակողմ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը r է: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը 2r է: Լուծումը
206. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտեք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը: Լուծումը
209. Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 2սմ և 8սմ: Գտեք սեղանի պարագիծը: Լուծումը
211. Գտեք շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի կողմերը, եթե նրա պարագիծը 40սմ է, իսկ հիմքերից մեկը 4 անգամ փոքր է մյուսից: Լուծումը
214. Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծին կարելի է ներգծել շրջանագիծ, ապա այդ զուգահեռագիծը շեղանկյուն է: Լուծումը
215. Ապացուցեք, որ ցանկացած շեղանկյանը կարելի է ներգծել շրջանագիծ: Լուծումը
219. Ուղղանկյուն եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ: Ապացուցեք, որ նրա կենտրոնը ներքնաձիգի միջնակետն է: Լուծումը
221. Ապացուցեք, որ կարելի է շրջանագիծ արտագծել` ա) ցանկացած ուղղանկյանը, բ) ցանկացած հավասարասրուն սեղանին: Լուծումը
222. Ապացուցեք, որ եթե սեղանին կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ապա սեղանը հավասարասրուն է: Լուծումը
238. Ապացուցեք, որ յուրաքանչյուր կանոնավոր քառանկյուն քառակուսի է: Լուծումը
241. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է. ա) 60օ, բ) 90օ, գ) 135օ, դ) 150օ: Լուծումը
244. Կանոնավոր բազմանկյանն արտագծած է շրջանագիծ, որի շառավիղը հավասար է R–ի: Բազմանկյան կենտրոնը նրա կողմերից հեռացված է R/2-ի չափով: Ինչի՞ է հավասար այդ բազմանկյան կողմերի թիվը: Լուծումը
265. Ապացուցեք, որ շրջանագծի՝ տրամագիծ չհանդիսացող լարի ծայրակետերով տարված շոշափողները հատվում են: Լուծումը
266. AB և AC ուղիղները B և C կետերում շոշափում են O կենտրոնով շրջանագիծը: BC աղեղի կամայական X կետով տարված է այդ շրջանագծին շոշափող, որը M և N կետերում հատում է AB և AC հատվածները: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյան պարագիծը և MON անկյան մեծությունը կախված չեն BC աղեղի վրա X կետի ընտրությունից: Լուծումը
267*. Երկու շրջանագծեր ունեն ընդհանուր կետ` M-ը, և այդ կետում ընդհանուր շոշափող: AB ուղիղը շոշափում է շրջանագծերից մեկը A կետում, իսկ մյուսըª B կետում: Ապացուցեք, որ M կետը գտնվում է AB տրամագծով շրջանագծի վրա: Լուծումը
268. Շրջանագծի AA1 տրամագիծը ուղղահայաց է BB1 լարին: Ապացուցեք, որ կիսաշրջանագծից փոքր AB և AB1 աղեղների աստիճանային չափերը հավասար են: Լուծումը
269. A, B, C և D կետերը գտնվում են շրջանագծի վրա: Ապացուցեք, որ եթե ∪AB=∪CD, ապա AB = CD: Լուծումը
270. AB հատվածը շրջանագծի տրամագիծ է, իսկ BC և AD լարերը զուգահեռ են: Ապացուցեք, որ CD լարը տրամագիծ է: Լուծումը
272. Շրջանից դուրս վերցրած կետով տարված են այդ շրջանագծի երկու հատող: Ապացուցեք, որ դրանց կազմած անկյունը չափվում է այն աղեղների աստիճանային չափերի կիսատարբերությամբ, որոնք առնված են հատողների միջև: Լուծումը
273. Կարո՞ղ է արդյոք տարակողմ եռանկյան գագաթը գտնվել եռանկյան կողմերից մեկի միջնուղղահայացի վրա: Պատասխանը հիմնավորեք: Լուծումը
274. Ապացուցեք, որ եթե ուղղանկյանը կարելի է շրջանագիծ ներգծել, ապա այն քառակուսի է: Լուծումը
275. Ապացուցեք, որ եթե սեղանի հիմքերն ընդգրկող ուղիղները շոշափում են շրջանագիծը, և շոշափման կետերը գտնվում են հիմքերի վրա, ապա սեղանի միջին գիծն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով: Լուծումը
277. Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է միջնագծի վրա: Ապացուցեք, որ այդ եռանկյունը հավասարասրուն է կամ ուղղանկյուն: Լուծումը
278. Հավասարասրուն եռանկյանը ներգծած է O1 կենտրոնով շրջանագիծ, և արտագծած է O2 կենտրոնով շրջանագիծ: Ապացուցեք, որ O1 և O2 կենտրոնները գտնվում են եռանկյան հիմքի միջնուղղահայացի վրա: Լուծումը
279. Ապացուցեք, որ եթե շեղանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ, ապա այդ շեղանկյունը քառակուսի է: Լուծումը
281. A և B կետերից տարված են AOB անկյան կողմերին ուղղահայաց ուղիղներ, որոնք հատվում են անկյան ներսում գտնվող C կետում: Ապացուցեք, որ ACBO քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ: Լուծումը
282. Ապացուցեք, որ սեղանի անկյունների կիսորդների հատումից ստացված ուռուցիկ քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ: Լուծումը
283. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AC կողմի M կետից տարված է AB ներքնաձիգին ուղղահայաց՝ MH-ը: Ապացուցեք, որ MHC և MBC անկյունները հավասար են: Լուծումը
284. Ապացուցեք, որ եթե զուգահեռագծին կարելի է և ներգծել, և արտագծել շրջանագիծ, ապա այդ զուգահեռագիծը քառակուսի է: Լուծումը
285. Տրված են a ուղիղը, նրա վրա A կետը և նրա վրա չգտնվող B կետը: Կառուցեք շրջանագիծ, որն անցնի B կետով և a ուղիղը շոշափի A կետում: Լուծումը
286. Տրված են երկու զուգահեռ ուղիղներ և մի կետ, որը չի գտնվում դրանցից ոչ մեկի վրա: Կառուցեք այդ կետով անցնող շրջանագիծ, որին այդ ուղիղները լինեն շոշափող: Լուծումը
289. Քանի՞ կողմ ունի այն կանոնավոր բազմանկյունը, որի արտաքին անկյուններից մեկը հավասար է` ա) 18օ, բ) 40օ, գ) 72օ, դ) 60օ: Լուծումը
290. Գտեք A1A2A3A4A5A6 կանոնավոր վեցանկյան պարագիծը, եթե A1A4=2,24մ: Լուծումը
296. Գծագրեք ABCD զուգահեռագիծ և նշեք այնպիսի M կետ, որը համաչափ է D կետին C կետի նկատմամբ: Ապացուցեք, որ SABCD=SAMD: Լուծումը
297. ABCD ուղղանկյան AD կողմի վրա կառուցված է ADE եռանկյուն այնպես, որ նրա AE և DE կողմերը BC հատվածը հատում են M և N կետերում, ընդ որում՝ M կետը AE հատվածի միջնակետն է: Ապացուցեք, որ SABCD=SADE: Լուծումը
308. Տրված է ABCD քառակուսին: AD ճառագայթի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ ∠AMB=30o, և BM=20սմ: Գտեք այդ քառակուսու մակերեսը: Լուծումը
310. ABCD ուղղանկյան A և D անկյունների կիսորդները BC կողմի հետ հատվում են միևնույն M կետում: Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը, եթե հայտնի է, որ նրա պարագիծը 42սմ է: Լուծումը
320. Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30o է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2սմ և 3սմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը: Լուծումը
325. Որոշեք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե նրա կից կողմերի տարբերությունը 10սմ է, իսկ բարձրությունները հարաբերում են, ինչպես 3:5: Լուծումը
331. Եռանկյան երկու կողմերն են 7,5սմ և 3,2սմ: Դրանցից մեծին տարված բարձրությունը 2,4սմ է: Գտեք տրված կողմերից փոքրին տարված բարձրությունը: Լուծումը
338. Համեմատեք այն երկու եռանկյունների մակերեսները, որոնց տրոհվում է տրված եռանկյունն իր միջնագծով: Լուծումը
340. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի վրա վերցված են համապատասխանաբար M և N կետերն այնպես, որ AB=2AM, AC=3AN: Գտեք ABC և AMN եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը: Լուծումը
341. Գծեք ABC եռանկյուն: A գագաթով տարեք երեք այնպիսի ուղիղներ, որ դրանք եռանկյունը տրոհեն չորս միմյանց հավասար մակերեսով եռանկյունների: Լուծումը
342. Ապացուցեք, որ շեղանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին: Հաշվեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա անկյունագծերը հավասար են. ա) 3,2դմ և 14սմ, բ) 4,6դմ և 2դմ: Լուծումը
344. Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Ապացուցեք, որ այդ քառանկյան մակերեսը հավասար է անկյունագծերի արտադրյալի կեսին: Լուծումը
348. Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝ 44սմ2: Գտեք սեղանի բարձրությունը: Լուծումը
373. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվվում է S=√3a2/4 բանաձևով, որտեղ a-ն եռանկյան կողմն է: Գտեք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է. ա) 4սմ, բ) 1,2սմ, գ) 2√2 սմ: Լուծումը
376. Գտեք 10սմ, 10սմ, 12սմ կողմերով եռանկյան բարձրությունները: Լուծումը
380. Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 9սմ և 18սմ են, իսկ մեծ սրունքը՝ 15սմ: Գտեք սեղանի մակերեսը: Լուծումը
385. Եռանկյան երկու կողմերն են 30սմ և 25սմ, իսկ երրորդ կողմին տարված բարձրությունը՝ 24սմ: Գտեք երրորդ կողմը: Լուծումը
405. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան էջի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը կրկնակի մեծ է, քան ներքնաձիգին տարված բարձրության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը: Լուծումը
407. Զուգահեռագծի բարձրություններն են 5սմ և 4սմ, իսկ պարագիծը՝ 42սմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը: Լուծումը
408. Գտեք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե նրա մակերեսը 24սմ2 է, իսկ անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը կողմերից հավասար է 2սմ և 3սմ: Լուծումը
409. Զուգահեռագծի փոքր կողմը 29սմ է: Անկյունագծերի հատման կետից մեծ կողմին տարված ուղղահայացը այդ կողմը տրոհում է 33սմ և 12սմ հատվածների: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը: Լուծումը
410. Ապացուցեք, որ a և b կողմեր ունեցող բոլոր եռանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի այն եռանկյունը, որի այդ կողմերը ուղղահայաց են: Լուծումը
411. Քառակուսու գագաթով ինչպե՞ս տանել երկու ուղիղ, որ քառակուսին բաժանվի հավասար մակերես ունեցող երեք պատկերների: Լուծումը
412*. Մի եռանկյան յուրաքանչյուր կողմը մեծ է մյուս եռանկյան ցանկացած կողմից: Արդյոք դրանից հետևու՞մ է, որ առաջին եռանկյան մակերեսը մեծ է երկրորդի մակերեսից: Լուծումը
413*. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի վրա գտնվող կետի՝ սրունքից ունեցած հեռավորությունների գումարը կախված չէ այդ կետի դիրքից: Լուծումը
414. Ապացուցեք, որ հավասարակողմ եռանկյան ներսում գտնվող կետի՝ կողմերից ունեցած հեռավորությունների գումարը կախված չէ այդ կետիդիրքից: Լուծումը
415*. ABC եռանկյան BC կողմի վրա վերցրած D կետից տարված են մյուս երկու կողմերին զուգահեռ ուղիղներ, որոնք այդ AB և AC կողմերը հատում են, համապատասխանաբար, E և F կետերում: Ապացուցեք, որ CDE և BDF եռանկյուններն ունեն հավասար մակերես: Լուծումը
416. AB և CD սրունքներով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: ա) Համեմատեք ABD և ACD եռանկյունների մակերեսները: բ) Համեմատեք ABO և CDO եռանկյունների մակերեսները: գ) Ապացուցեք, որ OA⋅OB=OC⋅OD: Լուծումը
417. Շեղանկյան անկյունագծերը հավասար են 18մ և 24մ: Գտեք շեղանկյան պարագիծը և զուգահեռ կողմերի միջև հեռավորությունը: Լուծումը
418. Շեղանկյան մակերեսը 540սմ2 է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 4,5դմ: Գտեք անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը շեղանկյան կողմերից: Լուծումը
419. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը, եթե. ա) նրա սրունքը 20սմ է, իսկ հիմքին առընթեր անկյունը՝ 30o, բ) սրունքին տարված բարձրությունը 6սմ է և հիմքի հետ կազմում է 45o անկյուն: Լուծումը
420. ABC եռանկյան BC կողմը 34սմ է: Այդ կողմի միջնակետից AC ուղղին տարված MN ուղղահայացը AC կողմը տրոհում է երկու՝ AN=25 սմ և NC=15սմ հատվածների: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը: Լուծումը
421. Գտեք ABCD քառանկյան մակերեսը, եթե AB=5սմ, BC=13սմ, CD=9սմ, DA=15սմ, AC=12սմ: Լուծումը
422. Գտեք հավասարասրուն սեղանի մակերեսը, եթե. ա) նրա փոքր հիմքը 18սմ է, բարձրությունը՝ 9սմ, իսկ սուր անկյունը՝ 45o, բ) նրա հիմքերը 16սմ և 30սմ են, իսկ անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Լուծումը
423. Գտեք հավասարասրուն սեղանի մակերեսը, եթե նրա բարձրությունը h է, իսկ անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Լուծումը
424. Հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, իսկ նրա հիմքերի գումարը 2a է: Գտեք սեղանի մակերեսը: Լուծումը
425. Ապացուցեք, որ եթե ABCD քառանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա AD2+BC2=AB2+CD2: Լուծումը
426. AD=17սմ, BC=5սմ հիմքերով և AB=10 սմ սրունքով ABCD հավասարասրուն սեղանի B գագաթով տարված է մի ուղիղ, որը կիսում է AC անկյունագիծը, իսկ AD հիմքը հատում է M կետում: Գտեք BDM եռանկյան մակերեսը: Լուծումը
427. a կողմով երկու քառակուսի ունեն մի ընդհանուր գագաթ, ընդ որում՝ նրանցից մեկի կողմը գտնվում է մյուսի անկյունագծի վրա: Գտեք այդ քառակուսիների ընդհանուր մասի մակերեսը: Լուծումը
428. Խորանարդի մի նիստի անկյունագիծը a է: Գտեք այդ խորանարդի մակերևույթի մակերեսը: Լուծումը
429. Ուղղանկյունանիստի հիմքը a կողմով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերից յուրաքանչյուրի անկյունագիծը հիմքի կողի հետ կազմում է 60o անկյուն: Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային մակերևույթի մակերեսը: Լուծումը
430. Գտեք այն ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, որի նույն գագաթով անցնող կողերն ունեն a, 2a և 3a երկարություններ: Լուծումը
441. Տրված է A1A2A3A4A5A6 վեցանկյունը, որի բոլոր անկյունները հավասար են: Ապացուցեք, որ A1A2-A4A5=A5A6-A2A3=A3A4-A6A1: Լուծումը
442. a1, a2, a3, a4, a5 և a6 դրական թվերը բավարարում են a1-a4=a5-a2=a3-a6 պայմաններին: Ապացուցեք, որ գոյություն ունի A1A2A3A4A5A6 ուռուցիկ վեցանկյուն, որի բոլոր անկյունները հավասար են, ընդ որում` A1A2=a1, A2A3=a2, A3A4=a3, A4A5=a4, A5A6=a5, A6A1=a6: Լուծումը
443. Ապացուցեք, որ կամայական ուռուցիկ քառանկյան ձև ունեցող միատեսակ սալիկներով կարելի է այնպես երեսպատել սալահատակը, որ ամբողջությամբ ծածկի տակ ներառվի հարթության մաս հանդիսացող ցանկացած հարթակ: Լուծումը
446. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: D կետով անցնում է AD-ին ուղղահայաց ուղիղ, որը E կետում հատում է AC ուղիղը: B և D կետերից AC ուղղին տարված ուղղահայացների հիմքերն են M-ը և K-ն: Գտեք MK-ն, եթե AE=a: Լուծումը
447. Ապացուցեք, որ եռանկյան երեք միջնագծերի գումարը փոքր է պարագծից, բայց մեծ է կիսապարագծից: Լուծումը
449. Գտեք այն հատվածների միջնակետերի բազմությունը, որոնք տրված կետը միացնում են այդ կետով չանցնող` տրված ուղղի բոլոր կետերին: Լուծումը
450. Ապացուցեք, որ հավասարասրուն սեղանի հիմքերի միջնակետով անցնող ուղիղն ուղղահայաց է հիմքերին: Ձևակերպեք և ապացուցեք հակադարձ պնդումը: Լուծումը
453. ABCD քառակուսու CD կողմի վրա նշված է M կետը: BAM անկյան կիսորդը K կետում հատում է BC կողմը: Ապացուցեք, որ AM=BK+DM: Լուծումը
454. Նկար 100-ում պատկերված են երեք քառակուսի: Գտեք ∠BAE+∠CAE+∠DAE գումարը: Լուծումը
455. ABCD քառակուսու ներսում վերցված է M կետն այնպես, որ ∠MAB=60o, ∠MCD=15o: Գտեք ∠MBC-ն: Լուծումը
459. Ապացուցեք, որ եթե ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ չեն, ապա նրանց կիսագումարը մեծ է մյուս երկու հանդիպակաց կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածից: Լուծումը
461. Ապացուցեք, որ եթե ուռուցիկ քառանկյան երկու հանդիպակաց կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը հավասար է մյուս երկու կողմերի կիսագումարին, ապա այդ քառանկյունը սեղան է կամ զուգահեռագիծ: Լուծումը
465. AB հատվածը O կենտրոնով շրջանագծի տրամագիծ է: Շրջանագծի յուրաքանչյուր OM շառավիղի վրա O կետից տեղադրված է հատված, որի երկարությունը հավասար է M ծայրակետի և AB ուղղի միջև եղած հեռավորությանը: Գտեք այդ ձևով կառուցված հատվածների ծայրակետերի բազմությունը: Լուծումը
467. ABC եռանկյան B գագաթից տարված են BH բարձրությունը և B անկյան կիսորդը: Այդ կիսորդը E կետում հատում է եռանկյան արտագծյալ շրջանագիծը, որի կենտրոնը O-ն է: Ապացուցեք, որ BE ճառագայթը OBH անկյան կիսորդն է: Լուծումը
473. Ապացուցեք, որ սեղանի մակերեսը հավասար է սրունքներից մեկի և այն ուղղահայացի արտադրյալին, որը մյուս սրունքի միջնակետից տարված է առաջին սրունքն ընդգրկող ուղղին: Լուծումը
474. Սեղանի փոքր հիմքի ծայրակետերով տարված են երկու զուգահեռ ուղիղներ, որոնք հատում են մեծ հիմքը: Սեղանի անկյունագծերը և այդ ուղիղները տրոհում են սեղանը յոթ եռանկյան և մեկ հնգանկյան: Ապացուցեք, որ հնգանկյան մակերեսը հավասար է այն երեք եռանկյունների մակերեսների գումարին, որոնք հարակից են սրունքներին և փոքր հիմքին: Լուծումը
475. ABCD զուգահեռագծի AB կողմը B կետից շարունակված է BE հատվածով, իսկ AD կողմը D կետիցª DK հատվածով: ED և KB հատվածները հատվում են O կետում: Ապացուցեք, որ ABOD և CEOK քառանկյունների մակերեսները հավասար են: Լուծումը
477. A կետն ընկած է 60o-ի անկյան ներսում: a-ն և b-ն A կետի հեռավորություններն են անկյան կողմերից: Գտեք A կետի հեռավորությունը անկյան գագաթից: Լուծումը
479. ABCD ուղղանկյան ներսում վերցված է M կետը: Հայտնի է, որ MB=a, MC=b և MD=c: Գտեք MA-ն: Լուծումը
481. C ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան ներսում վերցված է O կետն այնպես, որ SOAB=SOAC=SOBC: Ապացուցեք, որ OA2+OB2=5⋅OC2: Լուծումը
482. Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը այնպիսի քառակուսու կողմ է, որը չի ծածկում այդ եռանկյունը: Գտեք այդ քառակուսու անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից, եթե նրա էջերի գումարը a է: Լուծումը
484. Ապացուցեք, որ եթե ներգծյալ քառանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, ապա քառանկյան հանդիպակաց կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է արտագծված շրջանագծի տրամագծի քառակուսուն: Լուծումը
