Հիմա 95  հյուր և 5 գրանցված են օնլայն

contact 1 min093 33 73 94                                                    
email min  info@mathnet.am                                                
gre sat

 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները

 Սինուս 

Կոսինուս

Տանգենս

Կոտանգենս

Ռադիան

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշ արժեքներ

Հիմնական եռանկյունաչափական նույնություններ

Բերման բանաձևերի ալգորիթմ

Երկու անկյունների գումարի ու տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բանաձևեր

Կրկնակի անկյան բանաձևեր

Աստիճան իջեցնելու բանաձևեր

Գումարը արտադրյալի ձևափոխելու բանաձևեր

Արտադրյալը գումարի ձևափոխելու բանաձևեր

Կես անկյան բանաձևեր

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Արկսինուս

Արկկոսինուս

Արկտանգենս

Արկկոտանգենս

Առնչություններ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումներ

Մասնավոր դեպքեր

 

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները

   Դիտարկենք կոորդինատների սկզբնակետում կենտրոն և մեկ միավորի հավասար շառավիղ ունեցող շրջանագիծ (միավոր շրջանագիծ):  Միավոր շրջանագծի վրա նշենք  \({P_0}\left( {1;0} \right)\)  կետը (նկ.1):  \(O{P_0}\) շառավիղը կոչվում է սկզբնական շառավիղ

    Եթե սկզբնական շառավիղը պտտվում է O կետի շուրջը ժամի սլաքի ուղղությամբ, ապա պտտման անկյունը համարվում է բացասական, իսկ եթե սկզբնական շառավիղ պտտվում է O կետի շուրջը ժամի սլաքին հակառակ, ապա պտտման անկյունը համարվում է դրական: Սկզբնական շառավիղը O կետի շուրջը \(\alpha \)  անկյունով պտտելիս  \({P_0}\left( {1;0} \right)\)  կետը անցնում է  \({P_\alpha }\)  կետին: 

tr 1

\({P_\alpha }\) կետի օրդինատը կոչվում է \(\alpha \) անկյան սինուս, իսկ աբսցիսը՝ \(\alpha \)  անկյան կոսինուս:

\(\alpha \) անկյան տանգենս է կոչվում \(\alpha \) անկյան սինուսի հարաբերությունը կոսինուսին:

\(\alpha \) անկյան կոտանգենս է կոչվում \(\alpha \) անկյան կոսինուսի հարաբերությունը սինուսին:

Մեկ ռադիանի անկյունը այն կենտրոնական անկյունն է, որը շրջանագծից անջատում է նրա շառավղին հավասար երկարությամբ աղեղ:

tr 2

1 ռադ \( = \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\), \({1^0} = \frac{\pi }{{180}}\), մասնավորապես, \({180^0} = \pi \) ռադ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները
 
tr 3
          tr 4tr 5
 
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ
 
 
Հիմնական եռանկյունաչափական նույնություններ
 
\(1.\,\,tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
 
\(2.\,\,ctg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
 
\(3.\,\,tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1\)
 
\(4.\,\,{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
 
\(5.\,\,1 + t{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
 
\(6.\,\,1 + ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)
 
\(7.\,\,\sin ( - \alpha {\rm{)}} = - {\rm{sin}}\alpha \)
 
\(8.\,\,\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \)
 
\(9.\,\,tg\left( { - \alpha } \right) = - tg\alpha \)
 
\(10.\,\,ctg\left( { - \alpha } \right) = - ctg\alpha \)
 
Բերման բանաձևերի ալգորիթմ
 
   1) Եթե \(\alpha \)-ին (կամ \(-\alpha \)-ին) գումարվում է  \(\frac{{\pi k}}{2},\,\,\,k \in Z\), ապա.
       ա) երբ \(k\)-ն զույգ է, ֆունկցիան չի փոխվում;
       բ) երբ \(k\)-ն կենտ է, ֆունկցիան փոխվում է, ընդ որում` սինուսը կոսինուսով, կոսինուսը սինուսով, տանգենսը կոտանգենսով և կոտանգենսը տանգենսով:
   2) եթե \(\alpha \)-ն համարենք սուր, ապա գրվում է այն նշանը, որը ունի ձախ կողմը:
 
Երկու անկյունների գումարի ու տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բանաձևեր
 
\(1.\,\,\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \cos \alpha \)
 
\(2.\,\,\,\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \cos \alpha \)
 
\(3.\,\,\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \beta \cdot \sin \alpha \)
 
\(4.\,\,\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \beta \cdot \sin \alpha \)
 
\(5.\,\,tg\left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{tg\alpha + tg\beta }}{{1 - tg\alpha \cdot tg\beta }}\)
 
\(6.\,\,tg\left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{tg\alpha - tg\beta }}{{1 + tg\alpha \cdot tg\beta }}\)
 
\(7.\,\,ctg\left( {\alpha + \beta } \right) = - \frac{{1 - ctg\alpha \cdot ctg\beta }}{{ctg\alpha + ctg\beta }}\)
 
\(8.\,\,ctg\left( {\alpha - \beta } \right) = - \frac{{1 + ctg\alpha \cdot ctg\beta }}{{ctg\alpha - ctg\beta }}\)
 
Կրկնակի անկյան բանաձևեր
 
\(1.\,\,\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \)
 
\(2.\,\,\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \)
 
\(3.\,\,\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)
 
\(4.\,\,\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \)
 
\(5.\,\,tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}\)
 
\(6.\,\,ctg2\alpha = \frac{{ct{g^2}\alpha - 1}}{{2ctg\alpha }}\)
 
Աստիճան իջեցնելու բանաձևեր
 
\(1.\,\,{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\)
 
\(2.\,\,{\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\)
 
Գումարը արտադրյալի ձևափոխելու բանաձևեր
 
\(1.\,\,\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\)
 
\(2.\,\,\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\)
 
\(3.\,\,\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\)
 
\(4.\,\,\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\)
 
\(5.\,\,tg\alpha + tg\beta = \frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}\)
 
\(6.\,\,tg\alpha - tg\beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}\)
 
\(7.\,\,ctg\alpha + ctg\beta = \frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}\)
 
\(8.\,\,ctg\alpha - ctg\beta = - \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}\)
 
Արտադրյալը գումարի ձևափոխելու բանաձևեր
 
\(1.\,\,\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{{\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}\)
 
\(2.\,\,\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{{\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}\)
 
\(3.\,\,\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{2}\)
 
Կես անկյան բանաձևեր
 
\(1.\,\,\sin \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}} \)
 
\(2.\,\,\cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} \)
 
\(3.\,\,tg\frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
 
\(4.\,\,ctg\frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
 
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
 
 
\(1.\,\,a\,\,\,\left( {\left| a \right| \le 1} \right)\)  թվի արկսինուս են անվանում \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) հատվածի այն թիվը, որի սինուսը a  է.

\(\arcsin a = \alpha \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]}\\ {\sin \alpha = a} \end{array}} \right.\)

 
\(2.\,\,a\,\,\,\left( {\left| a \right| \le 1} \right)\)  թվի արկկոսինուս են անվանում \(\left[ {0;\pi } \right]\) հատվածի այն թիվը, որի կոսինուսը a  է.

\(\arccos a = \alpha \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]}\\
{\cos \alpha = a}
\end{array}} \right.\)

 
\(3.\,\,a\,\,\,\left( {\left| a \right| \le 1} \right)\)  թվի արկտանգենս են անվանում \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) հատվածի այն թիվը, որի տանգեսը a  է.

\(arctga = \alpha \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)}\\ {tg\alpha = a} \end{array}} \right.\)

 
\(4.\,\,a\,\,\,\left( {\left| a \right| \le 1} \right)\)  թվի արկկոտանգենս են անվանում \(\left( {0;\pi } \right)\) հատվածի այն թիվը, որի կոտանգենսը a  է.

\(arcctga = \alpha \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha \in (0;\pi )}\\ {ctg\alpha = a} \end{array}} \right.\)

 
Առնչություններ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև
 
\(1.\,\,\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi }{2},\,\,\,a \in \left[ { - 1;\,\,\,1} \right]\)
 
\(2.\,\,arctga + arcctga = \frac{\pi }{2},\,\,a \in R\)
 
\(3.\,\,\sin \left( {\arccos a} \right) = \sqrt {1 - {a^2}} ,\,\,a \in \left[ { - 1;\,\,\,1} \right]\)
 
\(4.\,\,\cos \left( {\arcsin a} \right) = \sqrt {1 - {a^2}} ,\,\,a \in \left[ { - 1;\,\,\,1} \right]\)
 
\(5.\,\,ctg\left( {arctga} \right) = \frac{1}{a},\,\,a \ne 0\)
 
\(6.\,\,tg\left( {arcctga} \right) = \frac{1}{a},\,\,a \ne 0\)
 
Եռանկյունաչափական հավասարումներ
 
Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումներ
 
\(1.\,\,\sin x = a\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = {\left( { - 1} \right)^n}arcsin a + \pi n,\,\,\,\,\,n \in Z,\,\,\,\,\,\left| a \right| \le 1\\ \emptyset,\,\,\,\,\,\,\,\left| a \right| > 1 \end{array} \right.\)
 
\(2.\,\,\cos x = a\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = \pm \arccos a + 2\pi n,\,\,\,\,\,n \in Z,\,\,\,\,\,\left| a \right| \le 1\\ \emptyset ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| a \right| > 1 \end{array} \right.\)
 
\(3.\,\,tgx = a\,\, \Leftrightarrow \,\,x = arctga + \pi n,\,n \in Z\)
 
\(4.\,\,ctgx = a\,\, \Leftrightarrow \,\,x = arcctga + \pi n,\,n \in Z\)
 
 Մասնավոր դեպքեր
 
\(1.\,\,\sin x = - 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(x = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,n \in Z\)
 
\(2.\,\,\sin x = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(x = \pi n,\,\,n \in Z\)
 
\(3.\,\,\sin x = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,n \in Z\)
 
\(4.\,\,\cos x = - 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(x = \pi + 2\pi n,\,\,n \in Z\)
 
\(5.\,\,\cos x = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(x = \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,n \in Z\)
 
\(6.\,\,\cos x = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\) \(x = 2\pi n,\,\,n \in Z\)
 
 
 

Մուտքկամ գրանցում

you

ԳրանցումՄուտք

Նրանքսիրում են mathnet.am-ը

Հեղինակիվիդեոները

youtube

top