1. Ապացուցեք, որ \(1+2+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}, n\in N\)։
Լուծումը

2. Ապացուցեք, որ  \({{1}^{3}}+{{2}^{3}}+...+{{n}^{3}}={{\left( 1+2+..+n \right)}^{2}},  n\in N\):
  Լուծումը

      3. Ապացուցեք, որ

\(\left( 1+{{x}_{1}} \right)\cdot \left( 1+{{x}_{2}} \right)\cdot ...\cdot \left( 1+{{x}_{n}} \right)\ge 1+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}\),

որտեղ \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}},\,...,\,{{x}_{n}}\)-ը նույն նշանի և -1-ից մեծ թվեր են և \(n\in N:\)
Լուծումը

4. Ապացուցեք, Նյուտոնի բինոմի բանաձևը.
 \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}, n\in N\), որտեղ \(C_{n}^{m}\)-ը n-ից m-ական զուգորդությունների թիվն է։
Լուծումը

5. Ապացուցեք, որ   \(n!<{{\left( \frac{n+1}{2} \right)}^{n}},\,n\in N,\,n>1\):
Լուծումը

6. Ապացուցեք, որ  \(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}, n\in N\)։
Լուծումը

7. Ապացուցեք, որ  \(\left| \sin \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}} \right) \right|\le \sum\limits_{k=1}^{n}{\sin {{x}_{k}},\,\,0\le {{x}_{k}}\le \pi ,\,\,}n\in N:\)
Լուծումը

8. Ապացուցեք, որ  \({{n}^{n+1}}>{{\left( n+1 \right)}^{n}}, n\in N,\,\,n\ge 3\):
Լուծումը

9. Ապացուցեք, որ  \(\left( 2n \right)!<{{2}^{2n}}{{\left( n! \right)}^{2}}, n\in N\)։ 
Լուծումը

10. Ապացուցեք, որ  \(\frac{n}{2}<1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}-1}<n,\,\,\, n\in N,\,\,\,n>1:\)
Լուծումը

11. Ապացուցեք, որ \({{6}^{2n-2}}+{{3}^{n+1}}+{{3}^{n-1}}\)-ը բազմապատիկ է 11-ին, եթե \(n\in N\)։ 
Լուծումը

12. Ապացուցեք, որ \({\frac{1}{2!}}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!},\,\,n\in N\)։
Լուծումը