8-րդ դասարան VII

1. Հայր և որդի վազում են շրջանագծով: Ժամանակ առ ժամանակ հայրը վազանցում է որդուն: Այն բաից հետո, երբ որդին սկսեց վազել հակառակ ուղղությամբ նրանք սկսեցին հանդիպել 5 անգամ ավելի հաճախ: Քանի՞ անգամ է հոր արագությունը մեծ որդու արագությունից:

2. Ապացուցեք, որ xy = 2009 (x + y) հավասարումն ունի ամբողջ թվերով լուծում:

3. Գտեք \(\overline {ab} \) երկնիշ թիվը, եթե հայտնի է, որ \(\overline {ab} = 7a + {b^2}\):

4. Նկարում պատկերված է զուգահեռագիծ և նրա անկյունագծերի հատման P կետը: P կետով տարեք այնպիսի ուղիղ, որ զուգահեռագծի տրոհումից առաջացած մասերը վերադասավորելով հնարավոր լինի ստանալ շեղանկյուն:

8_4_7

Լուծումներն ուղարկեք միայն This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. հասցեով, մինչև փետրվարի 20-ը:

Հիմնավորեք լուծումները, միայն պատասխանները մի ուղարկեք: Նշեք Ձեր և Ձեր մաթեմատիկայի ուսուցչի անունը, ազգանունը, դպրոցն ու դասարանը:

Մրցույթի արդյունքները ամփոփված են (տես հաղթողներ բաժինը): Տեղադրում եմ խնդիրների լուծումները:

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

1. Եթե հոր արագությունը նշամակենք x-ով, իսկ որդու արագությունը` y-ով, շրջանագծի երկարությունը` s-ով, նույն ուղղությամբ շարժվելու դեպքում հանդիպման համար պահանջվող ժամանակը`5t-ով, ապա կունենանք. s/(x-y)=5t; s/(x+y)=t: Բաժանելով այդ հավասարումները միմյանց վրա` կունենանք` (x+y)/(x-y)=5: Ձևափոխելով վերջինը կունենանք 6y=4x, որտեղից x/y=1,5:

2. Հավասարման երկու կողմերին ավելացնելով 2009² և ձևափոխելով` կունենանք. (x - 2009)(y - 2009) = 2009²: Իսկ այս հավասարման համար x = y = 4018-ը լուծում է, այսինքն այն ունի ամբողջ թվերով լուծում:

3. Տրվածը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով. 10a+b=7a+b², որտեղից a=b(b-1)/3: Ուրեմն կամ b-ն, կամ b-1-ը բազմապատիկ են 3-ին: Հաշվի առնելով, որ a-ն չի կարող մեծ լինել 9-ից` կունենանք կամ b=3, a=2, կամ b=4, a=4: Հետևաբար կամ երկնիշ թիվը 23 է, կամ 44:

4. Կառուցենք DF հատվածը, ինչպես ցույց է տրված նկարում, որի երկարությունը հավասար է BC հատվածի երկարությանը: P կետով տանենք DF-ին զուգահեռ ուղիղ: Այդ դեպքում KM-ը կլինի հավասար DF=BC և եթե KMCD քառանկյունը տեղաշարժենք այնպես, որ CD-ն համընկնի AB-ի հետ, ապա կառաջանա շեղանկյուն:

7_8_4