1. Գտեք այն բնական թվերը, որոնց համար 1! +2! + 3!+…+ x!=y²  (n! =1*2*3*…*n):

2. a, b, c դրական թվերն այնպիսին են, որ a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b): Գտեք (a+b)² /c²+(a+c)² /b²+(c+b)² /a²-ն: 

3. Ենթադրենք վանդակավոր անվերջ թղթի վրա մի քանի (վերջավոր հատ) անդակներ “հիվանդացել” են: Յուրաքանչյուր ժամ անց միաժամանակ տեղի են ունենում հետևյալ փոփոխությունները. եթե վանդակը “հիվանդ” է, իսկ նրա ձախ և ներքևի հարևան վանդակներն “առողջ” են, ապա այն առողջանում է, եթե վանդակը “առողջ” է, իսկ նրա ձախ և ներքևի հարևան վանդակները “հիվանդ” են, ապա այն “հիվանդանում” է: Մնացած դեպքերում վանդակի “առողջական” վիճակը չի փոխվում: Ապացուցեք, որ սկզբում ինչպես էլ դասավորված լինեն “հիվանդ” վանդակները, ինչ-որ ժամանակ հետո բոլոր վանդակները “կառողջանան”:

4. ABC եռանկյանը ներգծած շրջանագիծը եռանկյան կողմերը շոշափում է A₁, B₁, C₁ կետերում: Ապացուցեք, որ, եթե ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ապա ABC եռանկյունը հավասարակողմ է:

4-րդ խնդիրը փոխվել է, քանի որ եռանկյունների նմանությունը դեռ չեն անցել:

 4.  ABCD ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են O կետում: AM և DM հատվածները համապատասխանաբար հատում են BD և AC անկյունագծերը K և L կետերում, որտեղ M-ը BC կողմի միջնակետն է: Գտեք OKML քառանկյան և ABCD ուղղանկյան մակերեսների հարաբերությունը:   

Լուծումներն ուղարկեք միայն This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. հասցեով, մինչև ապրիլի 15-ը:

Հիմնավորեք լուծումները, միայն պատասխանները մի ուղարկեք: Նշեք Ձեր և Ձեր մաթեմատիկայի ուսուցչի անունը, ազգանունը, դպրոցն ու դասարանը:

Մրցույթի արդյունքները ամփոփված են (տես հաղթողներ բաժինը):

Տեղադրում եմ խնդիրների լուծումները:

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

1. Նկատենք, որ 1! + 2! + 3! +4!= 33, իսկ 4-ից մեծ  բոլոր թվերի ֆակտորյալները վերջանում են 0-ով: Այսպիսով, x -ի 4-ից մեծ արժեքների դեպքում ձախ մասը վերջանում է 3-ով: Բայց ոչ մի թվի քառակուսի չի վերջանում 3-ով: Ուրեմն, քննարկվող դեպում հավասարությունը չի կարող տեղի ունենալ: x -ի 4-ից ոչ մեծ արժեքների դեպքը կարող ենք քննարկել անմիջական ստուգումով, որտեղից կունենանք x = 1, y = 1 և x = 3, y =3:

2. Տրվածից հետևում է, որ ac+a²=bc+b², ac+c²=ab+b², ab+a²=bc+c²: Առաջին երկուսից հետևում է, որ (a-c)(a+c)=b(c-a): Վերջինից հետևում է, որ կամ a=c, կամ b=-(a+c): Երկրորդը հնարավոր չէ, քանի որ a, b, c թվերը դրական են: Ուրեմն a=c: Նույնպիսի դատողություններով, ac+a²=bc+b² և ab+a²=bc+c² հավասարումներից կստացվի, որ c=b: Այսպիսով, a=b=c: Ուրեմն, (a+b)² /c²+(a+c)² /b²+(c+b)² /a²=4+4+4=12:

3. Ամենավերևի “հիվանդ” վանդակի վերևի կողմով տանենք հորիզոնական ուղիղ: “Հիվանդանալու” պայմանի համաձայն, նրանից վերև ոչ մի վանդակ չի կարող “հիվանդանալ”: Ամենաաջ “հիվանդ” վանդակից աջ գտնվող վանդակները նույպես չեն կարող “հիվանդանալ”: Այսպիսով, “հիվանդանալ” կարող են միայն ինչ-որ ուղիղ անկյան մեջ գտնվող վանդակները: Վերցնենք այդ անկյան գագաթից ամենահեռու և անկյան կիսորդին ուղղահայաց ուղիղը, որի վրա կան “հիվանդ” վանդակներ: “Առողջանալու” պայմանի համաձայն, այդ ուղղի վրա գտնվող “հիվանդ” վանդակները 1 ժամ անց “կառողջանան”:Ուրեմն, ամեն ժամ գագաթից ամենահեռու և “հիվանդ” վանդակներ ունեցող ուղիղը կմոտենա անկյան գագաթին: Հետևաբար, վերջիվերջո նա կհասնի անկյան գագաթին, որն էլ կնշանակի, որ բոլոր վանդակները “առողջացան”:

4. Նման եռանկյուններ թեման ուսումնասիրած աշակերտների համար կարելի էր խնդիրը լուծել այլ ձևով: Բայց քանի որ այդ թեման չեն անցել և այդ պատճառով էլ սկզբում առաջարկված խնդիրը փոխարինվեց այս խնդրով, ապա կներկայացնեմ այլ լուծում:

Ակնհայտ է, որ EMGF քառանկյան մակերեսը հավասար է ABCD ուղղանկյան մակերեսի 1/4 –ին, որտեղ M-ը BC-ի, իսկ F-ը AD-ի միջնակետերն են (նկ.1):

Ենթադրենք` ABCD ուղղանկյան և OKML քառանկյան մակերեսների հարաբերությունը m է: Քանի որ GJOL քառանկյունը առաջացել է FMCD ուղղանկյունում նույնպիսի կառուսումների արդյունքում, ապա GJOL քառանկյան մակերեսի հարաբերությունը FMCD ուղղանկյան մակերեսին նույնպես կլինի m: Բայց ակնհայտ է, որ FMCD ուղղանկյան մակերեսը հավասար է ABCD ուղղանկյան մակերեսի 1/2–ին: Այսպիսով, ստացվում է, որ եթե S-ով նշանակենք GJOL քառանկյան մակերեսը, ապա OKML քառանկյան մակերեսը կլինի 2S  և կունենանաք նկար 2-ում ներկայացված վիճակը: Դրանից կհետևի, որ OKML քառանկյան մակերեսը EMGF քառանկյան մակերեսի 1/3 է: Իսկ քանի որ EMGF քառանկյան մակերեսը ABCD ուղղանկյան մակերեսի 1/4  է, ապա ստացվում է, որ OKML քառանկյան մակերեսը ABCD ուղղանկյան մակերեսի 1/12  է:

                Նկար 1                                              Նկար 2

 Հաղթողների և նրանց ուսուցիչների համար Անտարես ընկերությունը սահմանել է հետևյալ մրցանակները.

I մրցանակ

II մրցանակ

III մրցանակ

  Ուսուցչի մրցանակ 

   կամ