Ֆունկցիայի սահմանումը

Դիցուք տրված են X և Y ոչ դատարկ բազմությունները: Այնպիսի համապատասխանությունը, որի դեպքում X բազմության յուրաքանչյուր տարրի համապատասխանում է միայն մեկ տարր Y բազմությունից, անվանում են ֆունկցիա  տրված (որոշված) X  բազմության վրա, որի արժեքները Y բազմությունից են:

Ֆունկցիան անվանում են թվային, եթե  X և Y բազմությունների տարրերը թվեր են:

\(x \in X\) փոփոխականն անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ համապատասխան \(y \in Y\) փոփոխականը`կախյալ փոփոխական: Ասում են y փոփոխականը ֆունկցիա է x փոփոխականից կամ  y-ը  x-ի  ֆունկցիա է:

Որոշման և արժեքների տիրույթներ

x փոփոխականի բոլոր արժեքները (X բազմությունը) անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ, որը նշանակվում է  \(D(f)\)-ով:

Այն \(y \in Y\) տարրերի բազմությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը գոնե մեկ \(x \in X\) տարրի է համապատասխանում անվանում են ֆունկցիայի արժեքների բազմություն կամ արժեքների տիրույթ, որը նշանակվում է  \(E(f)\)-ով կամ  \(E(y)\)-ով  \((E(f) \subset Y)\):

ֆունկցիայի զրոներն ու նշանապահպանության միջակայքերը

\(y = f(x)\) ֆունկցիայի զրոներ անվանում են \(f(x) = 0\) հավասարման արմատները: Եթե \({x_1},\,{x_2},\,...,\,{x_n}\) թվերը \(y = f(x)\) ֆունկցիայի  զրոներն  են,  ապա  այդ  ֆունկցիայի  գրաֆիկը  \(x\)-երի առանցքը հատում է \({x_1},\,{x_2},\,...,\,{x_n}\)  աբսցիսներ ունեցող կետերում:

X միջակայքն անվանում են \(y = f(x)\) ֆունկցիայի նշանապահպանության միջակայք, եթե այդ միջակայքում \(y = f(x)\) ֆունկցիան ընդունում է միևնույն նշանի արժեքներ:

Ֆունկցիաների հատկությունները

   1. Ֆունկցիայի մոնոտոնությունը 

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են  X բազմության վրա աճող, եթե այդ բազմությանը պատկանող արգումենտի ավելի մեծ արժեքին համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեք, այսինքն եթե ցանկացած \({x_1},\,{x_2} \in\)X թվերի համար \({x_1} < {x_2}\) անհավասարությունից հետևում է, որ  \(f({x_1}) < f({x_2})\):

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են X բազմության վրա նվազող, եթե այդ բազմությանը պատկանող արգումենտի ավելի մեծ արժեքին համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեք, այսինքն եթե ցանկացած \({x_1},\,{x_2} \in\)X թվերի համար \({x_1} < {x_2}\)  անհավասարությունից հետևում է, որ  \(f({x_1}) > f({x_2})\):

Ֆունկցիան անվանում են աճող (նվազող), եթե   այն   աճող   է   (համապատասխանաբար`  նվազող   է)   իր որոշման տիրույթում:

Աճող և նվազող ֆունկցիաներն ունեն ընդհանուր անվանում` մոնոտոն ֆունկցիաներ:

   2. Ֆունկցիայի սահմանափակությունը

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են վերևից սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M թիվ, որ ցանկացած \(x \in D(f)\)  համար  \(f(x) \le M\):

Գրաֆիկորեն դա նշանակում է, որ \(y=M\) ուղղից վեր այդ ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող կետեր գոյություն չունեն:

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են ներքևից սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի m թիվ, որ ցանկացած \(x \in D(f)\)  համար \(f(x) \ge m\):

Գրաֆիկորեն  դա  նշանակում  է,  որ \(y=m\) ուղղից ներքև այդ ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող կետեր գոյություն չունեն:

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ է և վերևից, և ներքևից:

Գրաֆիկորեն դա նշանակում է, որ այդ ֆունկցիայի գրաֆիկը ընկած է \(y=m\) և \(y=M\) ուղիղներով սահմանափակված շերտի մեջ:

Եթե գոյություն ունի ֆունկցիայի արժեքների բազմությանը պատկանող մեծագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի մեծագույն արժեք, հակառակ դեպքում ֆունկցիան մեծագույն արժեք չունի: 

Եթե գոյություն ունի ֆունկցիայի արժեքների բազմությանը պատկանող փոքրագույն թիվ, ապա այն անվանում են ֆունկցիայի փոքրագույն արժեք, հակառակ դեպքում ֆունկցիան փոքրագույն արժեք չունի: 

   3․ Ֆունկցիայի զույգությունը 

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են զույգ ֆունկցիա, եթե ցանկացած  \(x \in D(f)\)-ի  համար

   ա) \( - x \in D(f)\),   բ) \(f( - x) = f(x)\):

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ:

\(y = f(x)\) ֆունկցիան անվանում են կենտ ֆունկցիա, եթե ցանկացած  \(x \in D(f)\)-ի  համար

   ա)  \( - x \in D(f)\),   բ) \(f( - x) = -f(x)\):

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:

Նշենք, որ ֆունկցիան կարող է լինել  ոչ զույգ և ոչ էլ կենտ:

   4․ Ֆունկցիայի պարբերականությունը

\(y=f(x)\) ֆունկցիան անվանում են պարբերական,  եթե գոյություն ունի այնպիսի \(T \ne 0\) թիվ, որ այդ ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ցանկացած \(x\)  թվի համար

1)  \(x \pm T \in D(f)\),   2)  \(f(x + T) = f(x)\):

Այդպիսի \(T\) թիվն անվանում են   ֆունկցիայի պարբերություն:

Պարբերական ֆունկցիայի փոքրագույն դրական պարբերությունն անվանում են հիմնական պարբերություն:

Եթե ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը  \({T_0}\)-ն է, ապա ասում են, որ ֆունկցիան  \({T_0}\)-պարբերական է:

Գործողություններ ֆունկցիաների հետ

Տրված  \(y = f(x)\)  և  \(y = g(x)\) ֆունկցիաների գումար (տարբերություն) անվանում են այն \(y = F(x)\) ֆունկցիան, որը որոշված է \(D(F) = D(f) \cap D(g)\) բազմության վրա և \(F(x)=f(x)+g(x)\)  \((F(x)=f(x)-g(x))\):

Տրված \(y = f(x)\)  և  \(y = g(x)\) ֆունկցիաների արտադրյալ անվանում են այն \(y = F(x)\) ֆունկցիան, որը որոշված է  \(D(F) = D(f) \cap D(g)\)  բազմության վրա և  \(F(x) = f(x) \cdot g(x)\):

Տրված \(y = f(x)\)  և  \(y = g(x)\) ֆունկցիաների քանորդ անվանում են այն   ֆունկցիան, որը որոշված է \(D(f) \cap \left\{ {D(g):\,g(x) \ne 0} \right\}\)  բազմության վրա և  \(F(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\):

Տրված \(y = f(x)\)  և  \(y = g(x)\) ֆունկցիաների համադրույթ (կոմպոզիցիա) անվանում են այն \(y = F(x)\) ֆունկցիան, որը որոշված է այն \(x\)-երի բազմության վրա  \(D(g)\)-ից, որ \(g(x) \in D(f)\)  և  \(F(x) = f(g(x)):\)

Այս դեպքում ասում են, որ \(F\)-ը բարդ ֆունկցիա է:

Այն որ  \(F(x)\)-ը  \(f(x)\)   և   \(g(x)\)  ֆունկցիաների համադրույթն է գրվում է նաև այսպես.  \(F(x) = f \circ g\): \(f(x)\)   և   \(g(x)\)    ֆունկցիաները կարող են համադրվել նաև այլ կերպ`  \(F(x) = g \circ f\):

Գծային ֆունկցիա

\(y = kx + b\) բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ \(x\)-ը անկախ փոփոխական է, իսկ  \(k\)-ն  և  \(b\)-ն ինչ-որ հաստատուններ, անվանում են գծային ֆունկցիա:

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

\(k\)-ն անվանում են ուղղի անկյունային գործակից: Այն հավասար է ուղղի և \(x\)-երի առանցքի դրական ուղղության կազմած անկյան տանգենսին:

Եթե  \(k=0\), ապա ստացվում է  \(y=b\) հաստատուն ֆունկցիան:

Գծային ֆունկցիայի մասնավոր դեպք է նաև ուղիղ համեմատականության  ֆունկցիան` \(y=kx\),  որտեղ \(k\)-ն  զրոյից տարբեր հաստանուն է:

Ուղիղների փոխդասավորությունը 

\(y = {k_1}x + {b_1}\)  և  \(y = {k_2}x + {b_2}\) ուղիղներ

ա) հատվում են, եթե  \({k_1} \ne {k_2}\),

բ) զուգահեռ են եթե \({k_1} = {k_2},\,\,\,{b_1} \ne {b_2}\),  

գ) համընկնում են, եթե  \({k_1} = {k_2},\,\,\,{b_1} = {b_2}\):

Քառակուսային ֆունկցիա

\(y = a{x^2} + bx + c\)  բանաձևով տրված ֆունկցիան, որտեղ   \(x\)-ը անկախ փոփոխական է, իսկ  \(a\)-ն,    \(b\)-ն  և    \(c\)-ն ինչ-որ հաստատուններ, ընդ որում  \(a \ne 0\), անվանում են քառակուսային ֆունկցիա:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկն անվանում են պարաբոլ: Պարաբոլի և նրա համաչափության առանցքի հատման կետն անվանում են պարաբոլի գագաթ:

\(y=x^3\) ֆունկցիան

\(y=x^3\)  ֆունկցիայի գրաֆիկն անվանում են խորանարդային պարաբոլ:

Բնական ցուցիչով աստիճանային ֆունկցիա

\(y = {x^n}\)  ֆունկցիան, որտեղ  n-ը բնական թիվ է, անվանում են բնական ցուցիչով աստիճանային ֆունկցիա:

\(y = \frac{k}{x}\)  \((k \ne 0)\) հակադարձ  համեմատականության ֆունկցիան

Հակադարձ համեմատականության ֆունկցիայի գրաֆիկն անվանում են հիպերբոլ:

Հակադարձ ֆունկցիա

\(\phi\) ֆունկցիան անվանում են \(D\) բազմության վրա որոշված \(f\) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա, եթե այն որոշված է \(f\) ֆունկցիայի արժեքների \(E\) բազմության վրա և \(D\)  բազմության ցանկացած  \(x\)-ի համար \(\phi (f(x)) = x\):

Եթե ֆունկցիան ունի հակադարձ, այն անվանում են հակադարձելի:

Եթե \(\phi\) ֆունկցիան \(f\) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է, ապա \(f\) ֆունկցիան իր հերթին \(\phi\) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է: Ասում են, որ \(f\) և \(\phi\)  ֆունկցիաները փոխհակադարձ են:

Հակադարձ ֆունկցիայի գրաֆիկը կարող եք ստանալ նաև \(y=x\) ուղղի նկատմամբ տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի համաչափը կառուցելով:

\(y = \sqrt[n]{x}\)  ֆունկցիան \((n \ge 2)\)

Զույգ  n-երի համար \(y = \sqrt[n]{x}\) ֆունկցիան  \(y = {x^n}\)  ֆունկցիայի հակադարձն է  \([0;\, + \infty )\) միջակայքում:

Կենտ  n-երի համար \(y = \sqrt[n]{x}\)  ֆունկցիան  \(y = {x^n}\)  ֆունկցիայի հակադարձն է  \((-\infty;\, + \infty )\) միջակայքում:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները տես տեղեկատուի "Եռանկյունաչափություն" բաժնում։

Ցուցչային ֆունկցիա

\(y = {a^x}\) ֆունկցիան, որտեղ \(a\)-ն մեկից տարբեր դրական թիվ է (\(a > 0,\,\,a \ne 1\)) անվանում են ցուցչային ֆունկցիա։

Լոգարիթմական ֆունկցիա

\(y=a^x\) ֆունկցիան  աճող (\(a>1\)) կամ նվազող է (\(0<a<1\)): Հետևաբար այն հակադարձելի է: Ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան անվանում են լոգարիթմական ֆունկցիա` \(y = {\log _a}x\):

\(y=a^x\)  և  \(y = {\log _a}x\)  ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են  \(y=x\) ուղղի նկատմամբ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

\(y = f(x)\)  ֆունկցիայի գրաֆիկ  անվանում են կոորդինատային հարթության  \((x\,;\,f(x))\)  կետերի բազմությունը, որտեղ  \(x \in D(f)\):

Որպեսզի կոորդինատային հարթության կետերի բազմությունը լինի ֆունկցիայի գրաֆիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ  Oy առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ այդ բազմության հետ ունենա ոչ ավել քան մեկ ընդհանուր կետ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ձևափոխություններ (Համապատասխան մոդելներն այստեղ)

1․ \(y = f(x) + a\)  ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար անհրաժեշտ է \(y = f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով a-ով տեղաշարժել:

2․ \(y = f(x+b)\)  ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար անհրաժեշտ է ֆունկցիայի \(y = f(x)\) գրաֆիկը x-երի առանցքի երկայնքով –b-ով տեղաշարժել:

3․ \(y = f(x)\) և \(y = f(-x)\) ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են  y-ների առանցքի նկատմամբ:

4․ \(y = f(x)\) և \(y = -f(x)\) ֆունկցիաների գրաֆիկները համաչափ են  x-երի առանցքի նկատմամբ:

5․ \(y =f(kx)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը, կառուցելու համար անհրաժեշտ է \(y = f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը  x-երի առանցքի երկայնքով դեպի y-ների առանցքը k անգամ "սեղմել", եթե k>1

     և  \(\frac{1}{k}\)  անգամ  "ձգել", հեռացնելով y-ների առանցքից,  եթե  0<k<1: 

6․ \(y = Af(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը, կառուցելու համար անհրաժեշտ է \(y = f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով A անգամ "ձգել", հեռացնելով x-երի առանցքից, եթե A>1

     և  \(\frac{1}{A}\)  անգամ "սեղմել" դեպի x-երի առանցքը,  եթե  0<A<1:

7․ \(y = f(\left| x \right|)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը, կառուցելու համար պետք է ոչ բացասական x-երի համար կառուցել \(y = f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկը, իսկ բացասական x-երին համապատասխանող մասը ստանալ նրանից` y-ների առանցքի նկատմամբ նրա համաչափը կառուցելով:

8․ \(y = \left| {f(x)} \right|\) ֆունկցիայի գրաֆիկը, կառուցելու համար պետք է վերցնել \(y = f(x)\) ֆունկցիայի գրաֆիկի այն մասը, որը գտնվում է  x-երի առանցքի վրա և նրանից վեր, իսկ x-երի առանցքից ներքև գտնվող մասը x-ների առանցքի նկատմամբ համաչափ արտապատկերել:

Էլեմենտար ֆունկցիաների գրաֆիկները

 

Մաթեմատիկա