1. Ապացուցեք, որ եթե a-ն, b-ն, c-ն կենտ թվեր են, ապա ab-1, bc-1, ac-1 թվերից գոնե մեկը բաժանվում է 4-ի:

2. Լուծեք հավասարումների համակարգը:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1 \\yz = 2\\ zx = 8\end{array} \right.\)

3. M և N կետերը համապատասխանաբար գտնվում են ABCD զուգահեռագծի BC և CD կողմերի վրա, ընդ որում BC: MC=1:3, CN:ND=2:5: AN և DM հատվածները հատվում են K կետում: Գտեք AK:KN:

Լուծումները կարող եք ուղարկել միայն  This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. հասցեով, մինչև հունվարի 30-ը:

Լուծումները պետք է լինեն հիմնավորված, միայն պատասխանները մի ուղարկեք:

Լուծումները կարող եք գրել Word-ում և ամրակցել նամակին:

Մրցույթի արդյունքները ամփոփված են (տես հաղթողներ բաժինը): Տեղադրում եմ խնդիրների լուծումները:

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

1. Կենտ թիվը 4-ի բաժանվելիս կարող է տալ կամ 1 մնացորդ, կամ 3 մնացորդ: Եթե a, b, c թվերի մեջ կա երկու թիվ, որ 4-ի բաժանվելիս տալիս 1 մնացորդ, ապա նրանց արտադրյալը նույնպես կտա 1 մնացորդ, իսկ արտադրյալից հանած 1-ը կբաժանվի 4-ի: Իսկ եթե a, b, c թվերի մեջ չկա երկու թիվ, որ 4-ի բաժանվելիս տալիս է 1 մնացորդ, ապա կա երկուսը, որ տալիս են 3 մնացորդ: Այդ դեպքում նրանց արտադրյալից հանած մեկը կլինի

(4m + 3)*(4n+ 3) - 1 = 16mn + 12m+ 12n + 8 = 4(4mn + 3m + 3n + 2), որը կբաժանվի 4-ի:

2. Բազմապատկելով հավասարումները անդամ առ անդամ` կունենանք (xyz)<sup>2</sup>=16 => xy= +4: Ստացվածը բաժանելով առաջին հավասարման վրա կունենանք z= +4, իսկ երկրորդի և երրորդի վրա բաժանելով համապատասխանաբար կունենանք x= +2; y= +0,5: Հաշվի առնելով, որ x-ը, y-ը և z-ը նույն նշանի են` կստանանք հետևյալ լուծումները (2;0,5;4); (-2;-0,5;-4):

3. B և C կետերով տանենք DM-ին զուգահեռներ: և նրանց հատման կետերը AN-ի հետ նշանակենք E-ով և F-ով:

CNF և DNK եռանկյունների նմանությունից կհետևի, որ FN:NK=CN:ND=2:5, որտեղից FN=(2/5)NK: Ըստ Թալեսի ընդհանրացված թեորեմի` EK:KF=BM:MC=1/3, ուրեմն

EK=(1/3)KF=(1/3)(KN+NF)=(1/3)(KN+(2/5)KN)=(7/15)KN: