GeoGebra-ի կիրառումը կամ լաբորատոր աշխատանքներ

Առաջարկվող լաբորատոր աշխատանքները ներկայացնում են մաթեմատիկայի ու երկրաչափության ուսումնասիրման ու դասավանդման համար GeoGebra ծրագրի կիրառման տարբեր հնարավորությունները:
Լաբորատոր աշխատանքների մի մասի GeoGebra ֆայլերը կան գրքին կից լազերային սկավառակում, մյուսները պետք է Դուք ստեղծեք, քանի որ տարբեր մարդիկ տարբեր քայլեր ու ճանապարհներ կընտրեն այդ աշխատանքներն անելու համար:

10.1 Հայտնաբերենք մինչև անցնելը

Այս կետի լաբորատոր աշխատանքները նախատեսված են առաջիկա դասերին անցնելիք օրինաչափությունների փորձնական հայտնաբերման համար:
Մաթեմատիկայի դասավանդման փորձ ունեցողները կհամաձայնեն, որ դասական ապացույցն աշակերտների ճնշող մեծամասնությունը համարում է տհաճ ու անհասկանալի մի գործողություն: Անհասկանալի են ոչ միայն ապացույցների քայլերը, այլ նաև դրանց իմաստն ու նշանակությունը:
Եթե դրան ավելացնենք հանրահայտ Դ.Պոյայի այն միտքը, որ որևէ բան ուսումնասիրելու լավագույն ձևը այդ բանն ինքնուրույն հայտնաբերելն է, ապա պարզ կդառնա այսպիսի լաբորատոր աշխատանքների դերն ու նշանակությունը:
Այս կետի լաբորատոր աշխատանքները նույն հաջողությամբ կարող են տեղափոխվել հաջորդ կետ և հակառակը:
Գերադասելի է, որ այդ կետերի լաբորատոր աշխատանքների մոդելները կառուցեն աշակերտները, բայց գլխավորն այն է, որ նրանք իրենց փորձով համոզվեն, որ տեղի ունեն այդպիսի օրինաչափություններ:

Լաբորատոր աշխատանք 1. Եռանկյան անկյունների գումարը

Այս աշխատանքում օգտվելու եք հետևյալ գործիքներից, հրամաններից ու մուտքագրումներից:

	Բազմանկյուն		ABC	Գրություն
	Անկյուն			Տեղաշարժեմ

Կառուցման քայլերը

Կառուցեք ABC եռանկյուն:

Հիշեցում: Գագաթներն ընտրեք շարժվելով ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Չափեք եռանկյան անկյունները:

Հիշեցում: Ընտրեք Անկյուն գործիքը և քլիկ արեք եռանկյան ներքին տիրույթում:

Մուտքագրեք σ=α+β+γ:
Ստեղծեք գրություն` Եռանկյան անկյունների գումարը = և Օբյեկտներից ընտրեք σ-ն:

Շարժեք եռանկյան գագաթները և հետևեք անկյունների գումարին:

Լաբորատոր աշխատանք 2. Գծային ֆունկցիայի պարամետրերը

Այս աշխատանքում օգտվելու եք հետևյալ գործիքներից, հրամաններից ու մուտքագրումներից:

Սողնակ		Երկու օբյեկտների հատումը
y = m x + b ուղիղ		Ուղղի թեքություն
a=y(A)	ABC	Գրություն
ՀատմանԿետ [a, yԱռանցք]		Տեղաշարժեմ

Կառուցման քայլերը

Մուտքագրեք y = 0.8 x + 3.2 ուղիղը:

Առաջադրանք 1: Տեղաշարժեք ուղիղը: Դրա համար Տեղաշարժեմ ռեժիմում (), Օբյեկտների վահանակում ընտրեք ուղիղը և օգտվեք ստեղնաշարի վերև (↑),ներքև (↓), ձախ (→), աջ (←) կոճակներից: Ո՞ր մեծությունը կարող եք փոխել դրանցով:

Առաջադրանք 2: Մկնիկով տեղաշարժեք ուղիղը Կտավի վրա: Ի՞նչ ձևափոխությունների կարող եք ենթարկել ուղիղն այդ եղանակով:

Ջնջեք ուղիղը: Ստեղծեք m և b սողնակները:
Մուտքագրեք՝ ուղիղ: y = m x + b:

Հիշեցում: Արտադրյալի մուտքագրման համար չմոռանաք օգտագործել աստղանիշ կամ պրոբել:

Նշեք ուղղի և y-ների առանցքի հատման A կետը:
Հուշում: Օգտագործեք Երկու օբյեկտների հատումը գործիքը՝ կամ Հատում [ուղիղ, yԱռանցք] հրամանը:
Ուղղի թեքություն գործիքի` օգնությամբ ցույց տվեք ուղղի թեքությունը:
Մուտքագրեք՝ a=y(A):
Ընտրեք Գրություն գործիքը և քլիկ արեք Կտավի վրա: Բացվող պատուհանում ոչինչ մի գրեք ու Օբյեկտներից ընտրեք a-ն: Աջ քլիկ արեք այդ գրության վրա և Դիրք ներդիրում ընտրեք A կետը:

Փոխեք սողնակների արժեքները և համոզվեք, որ միշտ թեքությունը համընկնում է m պարամետրի արժեքի հետ, իսկ A կետի y կոորդինատը` b պարամետրի արժեքի հետ:

Լաբորատոր աշխատանք 3. Մեծագույն մակերես ունեցող ուղղանկյունը

Ունենք a երկարությամբ թել, որից պետք է պատրաստել ուղղանկյուն: Ուղղանկյան կողմերի ի՞նչ հարաբերության դեպքում այդ ուղղանկյան մակերեսը կլինի մեծագույնը:

Այս աշխատանքն անելու համար օգտվելու եք հետևյալ գործիքներից, հրամաններից ու մուտքագրումներից:

	a=10			A=(b,c)
	Սողնակ			Ուղղահայաց ուղիղ
	Տեղաշարժեմ գծագիրը			B=(2.5,0)
	c=b*(5-b)

Կառուցման քայլերը

Գործարկեք GeoGebra-ն, Ենթաբաժիններից ընտրեք Հանրահաշիվ և գրաֆիկներ:
Ցույց տվեք կոորդինատային առանցքները (Կտավի վրա աջ քլիկ→Առանցքներ):
Մուտքագրեք՝ a=10: Սա կլինի թելի երկարությունը:
Ստեղծեք 0-ից 5 միջակայքում 0,1 քայլով b սողնակ և այն տեղադրեք կոորդինատային երկրորդ քառորդում:
Տեղաշարժեմ գծագիրը գործիքով կոորդինատների սկզբնակետը տեղափոխեք Կտավի ներքևի ձախ անկյան մոտ:
Մուտքագրեք՝ c=b*(5-b), հետո՝ A=(b,c):
Աջ քլիկ արեք A կետի վրա և ընտրեք Հետք է թողնում:

Հետքն ունի որոշակի առանձնահատկություններ.

Հետքը ժամանակավոր է: Թարմացման (մենյու Տեսք→Թարմացնեմ) դեպքում այն անհետանում է:
Հետքը չի կարող պահվել և չի արտացոլվում Օբյեկտների վահանակում:
Հետքը մաքրելու համար կարող եք օգտվել նաև ստեղնաշարի Ctrl + F կոճակներից:

Մուտքագրեք՝ B=(2.5,0) կետը:
Կառուցեք B կետով անցնող ու x-երի առանցքին ուղղահայաց ուղիղ:
Աջ քլիկ արեք սողնակի վրա և ընտրեք Անիմացիա:

Պատասխանեք վերևում առաջադրված հարցին:

10.2 Ցուցադրենք արդեն անցածը

Այս կետի լաբորատոր աշխատանքները նվիրված են արդեն հայտնի գիտելիքների վիզուալիզացիային:

Լաբորատոր աշխատանք 4. Զուգահեռագծի հատկությունները
Այս աշխատանքում օգտվելու եք հետևյալ գործիքներից:

	Հատված			Հեռավորություն, երկարություն, պարագիծ
	Զուգահեռ ուղիղ			Տեղաշարժեմ
	Երկու օբյեկտի հատումը

Կառուցման քայլերը

Կառուցեք AB հատված:
Կառուցեք BC հատված (C-ն չի պատկանում AB ուղղին):
C կետով տարեք AB-ին զուգահեռ ուղիղ:
A կետով տարեք BC-ին զուգահեռ ուղիղ:
Ստացեք c և d ուղիղների հատման D կետը:
Չափեք AB, BC, CD և AD հատվածների երկարությունները:

Առաջադրանք: Շարժեք A, B, C կետերը և համոզվեք, որ ստացված բոլոր զուգահեռագծերում հանդիպակաց կողմերը հավասար են:

Չափեք զուգահեռագծի անկյունները:

Հիշեցում: GeoGebra-ն անկյունը միշտ չափում է ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Առաջադրանք: Շարժեք A, B, C կետերը և համոզվեք, որ ստացված բոլոր զուգահեռագծերում հանդիպակաց անկյունները հավասար են:

108 min

Լաբորատոր աշխատանք 5. Գրաֆիկի շոշափողը և նրա թեքությունը

Լաբորատոր աշխատանքը նվիրված է տեսությունից հայտնի հետեվյալ օրինաչափության վիզուալիզացիային. f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի x₀ աբսցիս ունեցող կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցը (թեքությունը) հավասար է \(f'({x_0})\):

Այս աշխատանքում օգտվելու եք հետևյալ գործիքներից, հրամաններից ու մուտքագրումներից:

f(x) = x^2/2 + 1		g(x)=Ածանցիալ (f)
Նոր կետ		k=g(x(A))
Շոշափող	ABC	Գրություն
թեքություն = Թեքություն [a]		Տեղաշարժեմ

Կառուցման քայլերը

Մուտքագրեք՝ f(x) = x^2/2 + 1 բազմանդամը:
Ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա նշեք A կետը:

Հուշում: Տեղաշարժեք A կետը համոզվելու համար, որ այն պատկանում է ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկին A կետում տարված a շոշափողը:
Ցույց տվեք a շոշափողի թեքությունը` մուտքագրելով թեքություն = Թեքություն[a] հրամանը:

Առաջադրանք: Տեղաշարժեք A կետը ֆունկցիայի գրաֆիկով և հետևեք թեքության փոփոխությանը:

Մուտքագրեք՝ g(x)=Ածանցիալ(f): Աջ քլիկ արեք g-ի գրաֆիկի վրա և թաքցրեք գրաֆիկը:
Մուտքագրեք՝ k=g(x(A)):
Ստեղծեք գրություն՝ և Օբյեկտներից ընտրեք k-ն:

Առաջադրանք: Տեղաշարժեք A կետը ֆունկցիայի գրաֆիկով և համոզվեք, որ A կետում տարված գրաֆիկի շոշափողի թեքությանը և -ն` k թիվը փոխվում են, բայց միշտ հավասար են իրար:

Կարող եք փոխել f-ի բանաձևը և ուրիշ ֆունկցիայի համար ստուգել դիտարկվող օրինաչափությունը:

10.3 Կիրառենք մեր գիտելիքները

Այս կետի լաբորատոր աշխատանքները ենթադրում են հետևյալ մոտեցումը. աշակերտներին տրվում է առաջադրանք, յուրաքանչյուր աշակերտը պիտի հասկանա առաջադրանքի էությունը, գտնի դրա լուծման ուղին և իրականացնի դա GeoGebra միջավայրում: Հնարավոր է, որ գոյություն ունենան տարբեր լուծումներ, ու կարևոր չէ թե աշակերտը ճիշտ ճանապարհներից որը կընտրի:

Ուսուցիչը փոփոխություններ անելով (փոխելով մուտքային կետերի դիրքերը, անկյունների մեծությունները և այլն) արագ կհամոզվի լուծման ճիշտ կամ սխալ լինելու մեջ: Անհրաժեշտության դեպքում ուսուցիչը կարող է նաև ուղղություն տալ` հուշելով որոշ քայլեր կամ հիշեցնելով ինչ-որ օրինաչափություններ:

Լաբորատոր աշխատանք 6. Շրջանագծի կենտրոնի կառուցումը

Չօգտագործելով Միջնակետ կամ կենտրոն գործիքն ու Կենտրոն հրամանը` կառուցեք տրված շրջանագծի կենտրոնը:

Լաբորատոր աշխատանք 7. Տվյալ կետում գագաթ ունեցող և տրված անկյան կեսին հավասար անկյան կառուցումը

Չօգտագործելով Անկան կիսորդ գործիքն ու ԱնկայնԿիսորդ հրամանը` կառուցեք տրված անկյան կեսին հավասար անկյուն, որի գագաթը գտնվում է տրված կետում:

Լաբորատոր աշխատանք 8. Եռանկյանը ներգծված շրջանագծի կառուցումը

Կառուցեք տրված անկյանը ներգծված շրջանագիծը:

10.4 Փորձենք ընդհանրացնել

Այս լաբորատոր աշխատանքը հետազոտական աշխատանք է, որի նպատակն է հայտնի օրինաչափության ընդհանրացումը:

Աշխատանքի ընթացքում պետք է լուծել բազմաթիվ ենթախնդիրներ: Աշխատանքը պահանջում է գիտելիքների և ընդունակությունների որոշակի մակարդակ և հետևաբար նախատեսված է ավելի ուժեղ աշակերտների համար: Աշակերտներից յուրաքանչյուրն ինքն է Geogebra ծրագրով ստեղծում համապատասխան մոդելը, անում անհրաժեշտ չափումներ, փոփոխություններ ու հենվելով դրանց վրա` նաև եզրակացություն:

Լաբորատոր աշխատանք 9. Եռանկյան միջնագծերի հատկության ընդհանրացումը

Հայտնի է, որ եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որը յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ, հաշված գագաթից:

Եռանկյան կողմերի միջնակետերի փոխարեն հանդիպակաց գագաթներին միացված են այն կետերը, որոնք ոչ թե անջատում են կողմի \(\frac{1}{2}\) , այլ (\frac{1}{n}\) մասը:

Պարզել.

Գոյություն ունի՞ ինչ-որ օրինաչափություն (n-ից կախված), որով AE, BF, CD հատվածները հատման կետերով բաժանվում են մասերի,
Ո՞րն է այդ օրինաչափությունը:

10.5 Ի՞նչ կլինի, եթե…

Այս լաբորատոր աշխատանքը նույնպես հետազոտական աշխատանք է, որի նպատակն է մինչ այդ անհայտ օրինաչափության հայտնաբերելը:

Լաբորատոր աշխատանք 10. Եռանկյան կիսորդների հատման կետի հետագիծը

Ի՞նչ հետագիծ ունի եռանկյան կիսորդների հատման կետը, երբ եռանկյան գագաթներից մեկը պտտվում է եռանկյանն արտագծած շրջանագծով: Պարզել հետագիծը բնութագրող պարամետրերը:

10.6 Ո՞ր դեպքում է, որ…

Սա ևս մեկ հետազոտական լաբորատոր աշխատանք է, որի միջոցով պետք է պարզել, թե որ դեպքում տեղի կունենա որոշակի օրինաչափություն:

Աշխատանքը պահանջում է գիտելիքների և ընդունակությունների որոշակի մակարդակ և հետևաբար նախատեսված է ավելի ուժեղ աշակերտների համար: Աշակերտներից յուրաքանչյուրն ինքն է Geogebra ծրագրով ստեղծում մոդելներ, անում անհրաժեշտ փորձարկումներ ու հենվելով դրանց վրա` նաև եզրակացություն:

Լաբորատոր աշխատանք 11. Կիսորդ, միջնագիծ, թե՞ բարձրություն

Եթե տարված է AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան BD բարձրությունը (կիսորդն ու միջնագիծը) և ABD ու CBD եռանկյուններին ներգծված են շրջանագծեր, ապա այդ շրջանագծերը բարձրությունը շոշափում են նույն կետում:

111 min

Եթե եռանկյունը հավասարասրուն չէ, ապա կողմին տարած բարձրությունը, կիսորդն ու միջնագիծը չեն համընկնում:

Այդպիսի եռանկյունը բարձրությամբ, կիսորդով թե՞ միջնագծով տրոհելու դեպքում է, որ առաջացած եռանկյուններին ներգծած շրջանագծերի` տրոհող հատվածը շոշափող կետերի հեռավորությունը կախված կլինի միայն AB և BC կողմերի երկարությունների արբերության բացարձակ արժեքից:

10.7 Տարածաչափություն

Ի տարբերություն եռաչափ (3D) ծրագրերի, GeoGebra 4-ը տարածական մարմիններ (խորանարդ, գլան, կոն, գունդ և այլն) կառուցելու գործիքներ չունի: Հեղինակային խումբն աշխատում է նոր տարբերակի վրա, որը կունենա նաև 3D գործիքներ: Բայց որոշակի հնարքների շնորհիվ ներկա տարբերակը ևս պիտանի է դառնում տարածաչափություն ուսումնասիրելու ու դասավանդելու համար:

Ճիշտ է եռաչափ մոդելներ պատրաստելն այս պայմաններում ավելի բարդ է ու աշխատատար, բայց սա էլ ունի իր առավելությունները:

Օրինակ, եռաչափ ծրագրում միայն մեկ հրամանով կարելի է կառուցել, տրված երեք կետով անցնող հարթությունը կամ հատույթը: Սա շատ առումներով լավ է և օգտակար: Բայց ունի նաև թերություն` այն ինչ կարելի է անել եռաչափ ծրագրով, հնարավոր չի լինի անել թղթի վրա: Իսկ GeoGebra-ի օգնությամբ բազմանիստի հատույթի կառուցումը թղթի վրա այդ հատույթի կառուցման քայլերն են, բայց ավելի որակով, ավելի ճշգրիտ:

Բացի դա, հատույթը կարելի է կառուցել քայլ առ քայլ, և յուրաքանչյուր քայլի համար էկրանին կարող է լինել բացատրություն կամ ուսուցիչը կարող է դրանք մեկնաբանել:

Կետերը, որոնցով անցնում է հատույթը, կարելի է շարժել ու հատույթն անմիջապես համապատասխան փոփոխության կենթարկվի:

Այստեղ նույնպես, ինչպես 3D ծրագրում, մոդելը կարելի է պտտել ու թեքել, այսինքն մոդելը կարելի է դիտել բոլոր կողմերից, որն էլ հենց եռաչափ մոդելի կամ իրական մարմնի հետ աշխատելու տպավորություն է ստեղծում:

Այսպիսով, ծրագիրը հատույթներ կառուցելու թեման բացատրելու շատ էֆեկտիվ ու անփոխարինելի հնարավորություն է տալիս:

Ծրագիրը կարող է էապես օգնել` հեշտացնել, հետաքրքիր ու գրավիչ դարձնել ու նաև ահագին ժամանակ խնայել պտտման մարմիններն ու նրանց հետ կապված հարցերը մատուցելիս:

Ընդհանրապես ասած, կարող է կիրառվել տարածաչափության ցանկացած թեմայի ներկայացման համար:

Բայց ինչպես արդեն ասվել է եռաչափ մոդելներ պատրաստելն այս պայմաններում ավելի բարդ է ու աշխատատար: Ավելին, GeoGebra-ով աշխատելու մեծ փորձ չունեցողը չի կարող նման մոդելներ ստեղծել:

Այդ պատճառով գրքին կից լազերային սկավառակում կան տարբեր թեմաներով բազմաթիվ եռաչափ մոդելներ, որոնք կարող են օգտագործվել համապատասխան թեմաներն ուսումնասիրելու ու դասավանդելու համար: Այդ մոդելները կարող են հիմք դառնալ այլ եռաչափ մոդելներ ստեղծելու համար: Օրինակ, 3D_zugaheranist.ggb մոդելը ցանկության դեպքում կարող է վերածվել պրիզմայի, բուրգի եռաչափ մոդելի` պահպանելով պտտելու, թեքելու ու մյուս հնարավորությունները: Ահա այդ մոդելի մի վիճակի նկարը.

112 min

Հաջորդ նկարում ներկայացված է գլանի մոդելի (glan.ggb) վիճակներից մեկը: Մոդելը կարելի է օգտագործել հենց այդ ձևով կամ հարստացնել, օրինակ, առանցքային հատույթով, առանցքին զուգահեռ կամ (ու) ուղղահայաց հատույթներով:

113 min