1. n-ի ի՞նչ ամենափոքր արժեքի դեպքում 12…21 թիվը, որտեղ n-ը 2-ների քանակը է, կբաժանվի 99-ի:

2. Գտեք երկու թվերի հարաբերությունը, եթե նրանց թվաբանական միջինի հարաբերությունը երկրաչափական միջինին 25/24 է:

3. Հայտնի է, որ k-ի ինչ-որ բնական արժեքի դեպքում և 4k + 5, և 9k + 4 արտահայտությունները լրիվ քառակուսիներ են: Ի՞նչ արժեք կարող է ունենալ նույն k-ի համար 7k + 4 արտահայտությունը:

4. ABCD քառանկյան BD անկյունագիծն ուղղահայաց է AB կողմին, իսկ AC անկյունագիծը` CD կողմին: Գտեք AD և BC կողմերի միջնակետերի հեռավորությունը, եթե AD=34, BC=16:

 Լուծումներն ուղարկեք միայն This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. հասցեով, մինչև հունվարի 10-ը:

Հիմնավորեք լուծումները, միայն պատասխանները մի ուղարկեք: Նշեք Ձեր և Ձեր մաթեմատիկայի ուսուցչի անունը, ազգանունը, դպրոցն ու դասարանը:

Մրցույթի արդյունքները ամփոփված են (տես հաղթողներ բաժինը): Տեղադրում եմ խնդիրների լուծումները:

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

1. Նկատենք, որ 12…21=11*11...11 (ընդ որում  եթե ձախ կողմում կա n հատ երկու, ապա աջ կողմում կա n+1 հատ1), իսկ 99=11*9: Այսպիսով, որպեսզի 12…21-ը բաժանվի 99-ի, պետք է, որ 11...11-ը բաժանվի 9-ի: Իսկ ամենափոքր n-ը, որի դեպքում դա տեղի կունենա n=8-ն է:

3. Ենթադրենք 4k + 5 = m^2 և 9k + 4 = n^2, որտեղ m-ն ու n-ը ինչ-որ բնական թվեր են: Այդ դեպքում մի կողմից 9m^2 – 4n^2 = 29, մյուս կողմից 9m^2 – 4n^2 = (3m – 2n)(3m + 2n): Քանի որ 29-ը պարզ թիվ է, ապա կամ 3m – 2n = 1, 3m + 2n = 29, կամ 3m - 2n = -1, 3m + 2n = -29: Առաջին դեպքում m = 5, n = 7, երկրորդ դեպքում` m = -5, n = -7: Երկու դեպքում էլ  k=  = 5: Ուրեմն 7k + 4 = 39: 

4. AD-ի միջնակետը նշանակենք N-ով, իսկ BC-ինը` M-ով: BN-ը և CN-ը, որպես ABD և ACD ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգներին տարված միջնագծեր, հավասար են AD-ի կեսին: Այսպիսով, BN=CN=17: Ուրեմն BNC եռանկյունը հավասարասրուն եռանկյուն է, հետևաբար MN-ը կլինի բարձրություն և NMC ուղղանկյուն եռանկյունուց կունենանք MN^2+64=289, որտեղից MN=15: 

 Հաղթողների և նրանց ուսուցիչների համար Անտարես ընկերությունը սահմանել է հետևյալ մրցանակները.

I մրցանակ 

  II մրցանակ

III մրցանակ 

Ուսուցչի մրցանակ