contact 1 min093 33 73 94                                                    
email min  info@mathnet.am                                                
gre sat

1.1 Տարածության հիմնական հատկությունները

1. Ապացուցեք, որ երեք զույգ առ զույգ հատվող և մի կետով չանցնող ուղիղներն ընկած են մի հարթությունում:   Լուծումը

2. Տարածությունում նշված է չորս կետ: Նրանցից առնվազն երեքը պարունակող քանի՞ տարբեր հարթություն կարող է լինել (ուսումնասիրեք բոլոր հնարավորությունները):   Լուծումը

3. Դիցուք, տարածության A, B, C, D կետերն ընկած են մի հարթությունում, AB և CD ուղիղները զուգահեռ չեն, իսկ M-ը այդ հարթությանը չպատկանող կամայական կետ է: Կհատի՞ արդյոք ABM և CDM հարթությունների ընդհանուր ուղիղը ABCD հարթությունը, և եթե այո` ո՞ր կետում:   Լուծումը

 

1.1 Լրացուցիչ խնդիրներ

1. Ունենք ABCD հարթ քառանկյուն և դրա հարթությունում չընկած ADM եռանկյուն։ Ի՞նչ ուղիներով են հատվում BAM և AMD, BCD և CMD հարթությունները:   Լուծումը

2. Ի՞նչպես կարող է երկու թելերի միջոցով հյուսնը ստուգել` սեղանի չորս ոտքերի ծայրերը մի հարթությունում են, թե՞ ոչ:   Լուծումը

3. Երեք տարբեր հարթություններ ունեն ընդհանուր կետ: Ճի՞շտ է արդյոք, որ նրանք կունենան ընդհանուր ուղիղ:   Լուծումը

4. Տրված են a հարթությունը և ABCD ուղղանկյունը: Կարո՞ղ է a հարթությանը պատկանել ուղղանկյան` ա) ուղիղ մի գագաթ, բ) ուղիղ երկու գագաթ, գ) ուղիղ երեք գագաթ:   Լուծումը

 

1.2 Ուղիղների և հարթությունների զուգահեռությունը տարածությունում

1. (կ) Դիցուք չորս`A, B, C, D կետերն ընկած չեն մի հարթության մեջ: (Այս գլխում հակիրճության համար երբեմն օգտագործվում է «ABCD-ն եռանկյուն բուրգ է» արտահայտությունը: Այդ դեպքում կարևորն այն է, որ A, B, C և D կետերն ընկած չեն մի հարթությունում:) Ապացուցեք, որ AB ուղիղը զուգահեռ է AD, BD, CD հատվածների միջնակետերով անցնող հարթությանը:   Լուծումը

2. (կ) Դիցուք չորս` A, B, C, D կետերն ընկած չեն մի հարթության մեջ: Ապացուցեք, որ AD, BD, CD հատվածների միջնակետերով անցնող հարթությանը զուգահեռ է ABC հարթությանը:   Լուծումը

3. Տարածությունում տարված են երկու զուգահեռ ուղիղներ և դրանց հատող երկու զուգահեռ հարթություններ: Ապացուցեք, որ այդ ուղիղների և հարթությունների չորս հատման կետերը զուգահեռագծի գագաթներ են:   Լուծումը

4. (կ) Դիցուք A-ն, B-ն, C-ն, D-ն տարածության մի ուղղի վրա չգտնվող չորս կետեր են: Ապացուցեք, որ AB, BC, CD և DA հատվածների միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներ են:   Լուծումը

 

1.6 Ուղղի և հարթության կազմած անկյունը

1. (կ) Ի՞նչ անկյուններ է կազմում խորանարդի անկյունագիծը նրա նիստերի հետ:   Լուծումը

3. (կ) ABCD բուրգում ABC-ն a կողմով կանոնավոր եռանկյուն է, իսկ AD=BD=CD=b: Գտեք AD, BD, CD ուղիղների և ABC հարթության կազմած անկյունների կոսինուսները:   Լուծումը

4. (կ) Դիցուք l ուղիղը ուղղահայաց չէ  α  հարթությանը և այդ հարթության m և n հատվող ուղիղների հետ կազմում է հավասար անկյուններ: Ապացուցեք, որ l-ի պրոյեկցիան α-ի վրա զուգահեռ է m և n ուղիղներով կազմած անկյուններից մեկի կիսորդին:   Լուծումը

6. P հարթության վրա տրված են մի ուղղի վրա չընկած A, B, C երեք կետեր: Գտեք տարածության այնպիսի M կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց համար MA, MB, MC ուղիղները P հարթության հետ կազմում են հավասար անկյուններ:   Լուծումը

7. (դ) Դիցուք ABC-ն AB=a ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ի՞նչ հեռավորության վրա է գտնվում ABC եռանկյան հարթությունից  M  կետը, եթե MA, MB, MC ուղիղները այդ հարթության հետ կազմում են α մեծությամբ հավասար անկյուններ:   Լուծումը

8. (դ) P հարթությունում տարված են երկու փոխուղղահայաց ուղիղներ։ l ուղիղը այդ ուղիղների հետ կազմում է 450 և 600 անկյուններ: Գտեք l ուղղի և P հարթության կազմած անկյան մեծությունը:   Լուծումը

9. (դ) Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան պրոյեկցիան P հարթության վրա կանոնավոր եռանկյուն է: Ինչի՞ է հավասար տրված եռանկյան ներքնաձիգի և P հարթության կազմած անկյունը:   Լուծումը

 

1.8 Հարթություններով կազմված երկնիստ անկյուն

17. (դ) ABCD բուրգում AC կողով երկնիստ անկյունն ուղիղ է, AB = BC = CD, BD = AC: Գտեք AD կողին կից երկնիստ անկյունը:   Լուծումը

19. (դ) Երկնիստ անկյան նիստերից մեկի հարթությունում վերցված է F պատկեր: Մյուս նիստի հարթության վրա այդ պատկերի պրոյեկցիան ունի S մակերես, իսկ կիսորդային հարթության վրա` Q  մակերես: Գտեք F պատկերի մակերեսը:   Լուծումը

20. (դ) ABCD բուրգի D գագաթին հարակից անկյունները ուղիղ են։ Դիցուք S1, S2, S3 և Q-ն համապատասխանաբար ABD1BCD, CAD և ABC նիստերի մակերեսներն են, իսկ α, β, γ-ն` AB, BC և CA կողերով երկնիստ անկյունների մեծությունները: 1) Արտահայտեք α, β, γ-ն S1, S2, S3, և Q-ի միջոցով: 2) Ապացուցեք, որ \(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = {Q^2}\)։ 3) Ապացուցեք, որ cos2α + cos2β + cos2γ = 1:   Լուծումը

 

Լրացուցիչ խնդիրներ

1. Տարածությունում գտնվողABCD ուղղանկյան ևAMD եռանկյան M և B գագաթները միացնող հատվածը ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Հանդիսանու՞մ է արդյոք MAB-ն MADB կողով և M և B կետերով անցնող նիստերով երկնիստ անկյան գծային անկյունը:   Լուծումը

2. Տրված է ABCDA1B1C1D1 խորանարդը: Գտեք CD կողով (A1CDB) և A1 ու B կետերը պարունակող նիստերով երկնիստ անկյան մեծությունը:   Լուծումը

3. Տրված է ABCD քառակուսին, BP հատվածը ուղղահայաց է նրա հարթությանը և հավասար է քառակուսու կողմին: Կառուցեք երկնիստ անկյան գծային անկյունը և գտեք նրա մեծությունը, եթե այդ երկնիստ անկյունը որոշվում է հետևյալ կողով և նիստերին պատկանող կետերով. ա) AD, P և C, բ) CD, P և B, գ) BC, P և D, դ) PB, A և C:   Լուծումը

4. ABC եռանկյան մեջ AB=AC=13 սմ և BC=10 սմ: AD հատվածը ուղղահայաց է ABC հարթությանը, AD=12 սմ: Գտեք BCD և BCA նիստերով երկնիստ անկյան մեծությունը:   Լուծումը

5. Մի՞շտ է արդյոք երկնիստ անկյան գծային անկյան հարթությունը ուղղահայաց նրա նիստերի հարթություններին:   Լուծումը

6. Ճշմարի՞տ է արդյոք հետևյալ պնդումը. եթե երկու հարթություններ փոխուղղահայաց են, ապա մի հարթության ցանկացած ուղիղ ուղղահայաց է մյուս հարթության յուրաքանչյուր ուղղին:   Լուծումը

7. Ճշմարի՞տ է արդյոք հետևյալ պնդումը. եթե երկու հարթություններ փոխուղղահայաց են, ապա հարթություններից մեկում կգտնվի ուղիղ, որը կլինի ուղղահայաց մյուս հարթության ցանկացած ուղղին:   Լուծումը

8. Ապացուցեք, որ ABCDA1B1C1D1 խորանարդում ACA1 և BDB1 հարթությունները ուղղահայաց են:   Լուծումը

9. AP հատվածը ուղղահայաց է ABC հարթությանը: Հետևյալ չորս` A, B, C, P կետերից վերցրած ո՞ր երեք կետերով անցնող հարթությունները կլինեն ուղղահայաց ABC հարթությանը:   Լուծումը

10. A և B կետերը պատկանում են ուղիղ երկնիստ անկյան կողին, AC և BD հատվածները պատկանում են տարբեր նիստերին և ուղղահայաց են երկնիստ անկյան կողին: Գտեք CD-ի երկարությունը, եթե AB=8սմ, AC=9սմ, BD=12սմ:   Լուծումը

11. AB հատվածի ծայրակետերը պատկանում են ուղիղ երկնիստ անկյան տարբեր նիստերին: A1-ը և B1-ը համապատասխանաբար A և B կետերի պրոյեկցիաներն են իրենց չպարունակող նիստերի վրա: Գտեք A1B1 հատվածի երկարությունը, եթե AA1=6 սմ, BB1=18 սմ, AB =21 սմ:   Լուծումը

12. Ուղղանկյուն հավասարասրուն եռանկյան էջի երկարությունը 4 սմ է: Էջով անցնող α հարթությունը եռանկյան հարթության հետ կազմում է 300 անկյուն: Գտեք α-ի վրա ներքնաձիգի պրոյեկցիայի երկարությունը:   Լուծումը

13. ABC եռանկյան մեջ` BC=15 սմ, AB=13 սմ և AC=4 սմ: AC կողմով տարված է α  հարթություն, որը տրված եռանկյան հարթության հետ կազմում է 300 անկյուն: Գտեք B գագաթի հեռավորությունը α  հարթությունից:   Լուծումը

 

2.1 Բազմանկյունների և բազմանիստերի պատկերումը

2. Կարո՞ղ է արդյոք եռանկյունը լինել բազմանիստի պատկեր (բացի եռանկյան կողմերից պատկերում ոչ մի ուրիշ գիծ չպետք է լինի):   Լուծումը

3. ABCD բուրգի բոլոր կողերն իրար հավասար են: Նկարեք այդ բուրգի պատկերը, որը ստացվում է պրոյեկտման արդյունքում. ա) ABC հարթության վրա, բ) AB-ին ուղղահայաց հարթության վրա, գ) AB-ին և CD-ին զուգահեռ հարթության վրա:   Լուծումը

 

2.4 Բազմանիստ անկյուններ

1. Ինչի՞ է հավասար եռանկյուն բուրգի բոլոր հարթ անկյունների գումարը:   Լուծումը

2. Գտնել եռանիստ անկյան երկնիստ անկյունները, եթե նրա հարթ անկյունները հավասար են 900, 900, α:   Լուծումը

3. (կ) Եռանիստ անկյան բոլոր հարթ անկյունները ուղիղ են: Ի՞նչ անկյուններ են կազմում հարթ անկյունների կիսորդները:   Լուծումը

4. Դիցուք եռանիստ անկյան երկու հարթ անկյունները հավասար են ա) 700և 1000, բ) 130և 1500: Ի՞նչ սահմաններում կարող է փոփոխվել նրա երրորդ հարթ անկյունը:   Լուծումը

5. Ամենաքիչը քանի՞ չհատվող եռանիստ անկյունների կարելի է տրոհել տարածությունը:   Լուծումը

8. (կ) Եռանկյուն բուրգի հակադիր կողերը զույգ առ զույգ հավասար են: Ապացուցել, որ այդ բուրգի բոլոր նիստերը իրար հավասար սուրանկյուն եռանկյունիներ են:   Լուծումը

9. (դ) Տրված են տարածության A, B, C, D չորս կետեր: Հայտնի է, որ AD=BD=CD, ∠ADB=900, ∠ADC=500, ∠BDC=1400: Գտեք ABC եռանկյան անկյունները:   Լուծումը

13. (կ) Ճի՞շտ է արդյոք, որ հարթության վրա հարթ անկյան պրոյեկտումով ստացված անկյան մեծությունը փոքր չէ ելակետային անկյան մեծությունից:   Լուծումը

16. (օ)Եռանիստ անկյան բոլոր հարթ անկյունները ուղիղ են: Ապացուցեք, որ այդ անկյան ցանկացած հատույթը սուրանկյուն եռանկյուն է:   Լուծումը

19. (դ) Ապացուցեք, որ ցանկացած եռանկյուն բուրգ ունի գագաթ, որին հարակից բոլոր հարթ անկյունները սուր են:   Լուծումը

20. (դ) Գումարելով ուռուցիկ բազմանիստի հարթ անկյունների մեծությունները` բացառությամբ նրա մի գագաթին կից հարթ անկյունների, ստացել են 33000: Գտեք նրա բոլոր հարթ անկյունների գումարը:   Լուծումը

22. (դ) Օգտագործելով նախորդ խնդրի արդյունքը` լուծեք հետևյալ խնդիրը: Հարթությունում տրված են A և B կետերը: Օգտվելով միայն քանոնից` կառուցեք AB հատվածը` այն դեպքում, երբ քանոնի երկարությունը փոքր է A-ից B եղած հեռավորությունից:   Լուծումը

 

Հատած բուրգ

1. (կ) Բուրգի բոլոր կողմնային կողերը հավասար են b, իսկ բարձրությունը հավասար է h: Ինչի՞ է հավասար հիմքին արտագծած շրջանագծի շառավիղը:   Լուծումը

4. Քանի՞ տարբեր բուրգ գոյոթյուն ունի, որի բոլոր կողերը հավասար են l-ի:   Լուծումը

5. (կ) Ապացուցեք, որ եթե բուրգի կողմնային կողերը հիմքի հետ կազմում են հավասար անկյուններ, ապա նրա հիմքը ներգծյալ բազմանկյուն է, և նրան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը գագաթի պրոյեկցիան է:   Լուծումը

6. Եռանկյուն բուրգի հիմքում ընկած է a և b էջերով ուղղանկյուն եռանկյուն: Բուրգի կողմնային կողերը հավասար են l-ի: Գտեք բուրգի բարձրությունը:   Լուծումը

7. (կ) Ապացուցել, որ եթե բուրգի կողմնային կողերը և հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունները իրար հավասար են, ապա բուրգը կանոնավոր է:   Լուծումը       Շարունակությունը

8. Քառանկյուն բուրգի հիմքի երեք հաջորդական կողմերը հավասար են 5, 7, 8: Գտեք հիմքի չորրորդ կողմը, եթե հայտնի է, որ հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունները իրար հավասար են:   Լուծումը

9. ABCD բուրգում ABC նիստի մակերեսը չորս անգամ մեծ է ABD նիստի մակերեսից: CD կողի վրա վերցնենք այնպիսի M կետ, որ CM:MD=2 և նրանով տանենք երկու հարթություն՝ զուգահեռ համապատասխանաբար ABC և ABD նիստերին: Գտեք ստացված հատույթների մակերեսների հարաբերությունը:   Լուծումը

11. Բուրգի AB կողմնային կողի վրա վերցված են K և M կետերն այնպես, որ AK=BM: Այդ կետերով տարված են բուրգի հիմքին զուգահեռ հատույթներ: Հայտնի է, որ այդ հատույթների մակերեսների գումարը հավասար է բուրգի հիմքի մակերեսի 2/3-ին: Գտեք KM:AB հարաբերությունը:   Լուծումը

12. (դ) Բուրգի հիմքին կից բոլոր երկնիստ անկյունները հավասար են α, իսկ հիմքի հետ կողմնային նիստերի կազմած անկյունները հավասար են β: Հայտնի է, որ tg α = k tg β: Քանի՞ կողմ ունի բուրգի հիմքը k = 2 դեպքում: Իսկ ինչի՞ կարող է հավասար լինել k-ն:   Լուծումը

13. Բուրգի հիմքին առընթեր երկնիստ անկյունները հավասար են α, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է S: Գտեք հիմքի մակերեսը:   Լուծումը

14. Եռանկյուն բուրգի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է: Բուրգի բարձրությունը հավասար է h-ի: Բոլոր կողմնային նիստերը հիմքի հետ կազմում են α անկյուն: Գտեք հիմքի մակերեսը: (Դիտարկել բոլոր հնարավորությունները)։   Լուծումը

 

you

ԳրանցումՄուտք

Նրանքսիրում են mathnet.am-ը

Հեղինակիվիդեոները

youtube

top