contact 1 min093 33 73 94                                                    
email min  info@mathnet.am                                                
gre sat
1. Եթե գլանային մակերևույթի որևէ F կետ պատկանում է գլանի առանցքով անցնող կամ առանցքին զուգահեռ α հարթությանը, ապա α հարթությանն է պատկանում F կետով անցնող ծնորդը:

Ապացույց: Ենթադրենք հակառակը` այդ ծնորդը չի պատկանում α հարթությանը: Այդ դեպքում այն կհատեր α հարթությունը: Քանի որ գլանի առանցքը և ծնորդը զուգահեռ են, ապա գլանի առանցքը ևս կհատեր α հարթությունը: Բայց դա հնարավոր չէ, քանի որ, ըստ պայմանի, գլանի առանցքը կամ ընկած է α հարթության  մեջ, կամ զուգահեռ  է  α  հարթությանը: 

Հետևանք: Եթե գլանը հատված է նրա առանցքին զուգահեռ հարթությամբ, ապա գլանային մակերևույթը հատվում է ծնորդներով, և հատույթը ուղղանկյուն է:

Ապացույց: Ըստ 1 կետի գլանային մակերևույթը կհատվի միայն ծնորդներով: Եվ քանի որ գլանի ծնորդները զուգահեռ և հավասար են, ապա հատույթը զուգահեռագիծ է: Բացի այդ, ծնորդները ուղղահայաց են հիմքերին, ուրեմն հատույթը ուղղանկյուն է:

2. Եթե գնդային մակերևույթը հատված է նրա O կենտրոնով չանցնող հարթությամբ, ապա OO1-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը,  որտեղ O1-ը   շրջանագծի  կենտրոնն  է:

hav 1 min

Ապացույց: Դիտարկենք հատույթի երկու տրամագծեր` MN-ը և PK-ն: Քանի որ M, N, P և K կետերը ընկած են գնդային մակերևույթի վրա, ապա OM=ON=OP=OK=R: Հետևաբար MON և PON եռանկյունները հավասարասրուն եռանկյուններ են և նրանց OO1 միջնագիծը նաև բարձրություն է: Այսինքն OO1⊥MN, OO1⊥PK: Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության ուղղահայացության հայտանիշի, OO1-ը ուղղահայաց է հատույթի հարթությանը:

3. Եթե գլանին ներգծված է պրիզմա, ապա պրիզմայի կողմնային կողերը գլանի ծնորդներն են (հետևաբար պրիզման ուղիղ պրիզմա է և  նրա  բարձրությունը  հավասար  է  գլանի  բարձրությանը):

hav 2 min

Ապացույց: Ենթադրենք ABCA1B1C1 պրիզման ներգծված է գլանին: Քանի որ AA1=BB1=CC1 և AA1|| BB1|| CC1, ապա \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում A-ն արտապատկերվում է A1-ի, B-ն` B1-ի և C-ն` C1-ի վրա: \(\overrightarrow {A{A_1}} \)-ով զուգահեռ տեղափոխության դեպքում ստորին հիմքի O կենտրոնը արտապատկերվելու է ինչ-որ O1 կետի: Բայց քանի որ զուգահեռ տեղափոխության դեպքում կետերի հեռավորությունները չեն փոխվում, ապա OA=O1A1, OB=O1B1, և OC=O1C1: Մյուս կողմից OA=OB=OC: Ուրեմն O1A1=O1B1=O1C1: Այսպիսով, O1-ը գլանի վերին հիմքի կենտրոնն է: Ուրեմն AA1=OO1: Վերջինից էլ հետևում է, որ AA1-ն ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Բայց A1 կետով տարված ծնորդը նույնպես ուղղահայաց է գլանի հիմքին: Տրված կետից տրված հարթությանն ուղղահայացի միակությունից էլ հետևում է, որ AA1-ը ծնորդ է:

4. Երկնիստ անկյան ներքին տիրույթում գտնվող և երկնիստ անկյան կողմերից հավասարահեռ կետերը ընկած են այդ անկյան կիսորդի (Երկնիստ անկյան կիսորդ կանվանենք նրա կողը սահման ունեցող այն կիսահարթությունը, որը երկնիստ անկյունը բաժանում է երկու հավասար անկյունների:) վրա:

hav 3 min

Ապացույց: Ենթադրենք K-ն հավասարահեռ է HABQ երկնիստ անկյան կողմերից: K կետից տանենք KL⊥AB,  KN⊥ABQ  և  KM⊥ABH:  KML և KNL ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար կլինեն ըստ էջի և ներքնաձիգի: Հետևաբար ∠KLM=∠KLN:  Բացի այդ, ըստ երեք ուղղահայացների թեորեմի hակադարձի` LN⊥AB և LM⊥AB: Հետևաբար  MLK և NKL անկյունները HABK և KABQ երկնիստ անկյունների գծային անկյուններն  են: Ուրեմն այդ երկնիստ անկյունները հավասար են:

5. Ցանկացած կանոնավոր բուրգի կարելի է ներգծել գունդ:

hav 4 min

Ենթադրենք ունենք SABC կանոնավոր բուրգը: Նրա հիմքի կենտրոնը թող լինի O-ն, իսկ BC կողմի միջնակետը` M-ը: Ցույց տանք, որ SO բարձրության և OMS անկյան կիսորդի հատման O1 կետը հավասարահեռ է SBC կողմնային նիստից և ABC հիմքից:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, իսկ M-ը BC-ի միջնակետն է, ապա OM⊥BC  և  SM⊥BC  (հարթագիծ է): Հետևաբար, ըստ ուղղի և հարթության  ուղղահայացության  հայտանիշի`  BC⊥OMS:

Տանենք O1K⊥SM: Քանի որ BC⊥OMS, ապա BC⊥O1K: Այսպիսով, O1K⊥SM և O1K⊥BC: Ուրեմն O1K-ն O1-ի հեռավորությունն է SBC նիստից: Պարզ է, որ O1-ի հեռավորությունը ABC  հիմքից  O1O-ն  է:

Քանի որ O1-ը պատկանում է OMS անկյան կիսորդին, ապա այն հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից` O1K=O1O: Այսպիսով, O1-ը  հավասարահեռ  է  SBC  նիստից  և  հիմքից:

Ցույց տանք, որ O1 կետի հեռավորությունը մյուս, օրինակ, ASC, նիստից  նույնպես  հավասար  է  OO1-ին:

Քանի որ բուրգը կանոնավոր է, ապա SOM և SOD եռանկյունները, որտեղ D-ն AC-ի միջնակետն է, հավասար են ըստ երեք կողմերի: Հետևաբար ∠MSO=∠DSO: Տանենք O1P⊥SD: Ինչպես O1K-ի դեպքում, այստեղ նույնպես կարելի է ցույց տալ, որ O1P-ն O1-ի հեռավորությունն է ASC նիստից: Դիտարկենք SO1K և SO1P ուղղանկյուն եռանկյունները: Դրանք հավասար են ըստ ներքնաձիգի և նրան առընթեր սուր անկյան (∠MSO=∠DSO): Հետևաբար O1P=O1K=OO1:

Այսպիսով, O1-ը հավասարահեռ է կանոնավոր բուրգի  բոլոր նիստերից: Դա նշանակում  է, որ  կանոնավոր  բուրգին  կարելի  է ներգծել գունդ:

6. Ցանկացած բուրգի, մասնավորապես կանոնավոր բուրգի, որի հիմքը արտագծելի բազմանկյուն է, կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

Ապացույցը համանման է  273 ա) խնդրի ապացույցին:

7. Ցանկացած կանոնավոր պրիզմայի կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

hav 5 min

Ապացույց: Ենթադրենք ունենք ABCA1B1C1 կանոնավոր պրիզման, որի A1B1C1 հիմքի կենտրոնը O1-ն է: Տանենք O1O2⊥ABC: Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, ապա O1O2-ն զուգահեռ է CC1-ին: Բացի այդ, որպես զուգահեռ ուղիղների զուգահեռ հարթությունների միջև ընկած հատվածներ` O1O2=CC1: Այսպիսով, O2O1C1C-ն զուգահեռագիծ է: Հետևաբար O2C=O1C1=R, որտեղ R-ը պրիզմայի հիմքին արտագծած շրջանագծի շառավիղն է: O1O2 հատվածի միջնակետը թող լինի O-ն: ՕՕ1A1, ՕՕ1B1, ՕՕ1C1, ՕՕ2A, ՕՕ2B և ՕՕ2C ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար ՕA1=ՕB1=ՕC1=OA=OB=OC, այսինքն O-ն հավասարահեռ է պրիզմայի գագաթներից: Ուրեմն պրիզմային կարելի է արտագծել գնդային մակերևույթ:

8. Ցանկացած կոնի կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:

hav 6 min

Ապացույց: Թող կոնի առանցքային հատույթը լինի ABC եռանկյունը, իսկ հիմքի կենտրոնը` O կետը: Կոնի BO բարձրության և OCB անկյան կիսորդի հատման կետը թող լինի O1-ը: Տանենք O1K⊥BC: Քանի որ BO-ն կոնի բարձրությունն է, ապա OO1-ն ուղղահայաց է հիմքին և մասնավորապես OC-ին: Քանի որ  O1C-ն կիսորդ է, ապա OO1=O1K: Այսպիսով, O1-ը հավասարահեռ է BC ծնորդից և կոնի հիմքից: Ցույց տանք, որ O1-ը հավասարահեռ է բոլոր ծնորդներից: Դիտարկենք որևէ BD ծնորդ: Տանենք O1M^BD: BOC և BOD ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են ըստ էջերի: Հետևաբար \(\angle COB = \angle DBO\): Այսպիսով, BMO1 և BKO1 ուղղանկյուն եռանկյուններում BO1 ներքնաձիգն ընդհանուր է, իսկ MBO1 և KBO1 սուր անկյունները հավասար են: Ուրեմն այդ եռանկյունները հավասար են: Վերջինից էլ կհետևի, որ O1K=O1M: Այսպիսով, O1-ը հավասարահեռ է կոնի ծնորդներից և հիմքից: Հետևաբար կոնին կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ:

                  

you

ԳրանցումՄուտք

Նրանքսիրում են mathnet.am-ը

Հեղինակիվիդեոները

youtube

top