Թեմա: Օգնեք ինձ

շնորհակալություն

Բարեւ Ձեզ:Մաթեմատիկայի ինտերնետային ամսագրի մրցույթային խնդիրների լուծոմներից լավագույն արդյունք ցուցաբերած աշակերտների համար ի՞նչ միջոցառումներ են կազմակերպվելու այս տարի:

Հարգելի պարոն Աղեկյան: Այս տարի ես մասնակցել եմ մաթեմատիկայի հանրապետական օլիմպիադիայի եզրափակիչ փուլին եւ 7 միավորանոց խնդիրը իմ հասկացածով լուծել եմ, սակայն ոչ մի միավոր չեմ վաստակել:Ձեզ եմ ներկայացնում լուծման իմ տարբերակը եւ խնդրում եմ օգնեք ինձ հասկանալու թե ինչու խնդրի լուծման համար միավոր չվաստակեցի:
Խնդիր - Տրված են 1,2,3,...230 երկարությանբ հատվածներ:Ապացուցել, որ դրանցից ցանկացած 12-ից կգտնվեն երեքը որոնցից կարելի է կազմել եռանկյունի:

Լուծում -Ենթադրենք, որ կա 12 հատված,որոնց մեջ ինչ -որ երեքով չի կարելի կազմել եռանկյունի՝ a+b<=c
Սկսենք նրանից, որ երկու հատվածների գումարը հավասար լինի երրորդին:
Փորձենք 1-ից ու 2-ից որպեսզի գումարը ամենափոքրը լինի եւ եթե 12-րդը մեծ լինի 230-ից ուրեմն այդպիսի 12 հատվածներ գոյություն չունեն

1, 2, 3 ,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

233>230 հետեւաբար մեր ենթադրությունը սխալ է:

Արեն, եթե խնդիրն այն է ինչ որ դու ներկայացրել ես, ապա քո լուծման տարբերակը չնայած պարունակում է հիմնական գաղափարը, բայց ձևակերպումների մեջ սխալներ կան, հստակ ու հիմնավորված չի ներկայացված: Քո լուծման համար կարող էին թերևս որոշ բալեր տալ, բայց դա չէր կարող ընդունվել որպես մաքուր լուծում:
Ահա լուծումը` կառուցված նույն հիմքի վրա, բայց հստակ ու հիմնավորված ձևակերպումով.
Ենթադրենք հակառակը` այդ հատվածների մեջ կան 12 հատվածներ, որոնցից ցանկացած երեքով (ոչ թե ինչ-որ 3-ով, ինչպես դու ես գրում) հնարավոր չէ կառուցել եռանկյուն: Այդ 12 հատվածները համարակալենք ըստ երկարությունների աճման` a₁,a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀, a₁₁, a₁₂: Ըստ խնդրի պայմանի a₁>=1, a₂>=2: Հետևաբար, որպիսզի a₁,a₂, a₃ հատվածներով եռանկյուն հնարավոր չլինի կառուցել, ըստ եռանկյան անհավասարության, պետք է, որ a₃>=a₁+a₂:Իսկ դա կնշանակի, որ a₃>=3: Նույն ձևով, որպեսզի a₂,a₃, a₄ հատվածներով եռանկյուն հնարավոր չլինի կառուցել պետք է, որ a₄>=a₂+a₃:Իսկ դա կնշանակի, որ a₄>=5: Այսպես շարունակելով a₁₂-ի համար կունենանք, որ a₁₂>=233, (ինչպես դու ես ստացել): Իսկ դա պարզ է, որ հակասում է խնդրի պայմանին:

Հիմա հասկանա՞լի են քո գրածի թերությունները:

Շնորհակալություն պարոն Աղեկյան: Ես հասկացա Ձեր գրածը, բայց չ՞է որ Դուք ուսուցիչներդ գնահատում եք մեր աշակերտների նաեւ թերի ու բացթողումներով աշխատանքները: Ինձ համարեք Ձեր աշակերտը եւ իմ լուծած խնդրի համար տվեք Ձեր միավորը եւ ես դրանից ինձ լավ կզգամ: Ես այնքան շատ եմ վիրավորված իմ վաստակած 0 միավորից:

Ես չգիտեմ թե ինչու քեզ ոչ մի բալ չեն տվել, բայց ամենակարևորը բալերը չեն: Ես քո լուծման համար 2 բալ կտայի, բայց պետք չէ դրա վրա կենտրոնանալ: Սա թող քեզ համար դաս լինի, որ ավելի ուշադիր լինես ու կարողանաս ճիշտ արտահայտես մտքերդ, այդ գործում քեզ կարող է օգնել նաև գեղարվեստական գրականություն կարդալը:

Շնորհակալություն պարոն Աղեկյան: Ես մաթեմատիկայի հատուկ դպրոցի աշակերտ չեմ, բայց եթե հասկանում եմ խնդրի պահանջը, ապա խնդիրը լուծում եմ շատ արագ: Քանի որ Դուք շատ ուշադիր ընթերցոմ եք բոլոր գրառումները ուզում եմ Ձեզ ներկայացնել նաեւ իմ լուծած երկրորդ խնդիրը, որի համար նորից միավոր չունեմ:
Խնդիր- Ապացուցել, որ ցանկացած m բնական թվի դեպքում
2011+2, 2011+2-ի քառակուսի, 2011+2-ի խորանարդ,….2011+2-ի 4m աստիճան թվերից ամենաշատը m թվեր կարող են լինել պարզ:
Լուծում -ՈՒնենք 4m հատ թիվ: 2-ի ցանկացած աստիճան վերջանում է կամ 2-ով, կամ 4-ով, կամ 6-ով, կամ 8-ով:Դրանից կախված վերոնշյալ թվերը բաժանեցի 4 խմբի :
2011+2, 20011+25, 2011+29..... m հատ թիվ 1-ին խումբ
2011+22, 2011+26, 2011+210 ..... m հատ թիվ 2-րդ խումբ
2011+23, 2011+27,2011+211…… m հատ թիվ 3-րդ խումբ
2011+24, 2011+28,2011+212 …… m հատ թիվ 4րդ խումբ-
Նկատեցի, որ 1-ին խմբի թվերը բաժանվում են 3-ի , 2-րդ խմբի թվերը բաժանվում են 5-ի, որովհետեւ վերջանում են 5-ով, 3-րդ խմբի թվերի թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի հետեւաբար այդ խմբի թվերը բաժանվում են 9-ի : Մնում է պարզ թվերը որոնել 4-րդ խմբում, որտեղ կա m հատ թիվ:
Հ.Գ. 2-ի աստիճանը 2-ին հավասար է գրված:

Նախ պարզ չէ թե 2011+2ⁱ աստիճան է, թե (2011+2)ⁱ (i=1,2,...,4m):
Բացի այդ,օրինակ,երկրորդ խմբի թվերը 5-ի չեն բաժանվում: Մի խոսքով, ոչ խնդիրն է հասկացվում, ոչ էլ լուծումը: