Թեմա: Մաթեմատիկական գլուխկոտրուկներ

Փառք աստծո, բոլորս էլ ողջ ենք!Շնորհակալություն լուծման համար:Հաջորդ գլուխկոտրուկը.կարող եք արդյոք նույնքան արագ կապնվել Իվանուշկայի հետ, քանի որ խնդիրը Իվանուշկայի ողջությունն է?)))

Իվանուշկայի երկրպագուների ուշադրությունը հրավիրում եմ հաջորդ գլուխկոտրուկի վրա:
Իվանուշկան գրատախտակին գրեց մի քանի իրարից տարբեր բնական թվեր: Մտովի բաժանեց այդ թվերի գումարը դրանց արտադրյալի վրա: Այնուհետև ջնջեց գրատախտակի վրա պատկերված թվերից ամենափոքրը և մնացած թվերի գումարը բաժանեց նրանց արտադրյալի վրա:Երկրորդ դեպքում նա ստացավ 3 անգամ մեծ թիվ: Հարց.որ թիվն էր նա ջնջել?

Մինչ խնդրի լուծումը ներկայացնելը ասեմ, որը խնդիրն ինձ շատ դուր եկավ, բայց խնդրի լուծումը ներկայացնելը բարդ է լինելու: Շնորհակալություն հարգելի Լևոնին այս գեղեցիկ խնդրի համար!

Անցնենք լուծմանը:
Ենթադրենք, որ սկզբում գրատախտակին գրված են եղել k₁, k₂, … , k_n բնական թվերը: Նաև, առանց ընդհանրությունը խախտելու, ենթադրենք, որ ամենափոքրը սրանցից k_n-նն է:
Եթե առաջին անգամ մտքում հաշվված թիվը նշանակենք Z-ով, ապա կարող ենք գրել.
(k₁ + k₂ + … + k_n)/ k₁ k₂ … k_n=Z
և
(k₁ + k₂ + … + k_n-1)/ k₁ k₂ … k_n-1=3Z:
Այս 2 հավասարումներից արտաքսենք Z-ը, կատարենք պարզեցում կստանանք.
k_n = 3U/(U-3), որտեղ
U = k₁ + k₂ + … + k_n-1:
Դիտարկենք F(U)= 3U/(U-3) ֆունկցիան, U-ն պատկանում է 4-ից Անվերջ (U-ն պետք է լինի դրական, ելնելով նշանակումից, և պետք է լինի առնվազն 4, քանի որ k_n-ը բնական թիվ է: Այդ պատճառով մեզ հետաքրքիր է U-ն պատկանում է [4,Անվերջ) տիրույթը): Հեշտ է համոզվել, որ այս ֆունկցիան մոնոտոն նվազում է և F(U)->3, երբ U->Անվերջ: Հեշտ է համոզվել նաև, որ [4,Անվերջ) միջակայքում, երբ ֆունկցիայի արգումենտը բնական թիվ է, ապա այն ընդունում է բնական արժեքներ 3 կետում` U=4, F(U)=12; U=6, F(U)=6 և U=12, F(U)=4: Համոզվելու համար, բավական է U=4-ից մինչև U=12-ը փորձել, իսկ 12-ից հետո նկատել, որ 3<F(U)<4:
Ակնհայտ է նաև, որ U=4, F(U)=12 և U=6, F(U)=6 դեպքերը մեր խնդրի պայմաններին չեն բավարարում. Հիշեք, թե ինչ էին U-ն և F(U)-ն:
Հետևաբար մնաց միակ դեպքը` U=12, F(U)=4: Այսինքն ջնջված ամենափոքր թիվը 4-ն է: Կարող ենք ասել ավելին. մյուս բոլոր թվերի գումարը եղել է 12, իսկ նրանք եղել են >4-ից:

Ներողություն եմ խնդրում, եթե շատ կրճատ ու անհասկանալի է գրածս: Հաճախ գրել եմ, թե ինչ պետք է անել, բայց ցույց չեմ տվել, թե ինչպես: Բայց, եթե լրիվ գրեյի, ծավալը կեռապատկվեր:

Հարգելի Լևոն, լուծումս բավականին երկար է ու խրթին: Եթե ավելի պարզ լուծում կա` կխնդրեյի ներկայացնեք:

Հարգելի naghekyan, շնորհակալություն լուծման համար, լուծումը ճիշտ է: Ձեր մտահոգությունը կապված լուծման տեխնիկական դժվարության հետ իրոք արդարացված է, քանի որ ֆոռումի մասնակիցներից ոմանց խորթ է "ֆունկցիայի հետազոտություն գաղափարը"(իհարկե դա չի նշանակում , որ ձեր ապացույցը կորցնում է իր արժեքը):
Կարող եմ առաջարկել ձեզ փոխել ապացույցի որոշ էլեմենտներ , իհարկե առանց փոխելու ապացույցի հիմնական իդեան:
Ձեր նշանակումները չեմ փոխում:
Դուք համոզվեցիք. որ տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը:



Այստեղից անմիջապես կհետևի`

Քանի որ U>k_n վերևի հավասարությունից կունենանք`
2/k<sub>n</sub>>1/3 և 1/k<sub>n</sub><1/3
Այստեղից` 3<k_n<6 : Այսինքն` k_n=4 կամ k_n=5 : Եթե տեղի ունենար երկրորդ դեպքը, կստացվեր U=7.5 , որը անհնար է:Մյուս կողմից k_n=4 դեպքում կստացվի U=12:
Կրկնում եմ լուծման իդեան փոխված չէ:

թիվ, թե թվանշան?

Petmat-ի և naghekyan-ի կողմից առաջարկած (հետագայում ընդհանրացրած) կեղծ մետաղադրամի մասին խնդիրները ինձ շատ դուր եկան: Նշեմ, որ petmat-ի առաջարկած լուծման մեջ էական էր, որ իրականի և կեղծի քաշերի տարբերությունը լիներ 1 գրամ (չնայած նույն մեթոդով կարելի է խնդիրը լուծել, եթե տարբերությունը լինի 2^m գրամ, որտեղ m-ը ոչբացասական ամբողջ թիվ է), իսկ naghekyani-ի խնդրի մեջ`ոչ (հիշեցնեմ, որ naghekyani-ի գլուխկոտրուկը դեռ չեն լուծել):

Այստեղ ուզում եմ առաջարկել naghekyani-ի խնդրին շատ մոտ(մոտ և ձևակերպմամբ, և լուծումով) մի նոր խնդիր:

Ունենք 4 մետաղադրամ, որոնցից 3-ը իրական են (քաշով նույնն են), իսկ մեկը կեղծ(քաշով տարբերվում է մնացածից):Պատկերացնենք, որ ունենք նժարավոր կշեռք, որը վատ է աշխատում, այսպես. եթե նժարների վրա դնում ենք հավասար քաշով ծանրություններ երկու նժարներից յուրաքանչյուրը կարող է մյուսի համեմատ բարձր կամ ցածր դիրք զբաղեցնել, բայց եթե նժարներին դնենք տարբեր քաշի ծանրոցներ, ապա անպայման ծանրը կիջնի ներքև: 3 կշռումով հայտնաբերել կեղծ մետաղադրամը և պարզել թեթև է թե ծանր այն իրականից?


Դիտողություն: Ուշադիր ընթերցողը կնկատի, որ վերը նշված սկզբունքով աշխատող կշեռք միշտ էլ կարելի է ստեղծել եթե նախապես հայտնի լինեն մետաղադրամի տվյալները:Խնդիրը լուծելիս մի պահ մոռացեք այդ պրոցեդուրան և մտովի ենթադրեք, թե պայմանները տեղի ունեն:

Հարգելի NJV , խնդրում եմ մանրամասնել հարցը, որ խնդրին է այն վերաբերվում?