Թեմա: Երկրաչափություն

Հարգելի աշակերտներ ձեզ հավանաբար հայտնի է հետևյալ պարզ կառուցման խնդիրը.

Խնդիր 1. Օգտվելով միայն կարկինից և քանոնից տրված հատվածը բաժանել երկու հավասար մասերի:

Այս խնդրի լուծումը բերված է համարյա բոլոր երկրաչափության դասագրքերում և իրականացվում է հետևյալ կառուցմամբ(տես նկար 1. կիսվող հատվածը AB-ն է, G1-ը և G2-ը համապատասխանաբար A և B կենտրոններով, |AB| շառավղով շրջանագծեր են, նշված կառուցմամբ ստացվում է AB հատվածի M միջնակետի երկրաչափական տեղը!)
.
.
.
Եկեք մի փոքր ընդհանրացնենք այս խնդիրը:
Խնդիր 2. Օգտվելով միայն կարկինից և քանոնից տրված PQ հատվածը բաժանել երեք հավասար մասերի:

Այս խնդիրը կարելի է լուծել մի քանի եղանակներով:Ստորև ներկայացնում եմ եղանակներից երկուսը (երկուսի իդեան էլ նույնն է) և առաջարկում եմ բոլորին բերել լուծման այլ տարբերակներ:

Ապացույցի ընթացքում օգտագործելու եմ հետևյալ հայտնի փաստը. Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում և հատման կետով տրոհվում 2:1 հարաբերությամբ` հաշված գագաթից:
1 եղանակ
.

.
. .

Q կետով տանենք PQ-ի հետ չհամընկնող որևէ ուղիղ և այդ ողղի վրա կարկինի օգնությամբ տեղադրենք Q-ից հավասարահեռ M և N կետերը: Քանի որ մենք արդեն քանոնի և կարկինի օգնությամբ կարողանում ենք հատվածներ կիսել(տես Խնդիր1.), հետևաբար PM-ի L միջնակետը կառուցելը բարդ չի լինի: Ակնհայտ է, որ NL-ը և PQ-ն PMN եռանկյան միջնագծեր են , հետևաբար, "միջնագծերի մասին թեորեմից" ունենք`
. .
Կառուցենք նաև PO-ի T միջնակետը: Դժվար չէ համոզվել, որ մեր PQ հատվածը բաժանվեց երեք հավասար մասերի`
. .
2-րդ եղանակ

Կառուցման 2-րդ եղանակը անմիջապես կհետևի հետևյալ խնդրի լուծումից( սա հայտնի դասագրքային խնդիր է).
Միջանկյալ խնդիր. ABCD զուգահեռագծի մեջ տարված են AM և AN հատվածները , այնպես, որ` |DM|=|MC| և |BN|=|NC| :
. .
Ապացուցել, որ |DL|=|LT|=|TB|, այսինքն BD անկյունագիծը AM և AN հատվածներով տրոհվում է երեք հավասար մասերի:
Հարգելի մասնակիցներ անհամբեր սպասում եմ ձեր առաջարկներին (նաև վերջի խնդրի հետ կապված)

Դիտարկենք DAC եռանկյունը:Տանենք CE միջնագիծը:Կունենանք եռանկյան մեջ 3 միջնագծեր հատվում են մեկ կետում և հաշված գագաթից բաժանվում են 2:1 հարաբերությամբ մասերի:Կունենանք DL- 2 մաս,LO-ն 1 մաս:Անալոգիայով կունենանք եռանկյուն ABC-ի համար` BT-ն 2 մաս,TO_1 մաս,:Կստանանք LT=LO+OT-2 մաս:Այսինքն DL=LT=TB

Հարգելի Անահիտ ձեր մոտեցումը ճիշտ է , բայց անավարտ, դուք պետք է դեռ ապացուցեք, որ |LO|=|OT|

Նախ ուզում եմ նշել, որ Anahit-ին մնում էր ավելացնել, որ DO=OB, հետևաբար դրանց մեկ երրորդ մասերը`LO-ն և OT-ն նույնպես հավասար են:
Ասեմ նաև, որ զուգահեռագծի անկյունագիծը երեք հավասար մասերի կարելի է բաժանել նաև հետևյալ ձևով (տես նկարը), որն ապացուցելը կարծում եմ ավելի հեշտ է, քան Levon-ի առաջարկված տարբերակում:

Բայց թե Levon-ի, թե իմ առաջարկած տարբերակներն օգտագործելու դեպքում ստիպված կլինեք կառուցել զուգահեռագիծ, հետևաբար` զուգահեռ ուղիղներ: Իսկ եթե գործը պիտի հասնի զուգահեռ ուղիղներ կառուցելուն, ապա կարծում եմ, որ Թալեսի թեորեմից օգտվելը շատ ավելի հարմար է: Այդ եղանակը ունի նաև այն առավելությունը, որ պիտանի է հատվածը ցանկացած բնական թվով (n>1) մասերի բաժանելու համար: Հնարավոր համարելով աշակերտների այդ եղանակի չիմացությունը` սխեմատիկ ներկայացնեմ այն: AB հատվածը, օրինակ, 5 հավասար մասերի բաժանելու համար, նրա ծայրակետերից մեկով, օրինակ A-ով տարվում է ճառագայթ և այդ ճառագայթի վրա տեղադրվում իրարի հավասար 5 կամայական հատված: Վերջին հատվածի ծայրակետը` C-ն միացվում է B կետին: Բաժանման կետորով տարվում են BC-ին զուգահեռ ուղիղներ, որոնք AB-ն բաժանում են 5 հավասար մասերի:


Հ.Գ. Բաժնի "Ուսուցչանոց" անվանումը փոխել եմ "Խորհուր է տալիս մասնագետը" անվանումով:
Խնդրում եմ կարդալ Administrator-ի հաղորդագրությունը այս բաժնի մասին: