Հատվածի միջնակետի կոորդինատները

 Հատվածի երկարությունը

 Շրջանագծի հավասարումը

 Վեկտոր

 Զրոյական վեկտոր

 Վեկտորի երկարությունը

 Համագիծ վեկտորներ

 Համուղղված վեկտորներ

 Հակուղղված վեկտորներ

 Հավասար վեկտորներ

 Վեկտորների գումարման

      եռանկյան կանոնը

      զուգահեռագծի կանոնը

 Գումարի հատկությունները

 Վեկտորների տարբերությունը

 Հակադիր վեկտոր

 Վեկտորի և թվի արտադրյալը

 Արտադրյալի հատկությունները

 Միավոր վեկտորներ

 Վեկտորի կոորդինատները

 Վեկտորի երկարությունը կոորդինատներով

 Վեկտորների գումարը կոորդինատներով

 Վեկտորների տարբերությունը կոորդինատներով

 Վեկտորի և թվի արտադրյալը կոորդինատներով

 Վեկտորների սկալյար արտադրյալը

 Վեկտորների ուղղահայացության պայմանը

 Վեկտորների սկալյար արտադրյալը կոորդինատներով

Վեկտորների կազմած անկյունը

 

♦  \(A({x_1};{y_1})\) և \(B({x_2};{y_2})\) ծայրակետերով AB հատվածի միջնակետի կոորդինատները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով. \({x_0} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\),  \({y_0} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\):

♦ \(A({x_1};{y_1})\) և \(B({x_2};{y_2})\) ծայրակետերով AB հատվածի \({d_{AB}}\) երկարությունը հավասար է` \({d_{AB}} = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}}\):

♦ \(O({x_0};{y_0})\) կենտրոնով և R շառավղով շրջանագծի հավասարումն է` \({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {R^2}\):

♦ Հատվածը, որի համար նշված է սկիզբն ու վերջը, կոչվում է ուղղորդված հատված  կամ վեկտոր:

♦ Վեկտորը, որի սկիզբն ու վերջը համընկնում են, կոչվում է զրոյական վեկտոր  (\({\overrightarrow 0 }\)):

♦ Ոչ զրոյական \(\overrightarrow {AB} \) վեկտորի երկարություն  կամ մոդուլ  կոչվում է AB հատվածի երկարությունը. \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\):

♦ Զրոյական վեկտորի երկարությունը համարվում է հավասար զրոյի. \(\left| {\overrightarrow 0 } \right| = 0\): 

♦ Համագիծ վեկտորներ են կոչվում այն ոչ զրոյական վեկտորները, որոնք գտնվում են կամ նույն ուղղի, կամ զուգահեռ ուղիղների վրա:

♦ Զրոյական վեկտորը համարվում է համագիծ ցանկացած վեկտորի:

♦ Ոչ համագիծ վեկտորները կոչվում են տարագիծ վեկտորներ:

♦ Համուղղված վեկտորներ են կոչվում այն համագիծ վեկտորները, որոնց սկզբնակետերը զուգահեռ տեղափոխությամբ համընկեցնելիս ծայրակետերը գտնվում են սկզբնակետի միևնույն կողմում:

♦ Հակուղղված վեկտորներ են կոչվում այն համագիծ վեկտորները, որոնց սկզբնակետերը զուգահեռ տեղափոխությամբ համընկեցնելիս ծայրակետերը գտնվում են սկզբնակետի տարբեր կողմում:

♦ Հավասար վեկտորներ են կոչվում այն վեկտորները, որոնք համուղղված են և ունեն հավասար երկարություն. \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a  \uparrow  \uparrow \overrightarrow b ,\,\,\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\):

♦ Վեկտորների գումարման եռանկյան կանոնը.

♦ Ցանկացած \(\overrightarrow a \),  \(\overrightarrow b \) և \(\overrightarrow c \) վեկտորների համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները. 1) \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a\);    2) \((\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + (\overrightarrow b  + \overrightarrow c )\)

♦ Վեկտորների գումարման զուգահեռագծի կանոնը.

 

♦ \(\overrightarrow a \) և \(\overrightarrow b \) վեկտորների տարբերություն կոչվում է այն վեկտորը, որի և \(\overrightarrow b \) վեկտորի գումարը հավասար է \(\overrightarrow a \) վեկտորին:

♦ \(\overrightarrow {{a_1}}\) վեկտորը կոչվում է \(\overrightarrow a \) վեկտորին հակադիր վեկտոր,  եթե \(\overrightarrow a \) և \(\overrightarrow {{a_1}}\)  վեկտորներն ունեն հավասար երկարություն և հակուղղված են. \(\overrightarrow {{a_1}}  =  - \overrightarrow a \)։

♦ Ցանկացած \(\overrightarrow a \) և \(\overrightarrow b \) վեկտորների համար տեղի ունի հավասարությունը․ \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \overrightarrow a  + ( - \overrightarrow b )\):

♦ Ոչ զրոյական \(\overrightarrow a \) վեկտորի և k թվի արտադրյալ կոչվում է այն \(\overrightarrow b \) վեկտորը, որի երկարությունը հավասար է \(\left| k \right| \cdot \left| a \right|\), ընդ որում` \(\overrightarrow a \) և \(\overrightarrow b \)վեկտորները համուղղված են, եթե k ≥ 0, և հակուղղված են, եթե k < 0:

Զրոյական վեկտորի և կամայական թվի արտադրյալը համարվում է զրոյական վեկտոր:

♦ Ցանկացած k, l թվերի և ցանկացած  \(\overrightarrow a \) և  \(\overrightarrow b \) վեկտորների համար. 1) \( (kl)\overrightarrow a  = k(l\overrightarrow a )\);  2) \( (k + l)\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + l\overrightarrow a \);  3) \( k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b \):

♦ Եթե \(\overrightarrow a \) և \(\overrightarrow b \) վեկտորները համագիծ են, և  \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \), ապա գոյություն ունի այնպիսի k թիվ, որ \(\overrightarrow b  = k\overrightarrow a \):

♦ Ցանկացած վեկտոր կարելի է վերլուծել ըստ տրված երկու տարագիծ վեկտորների, ընդ որում` վերլուծման գործակիցները որոշվում են միարժեք:

♦ Ox և Oy կոորդինատային առանցքներով ուղղված միավոր վեկտորները համապատասխանաբար նշանակվում են \(\overrightarrow i \)-ով և  \(\overrightarrow j \)-ով:

♦ Եթե \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j \), ապա x և y թվերը կոչվում են վեկտորի կոորդինատներ:

♦ \(A({x_1};{y_1})\) և \(B({x_2};{y_2})\) ծայրակետերով վեկտորի կոորդինատները հավասար են \(\{ {x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}\} \):

♦ \(\overrightarrow a \left\{ {{x_1};{y_1}} \right\}\) վեկտորի երկարությունը` \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} \):

♦ Երկու վեկտորների գումարի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների գումարին. \(\overrightarrow a \left\{ {{x_1};{y_1}} \right\} + \overrightarrow b \left\{ {{x_2};{y_2}} \right\} = \overrightarrow c \left\{ {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2}} \right\}\):

♦ Երկու վեկտորների տարբերության յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է այդ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների տարբերությանը. \(\overrightarrow a \left\{ {{x_1};{y_1}} \right\} - \overrightarrow b \left\{ {{x_2};{y_2}} \right\} = \overrightarrow c \left\{ {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2}} \right\}\):

♦ Վեկտորի և թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատը հավասար է վեկտորի համապատասխան կոորդինատի և այդ թվի արտադրյալին. \(k \cdot \overrightarrow a \left\{ {{x_1};{y_1}} \right\} = \overrightarrow c \left\{ {k \cdot {x_1};k \cdot {y_1}} \right\}\):

♦ Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալ  է կոչվում նրանց երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի արտադրյալը. \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\cos \alpha \):

♦ Ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը 0 է այն և միայն այն դեպքում, երբ այդ վեկտորներն ուղղահայաց են. \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\alpha  = {90^0}\), որտեղ \(\alpha \)-ն \(\overrightarrow a \) և \(\overrightarrow b \) վեկտորների կազմած անկյունն է:

♦ \(\overrightarrow a \left\{ {{x_1};{y_1}} \right\}\) և \(\overrightarrow b \left\{ {{x_2};{y_2}} \right\}\) վեկտորների սկալյար արտադրյալը` \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\):

♦ \(\overrightarrow a \left\{ {{x_1};{y_1}} \right\}\) և \(\overrightarrow b \left\{ {{x_2};{y_2}} \right\}\) վեկտորների կազմած անկյունը կարելի է գտնել \(\cos \alpha  = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}\) բանաձևով։

 

Հարթաչափություն