8-րդ դասարան VI

1. Գրքից պոկվել է մի մասը, որի առաջին էջի համարը 143 է, իսկ վերջին էջի համարը կազմված է նույն թվանշաներից, բայց այլ կարգով է գրված: Քանի՞ էջ է պոկվել գրքից:

2. Տրված է 1! · 2! · 3! · … · 20! արտադրյալը, որտեղ n! = 1 · 2 · 3 · … · n : Ո՞ր արտադրիչը պետք է ջնջել, որպեսզի մնացած արտադրյալը լինի ինչ-որ բնական թվի քառակուսի:

3. Եռանիշ թիվը 13-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 11, 11-ի բաժանելիս` 9 մնացորդ, իսկ 7- բաժանելիս` 5 մնացորդ: Գտեք այդ թիվը:

4. ABC հավասարակողմ եռանկյան AC կողմի վրա գտնվող M կետից մյուս կողմերին տարված զուգահեռ ուղիղները AB և BC կողմերը հատում են համապատասխանաբար K և N կետերում: Ապացուցեք, որ NK>=1/2 AB:

Լուծումներն ուղարկեք միայն This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. հասցեով, մինչև հունվարի 10-ը:

Հիմնավորեք լուծումները, միայն պատասխանները մի ուղարկեք: Նշեք Ձեր և Ձեր մաթեմատիկայի ուսուցչի անունը, ազգանունը, դպրոցն ու դասարանը:

Մրցույթի արդյունքները ամփոփված են (տես հաղթողներ բաժինը): Տեղադրում եմ խնդիրների լուծումները:

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

1. Պոկված մասի առաջին էջի համարը կենտ է (143), հետևաբար վերջին էջինը զույգ է: Եվ քանի որ նույն թվանշաններից է կազմված, ապա վերջին էջի համարը 314 է: Գրքում մնացել են, պոկվածներին նախորդող, 142 էջերը: Ուերմն պոկված էջերի քանակը կլինի 314-142=172:

2. Նկատենք, որ 1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =

= (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) =

= (1!)^2 · (3!)^2 · (5!)^2 ·…· (19!)^2 · (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =

= (1!)^2 · (3!)^2 · (5!)^2 ·…· (19!)^2 · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =

= (1! · 3! ·…· 19!)^2 · 2^10 · (1 · 2 · 3 ·…· 10) = (1! · 3! ·…· 19!)^2 (2^5)^2 · 10!

Ստացված տեսքում առաջին երկու արտադրիչները ինչ-որ բնական թվերի քառակուսիներ են, հետևաբար պետք է ջնջել 10!-ը:

3. Ենթադրենք` այդ թիվը n-ն է: Ուրեմն n+2-ը կբաժանվի և 13-ի, և 11-ի, և 7-ի: Հետևաբար n+2=13*11*7*k=1001k, որտեղ k-ն բնական թիվ է: Քանի որ n-ը եռանիշ է, ապա k=1, իսկ n=999:

4. K և N կետերից AC կողմին տանենք KE և NF ուղղահայացները: Դժվար չէ համոզվել, որ AKM և MNC եռանկյունները հավասարակողմ են: Ուրեմն, AF=EM, MF=FC: Հետևաբար EF=AC/2=AB/2: Եթե KN-ը զուգահեռ չէ AC-ին, ապա KN>EF=AB/2. իսկ եթե զուգահեռ է, ապա KN=EF=AB/2: Այսպիսով, KN>=AB/2:

6_8_4